R-C-Kreise. durchgeführt am von Matthias Dräger und Alexander Narweleit

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1 R-C-Kreise durchgeführt am von Matthias Dräger und Alexander Narweleit PHYSIKALISCHE GRUNDLAGEN Physikalische Grundlagen. Kondensator Ein Kondensator ist ein passives elektrisches Bauelement, welches in der Lage ist elektrische Ladung Q zu speichern. Ein Kondensator besteht aus zwei Platten, wobei die Größe der Platten für die Kapazität C des Kondensators ausschlaggebend ist. Die elektrische Ladung ist proportional zur Kapazität und zur Spannung: Q = C U C = Q U ( Die Einheit der Kapazität wird in Farad angegeben: [C] = A s V = F (2 Der Strom I ist die zeitliche Änderung der Ladung. Damit gilt nach (: I C = du C = C du C (3 dt dt U C = C I C dt (4.2 R-C-Kreis; Entladestrom in Abhängigkeit von der Zeit In der folgenden Abbildung wird ein Kondensator mit der Kapazität C mit einem Widerstand R in einer geschlossenen Masche geschaltet: Abbildung : R-C-Kreis Die Spannung am Kondensator (U C ergibt sich aus (4, der Spannungsabfall U R am Widerstand ergibt sich aus der Definition: U R = R I R (5 Nach der Maschenregel muss die Summe aus U C und U R gleich 0 sein: U C + U R = C I C dt + R I = 0 (6

2 .3 Wechselstromwiderstand eines Kondensators PHYSIKALISCHE GRUNDLAGEN Da eine Reihenschaltung vorliegt gilt: I = I R = I C. Leitet man die Formel nach Zeit ab, erhält man eine Differentialgleichung für den Strom als Funktion der Zeit: C I + R di dt = 0 (7 di dt + R C I = 0 (8 Als Lösung der Differentialgleichung erfüllt nur die e-funktion die Bedingung: I(t = I 0 e R C t (9.3 Wechselstromwiderstand eines Kondensators Als Wechselstromwiderstand Z (Impedanz versteht man das Verhälnis der Amplituden von Spannung und Strom: Z = U 0 I 0 = U eff I eff (0 Für eine Wechselspannung U C = U 0 cos ω t am Kondensator kann durch Ableitung nach t gemäß (3 der Strom berechnet werden: I C = C du C = ω C U 0 sin ω t ( dt ( = ω C U 0 cos ω t + π (2 2 Der Wechselstromwiderstand für den Kondensator ergibt sich also aus dem Verhälnis der Amplitude: Z = ω C (3.4 Frequenzabhängiger Spannungsteiler (Hochpass und Tiefpass Da der Welchselstromwiderstand eines Kondensators von der Frenquenz abhängt, ist es möglich sogenannte Hochpass- und Tiefpass-Filter zu bauen. Ein Hochpass-Filter lässt nur Frenquenzen oberhalt ihrer Grenzfrequenz ungeschwächt passieren und filter niedrige Frequenzen heraus. Ein Tiefpass-Filter Abbildung 2: Hochpass-Filter lässt hingegen Frequenzen unterhalb ihrer Grenzfrequenz passieren und filtert hohe Frequenzen heraus. Abbildung 3: Tiefpass-Filter 2

3 3 VERSUCHSAUFBAU 2 Aufgaben. (Vorversuch Bauteil-Daten Messung des Widerstandes R und der Kapazität C der verwendeten Bauteile mit einem Multimeter. 2. (Abklingkurve Beobachtung der Lade- bzw. Entladestromkurve in einem R-C-Kreis. Bestimmung der Zeitkonstanten des Kreises und Berechnung der Kapazität C des Kondensators bei bekanntem Widerstand R. 3. (Wechselstromwiderstand Messung des Wechselstromwiderstandes Z eines Kondensators in Abhängigkeit von der Frequenz f der angelegten Wechselspannung. Grafische Darstellung des Ergebnisses (Z über T = /f. Vergleich mit dem theoretisch erwarteten Verlauf und Berechnung der Kapazität des Kondensators. 4. (Hoch-/Tiefpass Messung und grafische Darstellung der Durchlasskurven (Ausgangsspannung über Frequenz eines Hochpasses und eines Tiefpasses. Bestimmung der Kapazität des Kondensators aus der Schnittstelle der beiden Kurven (Übernahmefrequenz. 3 Versuchsaufbau Abbildung 4: Aufbau von Aufgabe 2 Abbildung 5: Aufbau von Aufgabe 3 Abbildung 6: Aufbau von Aufgabe 4 3

