Lössungen Serie 3 (Komplexe Zahlen in der Elektrotechnik)

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1 Fachhochschule Nordwestschweiz FHNW) Hochschule für Technik Institut für Geistes- und Naturwissenschaft Lössungen Serie 3 Komplexe Zahlen in der Elektrotechnik) Dozent: Roger Burkhardt Klasse: Studiengang ST Büro: Semester: Modul: Algebra 1 Datum: FS Aufgabe Gegeben sei die folgende RL-Serieschaltung mit L 10mH, R 100Ω und t) 10V sin 500t 1 s) : L t) R U a t) a) Bestimme die komplexen Impedanzen der einzelnen Bauteile und den komplexen Gesamtwiderstand. Stelle diesen in der Gauss schen Zahlenebene dar. R: Z R R 100Ω L: Z L iωl i mH i5ω s Gesamtwiderstand Serieschaltung): Z ser Z R + Z L R + iωl i5)ω Ωcis.864 ) Zeigerdiagramm der Impedanzen: b) Bestimme im komplexen Bildbereich den Strom durch den Ohm schen Widerstand und die Ausgangsspannung U a. Eingangsspannung): 10 V 10 V cis0 )

2 Algebra 1 Lösungen Serie 3 Komplexe Zahlen in der Elektrotechnik) FS 010 I Strom): I Z ser U a Ausgangsspannung): 10 V cis0 ) Ωcis.864 ) 70.6mAcis.864 ) U a IZ R 70.6mAcis.864 )5Ω 7.06V cis.864 ) c) Bestimme die Übertragungsfunktion U a? U a û R+iωL û 1 R + iωl R iωl R + ω L ) Die Amplitude des Ausgangssignals entspricht somit 99.88% der Amplitude des Eingangssignals und das Ausgangssignal eilt dem Eingangssignal um den berechneten Phasenwinkel hinterher! d) Bestimme die stationäre Ausgangsspannung U a t). U a t) 7.06 V sin500 1 s t 0.05) V sin5001 s t 0.05). Aufgabe Gegeben sei die folgende RC-Serieschaltung mit C 1µF, R 1000Ω und t) 10V sin 500t 1 s) : C t) R U a t) a) Bestimme die komplexen Impedanzen der einzelnen Bauteile und den komplexen Gesamtwiderstand. Stelle diesen in der Gauss schen Zahlenebene dar. R: Z R R 1000Ω C: Z C i 1 i000ω ωc Gesamtwiderstand Serieschaltung): Z ser Z R + Z C R i 1 ωc 1000 i000)ω 36.1Ωcis ) Seite / 8

3 Algebra 1 Lösungen Serie 3 Komplexe Zahlen in der Elektrotechnik) FS 010 Zeigerdiagramm der Impedanzen: b) Bestimme im komplexen Bildbereich den Strom durch den Ohm schen Widerstand und die Ausgangsspannung U a. Eingangsspannung): 10 V 10 V cis0 ) I Strom): I Z ser U a Ausgangsspannung): 10 V cis0 ) 36.1Ωcis ) 3.mAcis ) U a IZ R 3.mAcis )1000Ω 3.V cis ) c) Bestimme die Übertragungsfunktion U a? U a û R i 1 ωc û 1 R i 1 ωc ωcrωc + i R ω C ) Die Amplitude des Ausgangssignals entspricht somit 44.7% der Amplitude des Eingangssignals und das Ausgangssignal eilt dem Eingangssignal um den berechneten Phasenwinkel vor! d) Bestimme die stationäre Ausgangsspannung U a t). Skizze: U a t) 4.471V sin500 1 s t ) Seite 3 / 8

4 Algebra 1 Lösungen Serie 3 Komplexe Zahlen in der Elektrotechnik) FS Aufgabe Bei der nachfolgenden Reihenschaltung beträgt der Effektivwert des Stromes I ges 5A. Erstelle ein Zeigerdiagramm für die Impedanzen und eines für die Spannungen. I ges Ω i4ω -i6 Ω Impedanzen: Z ser Z R + Z L + Z C Ω + i4ω i6ω i)ω.884ωcis 45 ) Spannungen mit I ges 5A 5Acis0 )): U R I ges Z R 5Acis0 )Ω 10V cis0 ) 10V U L I ges Z L 5Acis0 )4Ωcis90 ) 0V cis90 ) i0v U C I ges Z C 5Acis0 )6Ωcis 90 ) 30V cis 90 ) i30v U ges I ges Z ser 5Acis0 ).884Ωcis 45 ) V cis 45 ) 10V i10v Seite 4 / 8

