7.3 Anwendungsbeispiele aus Physik und Technik

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1 Differenzialrechnung Anwendungsbeispiele aus Physik und Technik Kinematik Bewegungsabläufe lassen sich durch das Weg-Zeit-Gesetz s = s (t) beschreiben. Die Momentangeschwindigkeit ist die Ableitung des Weg-Zeit-Gesetzes nach der Zeit v (t) := ṡ (t) = d dt s (t) (Geschwindigkeit) und die Beschleunigung gibt die Änderung der Geschwindigkeit an: a (t) := v (t) = d dt v (t) = s (t). (Beschleunigung) (1) Für den freien Fall gilt s (t) = 1 2 g t2 + v 0 t + s 0, wenn s 0 die Anfangsposition und v 0 die Anfangsgeschwindigkeit. Es gilt hier für die Geschwindigkeit und Beschleunigung v (t) = ṡ (t) = g t + v 0, a (t) = v (t) = g = const. (2) Ein durch Luftreibung gedämpftes Federpendel schwingt mit x (t) = x 0 e γ t cos (ωt), Abb Federpendel wenn x 0 die Anfangsauslenkung, γ der Reibungskoeffizient und ω die Schwingungsfrequenz. Die Geschwindigkeit und Beschleunigung sind v (t) = ẋ (t) = γ x 0 e γ t cos (ωt) ω x 0 e γ t sin (ωt), a (t) = v (t) = γ 2 x 0 e γ t cos (ωt) + γ ω x 0 e γ t sin (ωt) +γ ω x 0 e γ t sin (ωt) ω 2 x 0 e γ t cos (ωt)

2 7.2 Rechenregeln bei der Differenziation 263 a (t) = ( γ 2 ω 2) x 0 e γ t cos (ωt) + 2 γ ω x 0 e γ t sin (ωt). Für den Spezialfall ohne Reibung (γ = 0) ist x (t) = x 0 cos (ωt) und ẍ (t) = a (t) = ω 2 x 0 cos (ωt) = ω 2 x (t). Dann ist die Rückstellkraft der Feder F = m a = m ẍ (t) = m ω 2 x (t) x (t). Dies ist das Hooksche Gesetz, welches besagt, dass die Rückstellkraft proportional zur Auslenkung x (t) ist Induktionsgesetz Das Induktionsgesetz aus der Physik lautet: Eine zeitliche Änderung des magnetischen Flusses φ induziert in einem Leiter mit Windungszahl n eine elektrische Spannung U i gemäß U i (t) = n d dt φ(t). Dabei ist der magnetische Fluss φ = B A eff, B das angelegte Magnetfeld und A eff die vom Magnetfeld durchdrungene Fläche. (1) Wenden wir das Induktionsgesetz auf eine in einem konstanten Magnetfeld rotierende Spule an, so ist die effektiv vom Magnetfeld durchdrungene Fläche A eff = A cos ϕ (t) = A cos (ωt). Nach dem Induktionsgesetz wird die Wechselspannung U i = n d dt φ = n d B A cos (ωt) dt = n B A ω sin (ωt) Abb Drehender Leiter mit der Scheitelspannung U 0 = n B A ω induziert. (2) Ist die Leiterschleife fest und variiert das Magnetfeld senkrecht zur Leiterschleife gemäß B = B 0 cos (ωt) mit Amplitude B 0 und Frequenz ω, so wird in der Leiterschleife (Querschnittsfläche A) die Spannung U i induziert gemäß der Formel U i = n d dt φ = n d dt A B 0 cos (ωt) = n A B 0 ω sin (ωt).

3 Differenzialrechnung Elektrostatik (1) In einem Plattenkondensator mit Anodenspannung φ A, Kathodenspannung φ K und Spaltabstand d ist das Potenzial φ (x) gegeben durch ( φ (x) = 1 x ) φ A + x d d φ K ( x ) = φ A + (φ K φ A ). d Das zugehörige elektrische Feld E ist definiert als Dann ist E (x) := d dx φ (x) (elektrisches Feld). E (x) = d dx φ (x) = 1 d (φ K φ A ) = φ A φ K d = const. (2) Kondensatormikrophon. An den Platten eines Kondensatormikrophons liegt eine konstante Spannung U 0 an. Der Druck der Schallwellen (Frequenz ω) ändert den Plattenabstand nach der Formel d = d 0 + a sin (ωt). Damit variiert die Ladung Q am Kondensator Q (t) = C (t) U 0 = ε 0 A d (t) U 0, da sich die Kapazität C zeitlich ändert. Der zeitliche Verlauf des Stromes I (t) = d dt Q (t) ist demnach gegeben durch I (t) = d dt Q (t) = ε 0 A U 0 d dt = ε 0 A U 0 ω a cos (ωt) [d 0 + a sin (ωt)] 2. 1 d 0 + a sin (ωt)