4 5 VERSUCHSDURCHFÜHRUNG 4 Geräte und Materialien Für den Versuch verwendeten wir folgende Geräte: Oszilloskop HAMEG (203-7 Digitalmultimeter Voltcraft VC 230 Funktionsgenerator Verbindungsstecker (Transistor Steckbrett Kondensator ohne Kennzeichnung (Wert siehe Durchführung Widerstand kω Gerät Oszilloskop Digitalmultimeter Fehler X-Achse: 5%, Y-Achse: 3%, Ablesefehler: ±0, 2cm DC: U: 0, 8% + d I:, 2% + 3d AC: U:, 2% + 5d I: 3, 0% + 5d AC/DC: C: 3, 0% + 5d AC/DC: R:, 0% + 2d Tabelle : Messfehler in der Übersicht 5 Versuchsdurchführung 5. Aufgabe Im sogenannten Vorversuch haben wir die genauen Werte von dem Kondensator (Kapazität und dem Widerstand gemessen. Der Fehler des Digitalmultimeters wurde für die Kapazität mit 3, 0% + 5d und dem Widerstand mit, 0% + 2d angegeben. Wir sind dabei auf folgende Werte gekommen: C = (03, 0 ± (3, , 05nF = (03, 0 ± 3, 4nF R = (7, 92 ± (0, , 0002kΩ = (7, 92 ± 0, 8kΩ 5.2 Aufgabe 2 In dem zweiten Versuch haben wir die Abklingkurze des Spannungsabfalls am Widerstand R mithilfe eines Oszilloskopen angeschaut. Dabei haben wir bei dem Funktionsgenerator eine Rechteck-Spannung eine eine Frequenz von f = (60±0, 2Hz eingestellt. Die Skalierung des Oszilloskopen haben wir für die Zeitachse (X-Achse auf cm = 0ms und die Spannungsachse (Y-Achse auf cm = 0, 5V eingestellt. Die komplette Entladedauer lag bei ca. 8cm 80ms. Die Amplitude haben wir mit 3,4V abgelesen. Wir haben nun den Spannungsabfall alle 0ms abgelesen: 4

5 5.3 Aufgabe 3 5 VERSUCHSDURCHFÜHRUNG t in ms U in V 0 3,4 0,9 20, 30 0,6 40 0,3 50 0,5 60 0, 70 0, Tabelle 2: Spannungswerte der Abklingkurve 5.3 Aufgabe 3 In diesem Versuch soll der Wechselstromwiderstand Z bestimmt werden. Dazu haben wir die Effektivspannung U eff am Widerstand gemessen und den Effektivstrom I eff im Stromkreis. Um den Frequenzbereich von Hz abzudecken, mussten wir die Skaleneinteilung vom Funktionsgenrator mehrmals ändern. Beim dritten Messwert haben wir die Einheit von 00Hz auf khz erhöht und beim fünften Messwert von khz auf 0kHz. In der folgenden Tabelle haben wir die Frequenzen bereits in Hz umgewandelt: f in Hz U eff in V I eff in ma 499,2 8,34 2, ,2 8,33 5, ,0 8,3 8, ,0 8,28 0, ,9 8,27 3, ,3 8,23 6, ,6 8,9 8, ,0 8,5 2, ,2 8,0 23, , 8,05 26,56 Tabelle 3: Effektivwerte im Wechselstromkreis 5

