FB IV Mathematik Universität Trier. Präsentation von Nadja Wecker

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1 FB IV Mathematik Universität Trier Präsentation von Nadja Wecker

2 1) Einführung Beispiele 2) Mathematische Darstellung 3) Numerischer Fluss für Diffusionsgleichung 4) Konvergenz 5) CFL-Bedingung 6) Zusammenfassung -2-

3 Finite-Volumen-Methode (FVM): numerisches Verfahren zur Approximation von Lösungen von Erhaltungsgleichungen partielle Gleichungen, denen Erhaltungssatz zugrunde liegt Entwicklung im Laufe der 1950er Jahre für die Raumfahrt Besonderer Beitrag: russischer Mathematiker Godunov -3-

4 Anwendungen von FVM numerische Strömungsmechanik FV-Diskretisierung einer KFZ Umströmung Berechnung viskoser Schiffsumströmungen mit freier Oberfläche (FVM liefert eine exakte Beschreibung des 3D- Strömungsfeldes) Simulation der Rauchgasausbreitung an einem RoRo-Schiff -4-

5 Meteorologie Prognose des zeitlichen Verlaufs der prognostischen Größen (Windgeschwindigkeit, Druck, Temperatur) -5-

6 Grundidee: ein räumliches Gebiet wird in Intervalle zerlegt Diese Intervalle heißen Gitterzellen oder finite Volumina i-te Zelle: C i = (x i-1/2, x i+1/2 ) In jeder Zelle gilt der Erhaltungssatz Partielle Differentialgleichungen werden mittels Gauß schem Integralsatz umformuliert -6-

7 Die Zellmittelwerte approximiert: werden durch folgendes Integral (1) wobei q: R R R m t: Zeitvariable x: Ortsvariable x=x i+1/2 - x i-1/2 Abb.1: Darstellung der Gitterzellen x-t-dim. -7-

8 Man betrachte die Gleichung Diskretisierung der Zeit in Intervalle und Integration obiger Gleichung über ein solches Intervall liefern: (2) -8-

9 Mit Umformen und Dividieren durch x ergibt sich: (3) Integrale auf der rechten Seite sind im Allgemeinen nicht exakt zu bestimmen Aufgabe der FVM: numerische Approximation der Flussintegrale zu liefern -9-

10 Gleichung (3) in Zellmittelwerten ausgedrückt: (4) wobei (5) Abb.2: Veranschaulichung der FVM -10-

11 Annahme: hängt lediglich von und wobei F ist eine numerische Flussfunktion (6) (7) Jede einzelne FVM hängt von der Wahl der numerischen Flussfunktion F ab. Im Allgemeinen: Three-point stencil, d.h. abhängig von und -11-

12 Besondere Eigenschaft von FVM: Konservativität Definition 2.1 Ein numerisches Verfahren zur Lösung der Erhaltungsgleichung q t +f(q) x =0 heißt konservativ, wenn es die Form hat. Die Funktion F wird als Flussfunktion bezeichnet. -12-

13 Konservativität: die Flussfunktion ist nur vom Anfangs- und Endpunkt abhängig. denn für die Summe von (4) über gilt: (die Flüsse über die inneren Zellgrenzen heben sich weg) (8) -13-

14 Erhaltungsgesetz: Diffusionsgleichung: Für gegebene (9) wobei -14-

15 Setze (9) in (7) ein: (10) Spezialfall: β konstant hier zu erkennen: zentrale Approximation von q xx. -15-

16 Wann ist eine numerische Flussfunktion geeignet für die numerischen Berechnungen? Essentielle Forderung an ein Verfahren: Konvergenz Bedingungen für die Konvergenz: Konsistenz (die Methode muss die DGL lokal gut approximieren) Stabilität (der Rundungsfehler wirkt sich nicht zu stark auf die Berechnung aus) -16-

17 Definition 4.1 Eine Flussfunktion F mit den Argumenten u 1,,u j heißt konsistent, wenn folgende Eigenschaften erfüllt sind: 1) F(u,u,,u) = f(u) 2) F ist Lipschitz-stetig in allen Komponenten -17-

18 Für num. Flussfunktion soll gelten: 1) Seien q(x,t)= q und (11) 2) Lipschitz-Stetigkeit, d.h. eine Konstante L so, dass (12) -18-