5 Algebra 1 Lösungen Serie 3 Komplexe Zahlen in der Elektrotechnik) FS Aufgabe In der untenstehenden Schaltung misst man die Ströme I ges 30A, I 1 18A und I 15A sind Effektivwerte). Bestimme R und L ω s ): I ges R I1 I L 4Ω Die Spannung über den drei Bauteilen ist gleich der Spannung über dem 4Ω Widerstand Parallelschaltung): U U R U L 60V Gemäss untenstehender Skizze lässt sich mit dem Kosinussatz die Phasenverschiebung zwischen I und I ges bestimmen: I z I I R I ges I 1 I L R z Seite 5 / 8

6 Algebra 1 Lösungen Serie 3 Komplexe Zahlen in der Elektrotechnik) FS 010 cosϕ) I ges + I I1 ϕ I ges I Somit kennen wir zwei Ströme als komplexe Zeiger: I 15Acis0 ), I ges 30Acis 7.17 ) Den Strom I 1 lässt sich nun als Differenz dieser beiden Ströme berechnen: I 1 I ges I 30Acis 7.17 ) 15Acis0 ) 18Acis ) } A {{ } i A } {{ } I R Dieser Strom ist die Summe der beiden Zweigströme I R und I L. Aus diesen Strömen lassen sich nun Widerstand und Induktivität berechnen: X L U L I L R U R I R 5.18Ω 4.386Ω L X L ω 14.6mH 5. Aufgabe An der Serieschaltung mit R 50Ω, L 50mH und C 0µF liegt eine Spannungsquelle ff 100V mit variabler Frequenz. a) Erstelle die Ortskurve für die Gesamtimpedanz f ). s Z ser Z R +Z L +Z C R+i πfl 1 ) 50 + i πf 5 πfc )) Ω πf Skizze Ortskurve: I L b) Erstelle die Ortskurve für die Spannung über der Spule. Skizze Ortskurve: U L ff Z ser Z L 100V 50 + i πf 5 10πf 50i πf πf πf πf πf )) )) ) V iπf 5 Ω 100 Ω Seite 6 / 8

7 Algebra 1 Lösungen Serie 3 Komplexe Zahlen in der Elektrotechnik) FS 010 c) Bei welcher Frequenz ist die Spannung über der Spule maximal mittels Ortskurve und rechnerisch). U L ) 10πf πf πf + 50 ) V 50 + πf πf Maximum Extremwertaufgabe) bestimmen: d df U L π π f f 50000π 3 V 0 f + π 4 f )) Gleichung lösen: π π f f 50000π 3 V 0 f + π 4 f )) f s 6. Aufgabe Gegeben sei das folgende Netzwerk: Seite 7 / 8

8 Algebra 1 Lösungen Serie 3 Komplexe Zahlen in der Elektrotechnik) FS 010 5Ω Ω i3ω 4Ω U 30V 1 I 1 i5ω I 6Ω I3 U 0V a) Bestimme das lineare Gleichungssystem für die Maschenströme I 1, I und I 3 in Matrizenschreibweise) und berechne diese Maschenströme. Masche 1: Masche : Masche 3: System: I I 1 I ) i5 30 I I 1 ) i5 + I + i3) + I I 3 ) 6 0 I 3 I ) 6 + I i5 i5 0 i5 8 + i I 1 I I b) Bestimme alle Zweigströme und die Spannungsabfälle über den Impedanzen. Maschenströme: I 1 I I 3 Zweigströme: i i i I 5Ω) I i) A i i i I i5ω) I 1 I i) A i) A i) A I Ω+i3Ω) I i) A I 6Ω) I I i) A i) A Spannungen: i) A I 4Ω) I i) A U 5Ω) I 5Ω) i) V U i5ω) I i5ω) i5) i) V U Ω+i3Ω) I Ω+i3Ω) + i3) i) V U 6Ω) I 6Ω) i) V U 4Ω) I 4Ω) i) V Seite 8 / 8