Zusammenfassung der 8. Vorlesung

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1 Zusammenfassung der 8. Vorlesung Beschreibung und und Analyse dynamischer Systeme im im Zustandsraum Steuerbarkeit eines dynamischen Systems Unterscheidung: Zustandssteuerbarkeit, Zustandserreichbarkeit Unterscheidung: Steuerbarkeit und und vollständige Steuerbarkeit -- Beispiel: Parallelschaltung zweier identischer Systeme Steuerbarkeitskriterien Kalman-Kriterium Kriterium (Anzahl der der steuerbaren Zustandsgrößen) Hautus-Kriterium (Ermittlung, welche Eigenwerte nicht nicht steuerbar sind) Beobachtbarkeit eines dynamischen Systems

2 Zusammenfassung der 8. Vorlesung Beobachtbarkeitskriterien Kalman-Kriterium Kriterium (Anzahl der der beobachtbaren Zustandsgrößen) Hautus-Kriterium (Überprüfung der der einzelnen Eigenwerte) Duales System (A (A T T,, c T T,, b T T )) des des Systems (A, (A, b, b, c) c) und und Dualität von von Steuer- und und Beobachtbarkeit Numerische Überprüfung der der Steuerbarkeit Kalman-Zerlegung des des Zustandsraummodells. Numerisch stabile Methode zur zur Überprüfung der der Steuer- und und Beobachtbarkeit. Nicht vollständig steuer- und/oder beobachtbare Systeme haben weniger Pole Pole als als Eigenwerte.

3 Bei der Art der Rückkopplung R kann zwischen a) a) Ausgangsrückführung b) b) Zustandsrückführung unterschieden werden. Zustandsrückf ckführung Rückf Rückführung aller aller Zustandsgröß Zustandsgrößen Statischer Statischer Regler: Regler: u(t) u(t) = -k -k T T x(t) x(t) Beliebige Beliebige Platzierung Platzierungaller aller Eigen- Eigenwerte des des geschlossenen geschlossenen Regel- Regel- werte kreises, kreises,, wenn wenn (A,b( (A,b) ) vollständig vollständig steuerbar steuerbar ist. ist. Strecke Ausgangsrückf Ausgangsrückführung Zustandsrückf Zustandsrückführung

4 Zustandsrückf ckführung (2) Eine Eine Zustandsrückführung verändert die die Eigendynamik. Ist Ist (A,b) vollständig steuerbar, so so kann die die Eigendynamik beliebig eingestellt werden. Kein Soll-Ist-Vergleich (w(t)-y(t)). Stätionäre tionäre Genauigkeit kann über ein ein Vorfilter eingestellt werden.

5 Zustandsrückf ckführung (3) Modell der Regelstrecke: Durch Einsetzen des des Regelgesetzes erhält man man das das Zustandsmodell des des geschlossenen Kreises: Systemmatrix Systemmatrix A G des G des geschlossenen geschlossenen Kreises Kreises

6 Polvorgabe für f r Eingrößensysteme Zustandsrückf ckführung (4) Nach Vorgabe des charakteristischen Polynoms des geschlossenen Regelkreises gibt es es eine eindeutige Lösung für f r die die Elemente des RRückführvektors k. k. Anhand der derregelungsnormalform können diese Elemente mit mit Hilfe eines Koeffizientenvergleichs sofort angegeben werden.

7 Regelungsnormalform Sytemmatrix SytemmatrixA R in R in Frobenius-Form: Frobenius-Form: Form: Die Die letzte letzte Zeile Zeile enthält enthält die die Koeffizienten Koeffizienten des des charakteristischen charakteristischen Polynoms Polynoms oder abgekürzt T ɺx (t) = A x(t) + b u(t), y(t) = c x(t) R R R

8 Eigenschaften der Regelungsnormalform Regelungsnormalform Die Die Regelungsnormalform läß läßt t sich sich sofort angeben, wenn die die Übertragungsfunktion G(s) G(s) eines dynamischen Systems bekannt ist. ist. Die Die Regelungsnormalform existiert dann und und nur nur dann, wenn das das System (A,b) vollständig steuerbar ist. ist. Die Regelungsnormalform erhält man durch eine Zustandstrans- formation mit der Transformationsmatrix letzte letzte Zeile Zeile der der inversen inversensteuerbarkeitsmatrix