6 5.4 Aufgabe 4 6 AUSWERTUNG 5.4 Aufgabe 4 Im vierten Versuch haben wir einen Hoch- und Tiefpassfilter gebaut und die Spannungen am Widerstand (U R und am Kondensator U C bei unterschiedlichen Frequenzen bestimmt. Wir haben den Frequenzbereich auf 50-50Hz festgelegt, da sich die Spannungen bereits bei ca. 87Hz geschnitten haben. f in Hz U R in V U C in V 50,05 4,6 7, ,94 4,7 6, ,04 5,2 6, ,90 5,42 6, ,54 5,64 6,0 6 82,08 5,70 6, ,28 5,78 5, ,93 5,83 5,9 9 86,63 5,86 5, ,0 5,87 5,87 87,98 5,90 5, ,08 5,97 5, ,04 6,2 5,6 4 00,20 6,27 5,44 5 0,03 6,5 5,5 6 29,95 6,90 4, ,7 7,8 4,6 Tabelle 4: Spannungsabfälle am Hoch- und Tiefpass 6 Auswertung 6. Aufgabe Wir erhalten als Ergebnis für die Messung folgendes Ergebnis (gerundet auf eine signifikante Stelle: C = (03, 0 ± 3, 4nF = (03, 0 ± 3, 2nF R = (7, 92 ± 0, 8kΩ = (7, 9 ± 0, 2kΩ 6.2 Aufgabe 2 Wir nehmen den ersten und den drittletzten unserer Messwerte, um die Steigung m zu erhalten. m = y 2 y x 2 x 0, V 3, 4V = 60ms 0ms 0, 055 V ms Fehlerrechnung Wir gehen von einem Ablesefehler von 0,cm aufgrund von Flimmern und generellen Abweichungen bei manuellem Ablesen aus. Das entspricht bei der Zeitablesung einem Fehler von ms und in Bezug auf die Spannung 0,05V. 6

7 6.2 Aufgabe 2 6 AUSWERTUNG m = ( y 2 + y + 2 x y2 y y 2 y x 2 x x 2 x 0, 05V + 0, 05V = ( 0, V 3, 4V + 2 ms 0, V 3, 4V 60ms 0ms 60ms 0ms 0, V ms insgesamt : m = 0, 055 ± 0, 00 V ms Nach dem Skript gilt: RC = m. Daher müsste m die Einheit Wir rechnen als mit m in der Einheit ms weiter. Einsetzen: m = 0, 055 ± 0, 00 ms ms haben, was aber nicht der Fall ist. RC = 0, 055 ms RC = 8, 8ms Fehlerrechnung RC = m m ( m = m 0, 00 ms RC = ( 0, ms RC = 0, 33ms 0, 4ms insgesamt : RC = 8, 2 ± 0, 4ms m 2 Nun können wir die Kapazität C errechnen. C = RC R 8, 2ms = 7, 9kΩ = 0, 67nF Fehlerrechnung C = ( RC RC + R R RC R 0, 4ms 0, 2kΩ = ( + 8, 2ms 7, 9kΩ 8, 2 7, 9kΩ = 3, 37nF insgesamt : C = (02 ± 4nF Wenn man diesen Wert mit unserem gemessenen Wert von (03, 0 ± 3, 4 nf vergleicht, sieht man, dass sich der Unterschied im ersten Fehlerintervall befindet und daher sehr verträglich ist. 7

8 6.3 Aufgabe 3 6 AUSWERTUNG 6.3 Aufgabe 3 Um den Wechselstromwiderstand zu berechnen, benutzen wir (0 aus den physikalischen Grundladen: Z = U eff I eff Für die graphische Darstellung berechnen wir zudem die Kapazität C und die Periodendauer T mit: Z = ω C = 2π f C C = 2π f Z T = f Da die Frequenz immer kleine Schwankungen enthielt, nehmen wir einen Fehler von 0,2Hz an. Bei der Periodendauer T ist der Fehler nach der Rechnung im Mikro- bzw Nano-Sekunden-Bereich, weshalb wir diesen hier vernachlässigen. Durch das Messgerät haben die Effektivwerte folgende Fehler: f : 0, 2Hz U eff :, 2% + 5d I eff : 3, 0% + 5d f in Hz T in ms U eff in V I eff in ma Z in kω C in nf 499, 2 ± 0, 2 2,00 8, 34 ± 0, 0 2, 72 ± 0, 083 3, 07 ± 0, 4 03, 9 ± 4, , 2 ± 0, 2,00 8, 33 ± 0, 0 5, 45 ± 0, 7, 528 ± 0, , 2 ± 4, , 0 ± 0, 2 0,66 8, 3 ± 0, 0 8, 9 ± 0, 25, 05 ± 0, , 3 ± 4, , 0 ± 0, 2 0,50 8, 28 ± 0, 0 0, 87 ± 0, 33 0, 762 ± 0, , 4 ± 4, , 9 ± 0, 2 0,40 8, 27 ± 0, 0 3, 52 ± 0, 4 0, 62 ± 0, , 2 ± 4, , 3 ± 0, 2 0,33 8, 230 ± 0, 099 6, 23 ± 0, 49 0, 507 ± 0, , 5 ± 4, , 6 ± 0, 2 0,28 8, 90 ± 0, 099 8, 9 ± 0, 57 0, 433 ± 0, 09 04, 6 ± 4, , 0 ± 0, 2 0,24 8, 50 ± 0, 098 2, 5 ± 0, 65 0, 379 ± 0, 07 0, 9 ± 4, , 2 ± 0, 2 0,22 8, 00 ± 0, , 94 ± 0, 72 0, 338 ± 0, 05 05, 0 ± 4, , ± 0, 2 0,20 8, 050 ± 0, , 56 ± 0, 80 0, 303 ± 0, 03 05, ± 4, 6 Rechnungen für die Werte der ersten Zeile Tabelle 5: Effektivwerte im Wechselstromkreis Fehlerrechnung T T = f = 499, 2Hz 2ms Z = U eff I eff = C = 8, 34V 3, 07kΩ 2, 72mA 2π f Z = 03, 9nF 2π 499, 2Hz 3, 07kΩ δt = δf T = f f f T = 0, 2Hz 499, 2Hz 0, 8µs 499, 2Hz 8

