Filter zur frequenzselektiven Messung

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1 Messtechnik-Praktikum 29. April 2008 Filter zur frequenzselektiven Messung Silvio Fuchs & Simon Stützer Augabenstellung. a) Bauen Sie die Schaltung eines RC-Hochpass (Abbildung 3.2, Seite 3) und eines RC-Tiefpass (Abbildung 3.2, Seite 3) auf! Wählen Sie dazu die Werte für Widerstand und Kondensator so, dass Sie eine Grenzfrequenz im Bereich von einigen khz erreichen können. Beachten Sie den Massepol der angeschlossenen Geräte! b) Messen Sie mit dem Oszillograph und einem Wechselspannungsvoltmeter die Übertragungsfuktion g(ω), indem Sie die Amplitude g(ω) ) = U A und die Phase ϕ(ω) als Funktion der Frequenz aufnehmen. Bestimmen Sie die Phasenlage im Zweikanalbetrieb und x-y-betrieb am Oszi. Kontrollieren Sie die Phasenlage an charakteristischen Werten für die Phasenverschiebung ϕ (z.b. 0, π 2, π) anhand der zugehörigen Lissajous Figuren. c) Berechnen und messen Sie die Grenzfrequenz ω G der Schaltung und vergleichen Sie diese Mit den berechneten Werten. Die Bauelemente werden mit der RLC-Messbrücke ausgemessen. 2. a) Bauen Sie einen Parallel-Schwingkreis entsprechend Abbildung 3.2 (Seite 3) mit einer Resonanzfrequenz im Bereich von...00khz auf. Die Güte dieses Schwingkreises lässt sich besser mit dem Ersatzschaltbild beschreiben. b) Bestimmen Sie experimentell die Güte Q dieses Parallelschwingkreises durch Messung der Resonanzfrequenz f 0 und der Halbwertsbreite f und vergleichen Sie diesen Wert mit der theoretisch zu erwartenden Güte (R i = 50Ω). c) Fügen sie zur Vergrößerung des Spulenwiderstandes in Reihe zur Spule L einen Widerstand R = 0Ω ein und bestimmen Sie die Resonanzverschiebung zwischen Amplitudenmaximum und Phasenverschiebung.

2 2 Grundlagen Um die Beschreibung komplizierter elektrischer Netzwerke zu vereinfachen, geht man in den Frequenzraum über. So gelingt es, von kompliziert gekoppelten Differentialgleichungen zu relativ einfachen algebraischen Ausdrücken für die komplexe Ebene zu gelangen. Somit ist zudem eine Berücksichtigung der Phasenlage zwischen Strom und Spannung gegeben. In diesem Versuch betrachten wir zunächst einen Hoch- und Tiefpass. Es wird an einen Reihenschaltung von Widerstand und Kondensator ein Spannung angelegt. Die Ausgangsspannung U A wird dann am Kondensator (Tiefpass) bzw. am Widerstand (Hochpass) abgegriffen. Charakteristisch für diese beiden Schaltungen ist eine Phasenverschiebung (Tiefpass: 0 ϕ π 2 ; Hochpass: 0 ϕ π 2 ) der Ein- und Ausgangsspannung, eine Grenzfrequenz ω g und eine komplexe Übertragungsfunktion g(ω). Es gilt: ω g = R C bzw f = 2π R C () g(ω) = U A = + (ω R C) 2 ei arctan(ω R C) für den Tiefpass (2) g(ω) = U A = ω R C + (ω R C) 2 ei arctan( ω R C ) für den Hochpass (3) Aus Gleichung bis 3 ergibt sich also, dass die Amplitude der Ausgangsspannung im Fall der Grenzfrequenz um den Faktor 2 kleiner als die Eingangsspannung ist. Zudem erkennt man, dass es am Tiefpass für ω 0 keine Phasenverschiebung gibt und im Fall ω die Phasenverschiebung π 2 beträgt. Dabei geht am Tiefpass der Quotient der Amplituden U A für den ersten Fall gegen, für den zweiten Fall gegen Null. Aus der Übertragungsfunktion für den Hochpass sind dessen Eigenschaften zu erkennen. Hier ist es genau umgekehrt, sodass für ω 0 der Quotient U A gegen Null und die Phase gegen π 2 geht. Im Bereich großer Frequenzen ist U A = wobei die Phasenverschiebung verschwindet. In zweiten Teil des Praktikums beschäftigen wir uns mit dem Parallelschwingkreis. Dabei gelten folgende Beziehungen ( Z = R 2 + ω L ) 2 e iϕ Impedanz (4) ω C Q = f 0 C b = R L Güte (5) Damit im Parallelschwingkreis U A den maximalen Wert erreicht muss für die Blindwiederstände gelten X C + X L = 0, sodass der Imaginärteil der Impedanz verschwindet. Daraus folgt schließlich die Resonanzfrequenz mit ω 0 = LC (6) 2