9 Zustandsrückführung und Regelungsnormalform Zustandsrückf ckführung (5) Eingangsvektor b R Systemmatrix A R b kɶ 0 = k k 0 ɶ ɶ 1 T R 1 n 0 0 = 0 0 kɶ 1 kɶ n Koeffizienten des charakteristischen Polynoms des geschlossenen Kreises können k durch Wahl der RückfR ckführverstärkung rkung k,k ɶ ɶ 1 2,...,k ɶ n beliebig eingestellt werden!!!! AG = AR brk ɶ T

10 Beobachterentwurf Probleme bei der Realisierung eines Zustandsreglers: Alle Zustandsgrößen müssen m meßbar sein! Man braucht also n Sensoren. Aufwendig, teuer, evtl. unzuverlässig. Manche Zustandsgröß ößen können k evtl. gar nicht gemessen werden, weil z.b.: Meßort ist räumlich r nicht zugänglich. Umgebungsbedingungen (Temperatur, Druck, Vibrationen, Schmutz, usw.) zu "feindlich". Sensoren zu teuer.

11 Beobachterentwurf (2) Lösung des Problems Beobachtung (Schätzung) der der Zustandsgrößen. Rückführung der der beobachteten Zustandsgrößen anstatt der der gemessenen Zustandsgrößen. Beobachter = virtueller Sensor!! Die Die beobachteten Signale werden wie Meßwerte verwendet, obwohl sie sie aus anderen Meßsignalen berechnete Größen sind. Voraussetzungen Ein Ein gutes Modell der der Regelstrecke!!!!!! Vollständige Beobachtbarkeit des Models!!!!!!

12 Beobachterentwurf (3) Strecke mit mit Zustandsrückführung Zustandsrückführung mit mit Beobachter Dynamischer Dynamischer Regler Regler

13 Beobachterentwurf (4) Grundidee des Beobachters Simulation der der Regelstrecke mit mit Hilfe eines Modells. x 0 Nur Nur Regelgröße e wird wird gemessen. xˆ0 ˆx Störungen sind sind nicht nicht bekannt!! ˆx entfernt sich immer weiter von x Verlauf der der Zustandsgrößen kann kann mit mit Hilfe Hilfe des des Modells berechnet werden. Anfangswerte müssen m aus aus den den Meßwerten rekonstruiert werden. Strecke muß vollständig beobachtbar sein!!!

14 Beobachterentwurf (5) Grundidee des Beobachters (2) (2) Gemessene Regelgröße y(t) y(t) wird bisher nur zur zur Rekonstruktion des Anfangswertes verwendet. Idee von Luenberger 1964: x 0 Kontinuierliche Berechnung der der Differenz zwischen gemessenerund simulierter Regel- Regel- sener größ größe. xˆ0 ˆx - e(t) Rückf Rückführung dieser dieser Differenz auf auf den den Eingang des des Modells.

15 Beobachterentwurf (6) Luenberger-Beobachter Regelstrecke ẋ(t) = Ax(t)+bu(t) y(t) = c T x(t) ˆx(t) = Aˆx(t)+bu(t) l Modell Rückführung des Beobachtungsfehlers Beobachter Regler u(t) = k Tˆx(t) +lc T (x(t) ˆx(t)) ŷ(t) = c Tˆx(t) Rückführung spielt keine Rolle, wenn x 0 bekannt ist, das Modell exakt ist und keine Störungen auftreten!!!!

