Wechselspannungskreis Definition Teil C: Wechselstromkreis Beschreibungsgrößen Wechselspannung:

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1 Teil C: Wechselstromkreis Beschreibungsgrößen Ohmscher, kapazitiver, induktiver Widerstand Knoten- und Maschenregeln Passiver / Bandpass Dezibel Bode-Diagramm Beschreibungsgrößen Wechselspannung: U φ U U m Amplitude Wechselspannungskreis Definition Winkelgeschwindigkeit Phasenlage bei t = messbarer Momentanwert komplexe Schreibweise: I U(t = ) U φ U U m U(t) = U * e j(*t + φ U ) 6.8. Wechselstromkreis Definition Wechselstrom / -spannung Phasenlagen Beschreibungsgrößen Wechselstrom: I Amplitude Winkelgeschwindigkeit I I(t = ) I φ I Beschreibungsgrößen Wechselstrom: I(t) = I * e j(*t + φ I ) U(t) = U * e j(*t + φ U ) I I(t = ) I U(t = ) φ φ U I φ I Phasenlage bei t = I m In der egel ist φ I = φ U I m messbarer Momentanwert komplexe Schreibweise: I(t) = I * e j(*t + φ I ) / Teil C / Seite

2 Widerstand Widerstand Widerstand U, I V 7,5A Widerstand ist zeitlich konstant.,3ω Beschreibung: U(t) = U * e j(*t + φ U ) Wechselstromquelle I(t) = I * e j(*t + φ I ) Die Animation zeigt: φ I = φ U Widerstand Kondensator ein ohmscher Stromkreis: U(t) = U * e j(*t + φ U ) I(t) = I * e j(*t + φ U ) Widerstand: U(t) U * e j(*t + φ U ) (t) = = I(t) I * e j(*t + φ U ) U = I = I I I(t) I m U U(t) U m Der Imaginärteil des rein ohmschen Widerstands ist Beschreibung: U(t) = U * e j(*t + φ U ) I(t) = I * e j(*t + φ I ) Die Animation zeigt: φ I = φ U + 9 (d.h. der Strom eilt um 9 voraus) / Teil C / Seite 2

3 U, I V 7,5A Ω Kondensator Widerstand ändert sich zeitlich, wird sogar negativ ein kapazitiver Stromkreis: U(t) = U * e j(*t + φ U ) I(t) = I * e j(*t + φ U + π/2) Widerstand: = Kondensator U(t) U * e j(*t + φ U ) (t) = = I(t) I * e j(*t + φ U + π/2) U * e j(*t + φ U ) I * e j(*t + φ U ) * e jπ/2 I(t) I I m ZC Der ealteil des rein kapazitiven Widerstands ist. I U U = - j = - jzc = konst. I U(t) U m ein kapazitiver Widerstand ein kapazitiver Widerstand ein kapazitive Widerstände sind freq.abhängig. U(t) = * I(t) j*c egel: Frequenz verdoppelt Widerstand halbiert Winkelgeschwindigkeit.* Bewegte Ladung pro Zeit wächst linear mit. Stromstärke I wächst linear mit. I(t) = dq(t)/dt = C * du(t)/dt = j * * C * U(t) I = j * * C * U Z C = /j( * C) ein kapazitive Widerstände sind freq.abhängig. (vgl ) *.25* Grundfreq Verdoppel. 2. Verdoppel. 3. Verdoppel. 4. Verdoppel / Teil C / Seite 3

4 egel: ein kapazitiver Widerstand Frequenz verdoppelt Widerstand halbiert Bildliche Darstellung wird günstiger, wenn die jeweiligen Verdoppelungen / Halbierungen gleichabständig sind. Induktivität.* log() Gerade, "6dB pro Oktave".5*.25*.25* log() Beschreibung: U(t) = U * e j(*t + φ U ) I(t) = I * e j(*t + φ I ) Grundfreq.. Verdoppel. 2. Verdoppel. 3. Verdoppel. Die Animation zeigt: φ I = φ U U, I V 7,5A Induktivität Induktivität ein induktiver Stromkreis: U(t) = U * e j(*t + φ U ) I U(t) Ω I(t) = I * e j(*t + φ U - π/2) Widerstand: U(t) U * e j(*t + φ U ) (t) = = I(t) I * e j(*t + φ U - π/2) Z L I U I m U m I(t) Widerstand ändert sich zeitlich, wird sogar negativ U * e j(*t + φ U ) U = I * e j(*t + φ U ) * e -jπ/2 = j = jzl = konst. I Der ealteil des rein induktiven Widerstands ist / Teil C / Seite 4