3 3 Schaltung und verwendete Messgeräte 3. Messgeräte Zur Messung wurden folgende Messinstrumente verwendet: LMV8A Röhrenvoltmeter zur gleichzeitigen Messung von ein und Ausgangsspannung Oszillograph zur Bestimmung der Phasenverschiebung LCR-Messbrücke zur genauen Messung der Kenngrößen der einzelnen Bauelement 3.2 Schaltungen Abbildung : Tiefpass: R = 0, 24kΩ; C = 4, 784nF Abbildung 2: Hochpass: R = 0, 24kΩ; C = 4, 784nF Abbildung 3: Schwingkreis: L = 77, 63µH; C = 4, 44µF ; R =, 958kΩ Abbildung 4: Schwingkreis: L = 77, 63µH; C = 4, 44µF ; R =, 958kΩ R 2 =, 99Ω 3

4 4 Messwerte 4. Aufgabe.2 Abbildung 5: Messwerte für Übertragungsfunktion g(ω) am Tiefpass 4

5 Abbildung 6: Messwerte für Übertragungsfunktion g(ω) am Hochpass 5

6 Abbildung 7: errechnete Dämpfung und Differenz zwischen Hoch- und Tiefpass 6

7 4.2 Aufgabe 2.2. Abbildung 8: Messwerte Schwingkreis Bei der Messung des Schwingkreises mit vorgeschaltetem Widerstand ergaben sich folgende Messwerte: ω 0 = 9000Hz ω 0 = 8570Hz bestimmt durch Maximum der Ausgangsspannung bestimmt durch Lissajous Figuren 7

8 5 Auswertung 5. Aufgabe b) 5.. Tiefpass Abbildung 9: Tiefpass: R = 0, 24kΩ; C = 4, 784nF Übertragungsfunktion g(ω) Abbildung 0: Tiefpass: R = 0, 24kΩ; C = 4, 784nF Phasengang Es wurde die charakteristische Übertragungsfunktion eines Tiefpasses gemessen. Durch Anfitten der theoretischen Funktion an die Messdaten, wurde ein experimenteller Wert von s ± s für das Produkt R C ermittelt. Dieses Ergebnis liegt mit.5% über dem, durch die Referenzmessung der Kapazität und des Widerstandes ermittelten Wert von: R C = 0.24kΩ 4.784nF = s. Dieser Unterschied ist auf den Widerstand der Leitungen und der Spannungsquelle zurückzuführen. Mit Hilfe der Lissajous-Figuren wurden markante Phasenverschiebungen überprüft. So wurde im x-y-modus bei ϕ = 0 eine Gerade, bei ϕ = π 2 ein Kreis (Ellipse in Hauptachsenlage) auf dem Oszillographen abgebildet. 8

9 5..2 Hochpass Abbildung : Hochpass: R = 0, 24kΩ; C = 4, 784nF Übertragungsfunktion g(ω) Abbildung 2: Hochpass: R = 0, 24kΩ; C = 4, 784nF Phasengang Es wurde die charakteristische Übertragungsfunktion eines Hochpasses gemessen. Mit Hilfe der Lissajous- Figuren wurden markante Phasenverschiebungen überprüft. So wurde im x-y-modus bei ϕ = 0 eine Gerade, bei ϕ = π 2 ein Kreis (Ellipse in Hauptachsenlage) auf dem Oszillographen abgebildet. 5.2 Aufgabe c) Aus der angefitteten Übertragungsfunktion für den Tiefpass ergibt sich folgendes Ergebnis für die Grenzfrequenz ω 0 : g(f) = + (2πf RC) 2 = mit g(f) = 2 g(f 0 ) 2 ω 0 = 2πf 0 = RC ω 0 = rad und damit s f 0 = Hz + (2πf s) 2 = RC Die theoretische Grenzfrequenz beläuft sich auf f 0theoretisch = Hz bzw. ω 0theoretisch = rad s. 9

10 Durch die Messung des Phasengangs und der Dämpfung erhält man equivalente Ergebnisse. Dies zeigt sich an den Abbildungen 7,,2 sowie 3 (siehe unten). Abbildung 3: Dämpfung an Hoch- und Tiefpass: R = 0, 24kΩ; C = 4, 784nF 0