16 Konvergenz des Luenberger-Beobachters Beobachtungsfehler: Bilden der zeitlichen Ableitung liefert: ẽ(t) = ẋ(t) ˆx(t) ẽ(t) = x(t) ˆx(t) Beobachterentwurf (7) = Ax(t)+bu(t) [Aˆx(t)+bu(t)+lc T (x(t) ˆx(t))] = [A lc T ][x(t) ˆx(t)] = [A lc T ]ẽ(t)

17 Berechnung der Beobachterrückführung ckführung Die Matrix [A - lc T ] hat dieselben Eigenwerte wie die transponierte Matrix [A lc T ] T = A T cl T. Beobachterentwurf (8) Die Matrix [A T - cl T ] ist die Systemmatrix des dualen Systems x = A T x(t)+cũ(t) mit der Zustandsrückf ckführung ũ(t) = l T x(t) Festlegung der der Beobachtereigenwerte mit mit Hilfe Hilfe der der Berechnungeiner Zustandsrückführung l T l T für für r das das System (A (A T T,c). nung,c).

18 Beobachterentwurf (9) Konsequenz der Dualität Die Die Dualität t zwischen dem Entwurf eines Zustands- reglers und eines Beobachters bedeutet, daß jedes Entwurfsverfahren für f r Zustandsregler auch für f r den Entwurf von Beobachtern verwendet werden kann. Die Die Eigenwerte der der Matrix [A [A--lc lc T ]],, die die Beobachter- eigenwerte,, können k nur dann beliebig festgelegt werden, wenn das System (A, (A, c) c) vollständig beobachtbar ist. ist.

19 Beobachterentwurf (10) Beobachtungsnormalform Besonders einfach kann die die Beobachterrückführung ckführung l l dann berechnet werden, wenn die die Regelstrecke in in Beobachtungsnormalform vorliegt. Der Vektor l B = [ l 1 l 2... l n ] T l B = [ a B0 a B1... a Bn 1 ] T [ a 0 a 1... a n 1 ] T muß dann so gewählt werden, daß die Matrix die gewünschten Beobachtereigenwerte besitzt.

20 Beobachterentwurf (11) Frage: Werden die die Eigenwerte des Regelkreises durch den Beobachter beeinflußt t? Antwort: Nein!!!!!! Es Es gilt gilt das Separationstheorem. Satz 4.2

21 Beweis des Separationstheorems: Zustandsgleichung des Gesamtsystems: Mit ẋ = Ax bk Tˆx ˆx=x ẽ erhält man ẋ = Ax bk T x+bk T ẽ. Beobachterentwurf (12) Zusammen mit der Differentialgleichung des Beobachtungsfehlers ẽ(t)=[a lc T ]ẽ(t) erhält man [ ẋ(t) ẽ(t) ] = [ A bk T bk T 0 A lc T Eigenwerte des des Regelkreises ][ x(t) ẽ(t) ] Eigenwerte des des Beobachters

22 Anmerkungen zum Beobachterentwurf Beobachterentwurf (13) Im Im geschlossenen Regelkreis können k die die Dynamik der der Regelstrecke und und des des Beobachters unabhängig ngig voneinander mit mit Hilfe der der Vektoren k und und lleingestellt werden. Die Die Eigenwerte des des Beobachters sollten in in der der linken komplexen Ebene deutlich links von von den den dominierenden Eigenwerten des des Regelkreises liegen. Mit Mit einer solchen Wahl ist ist sichergestellt, daß daßder der Beobachterfehler deutlich schneller abklingt als als die die Eigendynamik des des Systems. Damit wird wird auch gewährleistet, daß daßder der Beobachter die die Regelgüte nur nur wenig verschlechtert im im Vergleich zu zu einem Zustandsregler mit mit gemessenen Zustandsgrößen.

23 Anmerkungen zum Beobachterentwurf (2) (2) Beobachterentwurf (14) Im Im Gegensatz zur zur realen Regelstrecke ist ist der der Beobachter eine eine reine Simulation. Daher muß mußman man bei bei der der Wahl der der Eigenwerte des des Beobachters nicht auf auf Stellgrößenbeschränkungen enbeschränkungen nkungen achten. Die Die Beobachterdynamik darf darf in in der der Praxis nicht beliebig schnell gemacht werden!! Es Es muß mußein Kompromiß zwischen schneller Beobachter- dynamik und und Rauschempfindlichkeit gefunden werden. Je Je stärker die die Meßgröße y(t) y(t) verrauscht ist, ist, desto langsamer sollte der der Beobachter eingestellt werden.

24 Beobachterentwurf (15)