5 ein induktiver Widerstand Vergleich Gleich- / Wechselstromwiderstand Bauteil Gleichstrom Wechselstrom ohmscher Widerstand U = * I U = * I Winkelgeschwindigkeit Bewegte Ladung pro Zeit wächst linear mit. Änderung der Stromstärke I wächst linear mit. U(t) = L * di(t)/dt U = j * * L * I U(t) dt = L * I(t) Z L = j * * L Kapazität Induktivität unendlich U = * I j * * C U = j * * L* I ein induktive Widerstände sind freq.abhängig Knotenregel (. Kirchhoffsches Gesetz) Die Summe alle Ströme eines Stromknotens ist null: N Σ I k (t) = zu jedem Zeitpunkt t k = I 6 *e j(*t+φ 6 ) I 5 *e j(*t+φ 5 ) Maschenregel (2. Kirchhoffsches Gesetz) Die Summe aller Spannungen eines Stromkreises (Masche) ist null: N Σ U k (t) = zu jedem Zeitpunkt t k = I *e j(*t+φ ) I 2 *e j(*t+φ 2 ) I 3 *e j(*t+φ 3 ) I 4 *e j(*t+φ 4 ) U U U 2 U 4 U / Teil C / Seite 5

6 Kombination von ohmschen, kapazitiven und induktiven Widerständen Ohmsche, kapazitive und induktive Widerstände können kombiniert werden. Möglichkeiten: eihenschaltung Parallelschaltung Parallel- und eihenschaltung Diese Schaltungen haben eine große technische Bedeutung. Aufgabe: Tiefpass, Bandpass, Hochpass Ausgewählte Frequenzen unverändert durchlassen; Andere Frequenzen unterdrücken. Beispiel: Frequenzweiche Lautsprecherbox kw max. HP BP TP Tiefpass Gewünschtes Übertragungsverhalten: Hochpass Gewünschtes Übertragungsverhalten: Verstärkung A Verstärkung: A = Ausgangsspannung Eingangsspannung Verstärkung A Verstärkung: A = U a U e f g Grenzfreq. Frequenz f f g Grenzfreq. Frequenz f / Teil C / Seite 6

7 Bandpass ealisierung Gewünschtes Übertragungsverhalten: ohmscher Spannungsteiler ohm. / kap. Spannungsteiler Verstärkung A Verstärkung: A = U a U e U (t) U 2 (t) 2 U a (t) U a2 (t) U (t) U C (t) C U a (t) U ac (t) f ug untere Grenzfreq. f og Frequenz f obere Grenzfreq U a (t) = * / ( + 2 ) U a2 (t) = * 2 / ( + 2 ) U a (t) = * / ( + Z C ) U ac (t) = * Z C / ( + Z C ) ealisierung ealisierung ohm. / kap. Spannungsteiler U C (t) U (t) C U ac (t) U a (t) Z C = j*c U a (t) = * / ( + Z C ) = * + Z C / = * + j*c* U a (t) A (j) = = + j*c* U a (t) A (j) = = + j*c* Werte für A (j) bei *C = /4 ΩF: e(a (j)) Im(A (j)) Verstärkung A ist - von abhängig. Betrag / Winkel φ / Teil C / Seite 7

8 U a (t) A (j) = = + ealisierung j*c* Ortskurve für A (j) bei *C = /4 ΩF: Im(A (j)) =.5 2 φ Betrag A (j).5 Verstärkung A ist - von abhängig. = 2 e(a (j)) ealisierung U a (t) Diagramm des Betrags A (j) = = +. / 2.5 A (j) bei *C = /4 ΩF j*c* Es handelt sich um einen Hochpass. Bezeichnung: Passiver Hochpass. Ordnung ealisierung ealisierung ohm. / kap. Spannungsteiler U C (t) U (t) C U ac (t) U a (t) Z C = j*c U ac (t) = * Z C / ( + Z C ) = * + /Z C = * + j*c* U ac (t) A C (j) = = + j*c* 6.9. U ac (t) A C (j) = = + j*c* Werte für A C (j) bei *C = /4 ΩF: e(a C (j)) Im(A C (j)) Verstärkung A C ist - von abhängig. Betrag / Winkel φ / Teil C / Seite 8