9 6.4 Aufgabe 4 6 AUSWERTUNG Fehlerrechnung Z Fehlerrechnung C 6.4 Aufgabe 4 δz = δu eff + δi eff Z = Z = ( Ueff U eff ( 0, 0V 8, 34V δc = δf + δz ( f C = f + Z Z C = + I eff I eff + 0, 083mA 2, 72mA 2π f Z ( 0, 2Hz 0, 4kΩ + 499, 2Hz 3, 07kΩ Ueff I eff 8, 34V 0, 4kΩ 2, 72mA 4, 8nF 2π 499, 2Hz 3, 07kΩ Wir betrachten nun Tabelle 4 aus der Durchführung und fügen folgende Fehler hinzu: f : 0, 2Hz(Schwankungen U R /U C :, 2% + 5d Bei einer Frequenz von 87, Hz sind die Spannungsabfälle U R und U C gleich groß. Da es sich um f in Hz U R in V U C in V 50, ± 0, 2 4, 6 ± 0, 05 7, 20 ± 0, , 9 ± 0, 2 4, 7 ± 0, 06 6, 85 ± 0, , 0 ± 0, 2 5, 2 ± 0, 07 6, 48 ± 0, , 9 ± 0, 2 5, 42 ± 0, 07 6, 30 ± 0, , 5 ± 0, 2 5, 64 ± 0, 07 6, 0 ± 0, , ± 0, 2 5, 70 ± 0, 07 6, 04 ± 0, , 3 ± 0, 2 5, 78 ± 0, 07 5, 97 ± 0, , 9 ± 0, 2 5, 83 ± 0, 08 5, 9 ± 0, , 6 ± 0, 2 5, 86 ± 0, 08 5, 89 ± 0, , ± 0, 2 5, 87 ± 0, 08 5, 87 ± 0, 08 88, 0 ± 0, 2 5, 90 ± 0, 08 5, 84 ± 0, , ± 0, 2 5, 97 ± 0, 08 5, 77 ± 0, , 0 ± 0, 2 6, 2 ± 0, 08 5, 6 ± 0, , 2 ± 0, 2 6, 27 ± 0, 08 5, 44 ± 0, , 0 ± 0, 2 6, 5 ± 0, 08 5, 5 ± 0, , 0 ± 0, 2 6, 90 ± 0, 08 4, 62 ± 0, , 2 ± 0, 2 7, 8 ± 0, 08 4, 6 ± 0, 05 Tabelle 6: Spannungsabfälle am Hoch- und Tiefpass eine Reihenschaltung handelt gilt außerdem I = I C = I R. Wir berechnen nun die Kapazität des 9

10 7 ZUSAMMENFASSUNG UND DISKUSSION Kondensators wie folgt: R = U R I Z C = ω C R = Z C = ω C R = ω C C = ω R = 2π f R C = 02, nf 2π 87, Hz 7, 9kΩ Fehlerrechnung δc = δf + δr ( f C = f + R R ( 0, 2Hz C = 87, Hz 2π f R + 0, 2kΩ 7, 9kΩ Wir kommen also auf eine Kapazität von (02 ± 2nF., 4nF 2π 87, Hz 7, 9kΩ 7 Zusammenfassung und Diskussion 0