4 7.4 Differenzial einer Funktion Differenzial einer Funktion In diesem Abschnitt untersuchen wir das Verhalten von Funktionen, indem wir den Zuwachs der Funktion mit dem Zuwachs der Tangente vergleichen. Die Formeln bei der Linearisierung von Funktionen und der Fehlerrechnung basieren auf diesem Vergleich. 7.4 Um den Zuwachs einer differenzierbaren Funktion f in unmittelbarer Umgebung eines Punktes x 0 zu bestimmen, berechnen wir den Funktionswert an der Stelle x 0 und bei x 0 + x. Ändert sich der Abszissenwert um x, so ändert sich der Funktionswert um y. Für den Zuwachs y der Funktion f gilt y = f (x 0 + x) f (x 0 ). Abb Differenzial einer Funktion Wir vergleichen den Zuwachs der Funktion mit der Änderung der Tangente dy. Man nennt dx : unabhängiges Differenzial dy : abhängiges Differenzial (= Änderung der Kurventangente) Es gilt nach Abb. 7.6 tan α = f (x 0 ) = dy dx dy = f (x 0 ) dx. Definition: (Differenzial einer Funktion). Das Differenzial dy = df = f (x 0 ) dx einer Funktion y = f (x) beschreibt die Änderung längs der Tangente im Punkte x 0, wenn sich die Abszisse um dx ändert. df wird auch das Differenzial der Funktion f im Punkte x 0 bezeichnet.

5 Differenzialrechnung y: Änderung der Funktion bei Änderung des x-wertes um x. dy: Änderung der Tangente bei Änderung des x-wertes um dx. Beispiele 7.17: ➀ Gesucht ist das Differenzial der Funktion f (x) = x + 1 bei x 0 = 0: f (x) = (x + 1) 1 2 f (x) = 1 2 (x + 1) 1 2 f (x 0 = 0) = 1 2. Damit ist df = f (x 0 ) dx = 1 2 dx. ➁ Gesucht ist das Differenzial von f (x) = arctan x an der Stelle x 0 = 0: f (x) = arctan (x) f (x) = x 2 f (x 0 = 0) = 1. Damit ist df = 1 dx Linearisierung von Funktionen Aus dem Differenzial df einer Funktion werden wir nun noch eine für die Anwendungen wichtige Folgerung ziehen: Für kleine x = dx gilt näherungsweise y dy. Denn für kleine x = dx ist die Änderung der Tangente vergleichbar mit der Änderung der Funktion. Setzt man noch die Formel für dy ein, erhält man y dy = f (x 0 ) x. Abb Linearisierung einer Funktion Für kleine x kann die Funktion f in unmittelbarer Umgebung des Punktes x 0 durch die Kurventangente ersetzt werden. Man nennt dieses Vorgehen die

6 7.4 Differenzial einer Funktion 267 Linearisierung der Funktion f. Wegen y = f (x) f (x 0 ) dy = f (x 0 ) (x x 0 ) folgt für die Linearisierung der Funktion f an der Stelle x 0 : f (x) f (x 0 ) + f (x 0 ) (x x 0 ). Beispiele 7.18: ➀ Gegeben ist die Funktion f (x) = der Funktion bei x 0 = 1: Wegen f (x) = 4x. Gesucht ist die Linearisierung x (x + 1) 4x (x + 1) 4x (2x + 1) x 2 (x + 1) 2 ist f (x 0 = 1) = 1 f (x) f (x 0 ) + f (x 0 ) (x x 0 ) = 2 + ( 1) (x 1) = 3 x. ➁ Gegeben ist die Funktion f (ϕ) = sin ϕ. Gesucht ist die Linearisierung der Funktion bei ϕ 0 = 0: Wegen f (ϕ) = cos ϕ ist f (ϕ 0 = 0) = 1 f (ϕ) f (ϕ 0 ) + f (ϕ 0 ) (ϕ ϕ 0 ) = (ϕ 0) = ϕ sin ϕ ϕ (für kleine Winkel). Anwendungsbeispiel 7.19 (Harmonisches Pendel). An einem Faden der Länge l sei eine Masse m befestigt. Gesucht ist der Winkel ϕ (t) als Funktion der Zeit, wenn die Masse um einen kleinen Winkel ϕ 0 ausgelenkt wird. Wir bestimmen alle auf die Masse wirkenden Kräfte, denn nach dem Newtonschen Bewegungsgesetz ist die Beschleunigungskraft gegeben durch die Summe aller Kräfte. Gehen wir von einer reibungsfreien Bewegung aus, wirkt auf den Massenpunkt nur die Gewichtskraft F G = m g. Da die Beschleunigung der Masse senkrecht zum Faden erfolgt, wirkt als Beschleunigungskraft Abb Fadenpendel F B = F G sin ϕ = m g sin ϕ. Bei einer Kreisbewegung ist die Geschwindigkeit v (t) = l ω = l ϕ (t) und damit die Beschleunigung a (t) = v (t) = l ϕ (t). Insgesamt gilt nach dem