19 Betrachte (7) und die Advektionsgleichung Zwei Fälle zu unterscheiden: -19-

20 Für ein t klein genug hängt die Flussfunktion zwischen den Zellen C i-1 und C i nur von ab. Ist der Zeitschritt zu groß, hängt die Flussfunktion zusätzlich noch von ab. -20-

21 Methode bei b) nicht stabil Ergebnis der CFL-Bedingung CFL: Courant, Friedrichs und Lewy Notwendige Bedingung für jedes numerische Verfahren CFL-Bedingung Ein numerisches Verfahren ist konvergent, falls der numerische Abhängigkeitsbereich den tatsächlichen Abhängigkeitsbereich der PDE einschließt; t, x 0 Wichtig: notwendig für Stabilität, aber nicht hinreichend!!! -21-

22 Abhängigkeitsbereich D (X,T) für PDE durch Charakteristiken festgelegt Num. Abhängigkeitsbereich für PDE durch Schrittweiten festgelegt Charakteristiken (X,T) x Abhängigkeitsbereich Illustration anhand der finiten-differenz- Methoden t -22-

23 3-Punkte-Schema Q i ist abhängig von Q i-1, Q i und Q i+1, die numerische Lösung im Punkt (X,T)=(X,t 2 ) kann von Werten im Intervall beeinflusst werden: X 2 x a x X + 2 x a a) X -23-

24 Verfeinertes Gitter mit Faktor 2 ( x b = x a /2) die numerische Lösung im Punkt (X,T)= (X,t 2 ) abhängig von Werten im Intervall: X 4 x b x X + 4 x b b) X -24-

25 Weitere Verfeinerung: r t/ x nach CFL: X T/r x X + T/r für einen Punkt (X,T) der Abhängigkeitsbereich der tats. Lösung [X T/r, X + T/r] Bsp.: Advektionsgleichung q t +ūq x =0 D (X,T)={X ūt}, da q(x,t)=q(x ūt) X T/r X-ūT X + T/r 1 ūr Courant-Zahl (13) -25-

26 Gilt (13) nicht Änderung von q in X ūt ändert tats. Lösung in (X,T), aber nicht num. Lösung in diesem Punkt Zurück zu FVM: Courant-Zahl gibt an, um wie viele Zellen sich die Information pro Zeitschritt fortbewegt -26-

27 System von hyperbolischen Gleichungen Bsp.: Wellengleichung D (X,T)={X λ p T: p=1,,m} λ 1,, λ m : Ausbreitungsgeschwindigkeiten (14) Für 3-Punkte-Methode: c 1 Abschätzung hängt von der Maschenweite ab z.b. Ist von 5 Zellenmittelwerten abhängig, so c 2-27-

28 Hyperbolische PDE: Explizite Verfahren c 1 Gitterzerlegung in t/ x Verbesserung der Lösung Parabolische PDE: Bsp.: Diffusionsgleichung Explizite Verfahren D (X,T)=(-, ) Ausbreitungsgeschwindigkeit infinit mit CFL: numerischer Abhängigkeitsbereich (-, ). Dann der Fall, wenn t 0 schneller als x 0 z.b. bei t = ( x 2 ) Für CFL-Bed. besser implizite Methoden -28-

29 FVM: numerisches Verfahren zur Lösung von Erhaltungsgleichungen Diskretisierung des Raumes in Zellen In jeder Zelle gilt der Erhaltungssatz Statt q werden die Zellmittelwerte von q approximiert In jedem Zeitschritt wird mithilfe des Flusses die Änderung der Größe bestimmt konservativ -29-

30 Konvergenz = Konsistenz + Stabilität CFL stellt einen Zusammenhang zwischen der Größe der Maschenweite in einem Rechengitter x, der im benutzten Gleichungssystem auftretenden größten Geschwindigkeit u und dem maximal möglichen Zeitschritt t her. Notwendige, aber nicht hinreichende Bedingung für Stabilität Informationen dürfen sich in einem Zeitschritt nicht mehr als eine Zelle weit ausbreiten c wird als Courant-Zahl bezeichnet -30-

31 RANDALL J. LEVEQUE: Finite Volume Methods for Hyperbolic Problems WikiBook Theorie und Numerik von Erhaltungsgleichungen ( ) -31-

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