11 5.3 Aufgabe 2 a) Die Schaltungen für den Aufbau eines Schwingkreises in Aufgabe 2. sind äquivalent. Der Unterschied zwischen den Schaltungen besteht zwischen den Versorgungsquellen (siehe rechts). Die Spannungsquelle ist zu den Widerständen in Reihe und die Stromquelle parallel geschaltet. Die ideale Spannungsquelle hat keinen Innenwiederstand. Durch den vorgeschalteten Widerstand R i wird die reale Scpannungsquelle simuliert. Die Stromquelle hingegen besitz im Idealfall einen unendlcih großen Widerstand. So fällt über der idealen Spannungsquelle keine Spannung ab und es fließt über die Stromquelle auch kein Strom. Somit sind die Schaltungen äquivalent. Abbildung 4: äquivalente Quellen: links: Spannungsquelle rechts: Stromquelle Der Widerstand R v simuliert den Verlustwiderstand der Leitungen, Anschlüsse und Messgeräte. 5.4 Aufgabe 2 b) Abbildung 5: Schwingkreis: R =, 958kΩ; C = 4, 44µF ; L = 77, 63µH Der theoretische Wert für die Resonanzfrequenz des Schwingkreises beläuft sich auf f 0 = 2π LC 8874Hz. aus der Abbildung 5 und der Messwerttabelle (Abbildung 8) ergibt sich: f 0 = 9540Hz und b = b 2 b 5000Hz 6000Hz = 9000Hz

12 theoretischer Wert für die Güte des Schwingkreises: C C Q = R L = (R 4.44µF i + R) = (50Ω + 958Ω) L 77.63µH 464 aus den Abbildungen: Q = f 0 b = 9540Hz 9000Hz =.06 Erklärung für diese Diskrepanz siehe Diskussion. Formal bestimmt sich der Verlustwiderstand R v zu: 5.5 Aufgabe 2 c) R ges = R v + R v = R ges R ges =.06 R v = 4, 598Ω R + R i R+R i mit R ges = Q gem 77.63µH 4.44µF = Ω L C Da wir mit einem 0Ω Widerstand keine Resonanzfrequenz messen konnten, weil unser zuvor gewälter Widerstand mit 2kΩ sehr groß gewählt ist, benutzten wir einen.99ω Widerstand. Damit ergibt sich folgende Resonanzfrequenzverschiebung für die Phasenverschiebung: ω P = ω 0 ω 0verschoben = 9540Hz 8570Hz = 970Hz und für das Amplitudenmaximum: ω A = ω 0 ω 0verschoben = 9540Hz 9000Hz = 540Hz 2

13 6 Diskussion Im ersten Aufgabenteil wurden die Übertragungsfunktionen von Hoch- und Tiefpass nahe an den theoretischen Kurven gemessen. Einiger Ausreißer bei den Messwerten sind auf Ablesefehler zurückzuführen. Deutlich wird dies insbesondere bei Abbildung 2, der letzten Messung zum ersten Aufgabenteil, da sehr viele Messwerte aufgenommen wurden und dementsprechend zügig gearbeitet werden musste. Die Ergebnisse der Messung zeigten dennoch erstaunlich genau die charakteristischen Verläufe. In Abbildung 3 wird die Dämpfung von -3dB für die Grenzfrequenz von Hoch- und Tiefpass sehr genau ereicht. In Aufgabe 2 traten deutlich mehr Probleme auf. Zunächst erschien uns die große Diskrepanz zwischen gemessener und theoretisch bestimmter Güte als unwahrscheinlich und falsch. Nach zeitraubender, erfolgloser Fehlersuche scheint uns folgende Erklärung logisch: Die meisten unserer Kommilitonen verwendeten kleine Widerstände im Bereich des Innenwiderstandes der Spannungsquelle. Wir benutzen einen 2kΩ Widerstand. Der parallel geschaltete Verlustwiderstand R v ist bei unserer Messung der Ausschlaggebende. Über den großen Widerstand fließt im Experiment fast kein Strom mehr. In der theoretischen Betrachtung jedoch wird der Verlustwiderstand nicht berücksichtigt. Der wirkende Widerstand ist 2kΩ groß. Was den großen Unterschied zwischen den bestimmten Güten erklären dürfte. Letztlich wurde gezeigt, dass bei zur Spule in Reihe geschalteten Widerständen die Resonanzfrequenz verschoben wird. Insgesamt konnte hier die Resonanzverschiebung mit Hilfe von Lissajous- Figuren genauer bestimmt werden. Ablese- und Gerätefehler wurden in den Messwerttabellen angegeben und in den Graphen eingezeichnet. Eine ausführliche Fehlerrechnung erschien uns bei diesem Versuch als wenig hilf- und aufschlussreich. 3