9 ealisierung U ac (t) A C (j) = = + j*c* Ortskurve für A C (j) bei *C = /4 ΩF: = 2 Im(A C (j)) φ 5.5 Betrag A C (j) 4 3 Verstärkung A C ist - von abhängig. 2 = e(a C (j)) Diagramm des Betrags. / ealisierung A C (j) bei *C = /4 ΩF Es handelt sich um einen Tiefpass. U ac (t) A C (j) = = + j*c* Bezeichnung: Passiver Tiefpass. Ordnung ohmscher Spannungsteiler U (t) U 2 (t) 2 ealisierung U a (t) U a2 (t) ohm. / ind. Spannungsteiler U (t) U L (t) L U a (t) ohm. / ind. Spannungsteiler U (t) U L (t) L ealisierung U a (t) Z L = j*l U a (t) = * / ( + Z L ) = * + Z L / = * + j*l/ U a (t) = * / ( + 2 ) U a2 (t) = * 2 / ( + 2 ) U a (t) = * / ( + Z L ) = * Z L / ( + Z L ) U a (t) A (j) = = + j*l/ / Teil C / Seite 9

10 ealisierung U a (t) A (j) = = + j*l/ Werte für A (j) bei L/ = /4 H/Ω: e(a (j)) Im(A (j)) Verstärkung A ist - von abhängig. Betrag / Winkel φ ealisierung U a (t) A (j) = = + j*l/ Ortskurve für A (j) bei L/ = /4 H/Ω: = 2 Im(A (j)) φ 5.5 Betrag A (j) 4 3 Verstärkung A ist - von abhängig. 2 = e(a (j)) ealisierung ealisierung U a (t) Diagramm des Betrags A (j) = = + j*l/ A (j) bei L/ = /4 H/Ω. / Es handelt sich um einen Tiefpass. Bezeichnung: Passiver Tiefpass. Ordnung ohm. / ind. Spannungsteiler U L (t) U (t) L U a (t) Z L = j*l = * Z L / ( + Z L ) = * = * A L (j) = = + /Z L + j*l + j*l / Teil C / Seite

11 A L (j) = = ealisierung Werte für A L (j) bei L/ = /4 H/Ω: e(a L (j)) j*l Im(A L (j)) Verstärkung A L ist - von abhängig. Betrag / Winkel φ A L (j) = = Im(A L (j)) =.5 2 φ ealisierung 3 + j*l Ortskurve für A L (j) bei L/ = /4 H/Ω: Betrag A L (j).5 Verstärkung A L ist - von abhängig. = 2 e(a L (j)) ealisierung Tiefpass - Hochpass Vergleich real - ideal Diagramm des Betrags A L (j) = A L (j) bei L/ = /4 H/Ω =. / Es handelt sich um einen Hochpass. + Bezeichnung: Passiver Hochpass. Ordnung. j*l / 2.5. / A L (j) bei L/ = /4 H/Ω idealer Hochpass idealer Tiefpass A (j) bei L/ = /4 H/Ω / Teil C / Seite

12 . / 2.5 Tiefpass - Hochpass Festlegung Grenzfrequenz A L (j) bei L/ = /4 H/Ω A (j) bei L/ = /4 H/Ω Festlegung: Grenzfrequenz g wird so gewählt, dass A L (j g ) = A (j g ) ist. Folgerung: A (j g ) = A L (j g ) = / / 2 Verhältnis von Spannungen Dezibel A L (j) A (j) Beide Kurven stellen Spannungsverhältnisse dar: A L (j) = A (j) = U a (t) Das gebräuchliche Maß dafür ist das Dezibel: Verhältnis = 2 * log U U 2 Einheit: Dezibel (db) Diagramm des Betrags db egel: -3 db -6 db Verhältnis von Spannungen Dezibel A (j) bei L/ = /4 H/Ω U a (t) A (j) = = + j*l/ Abschwächung auf 7,7% Abschwächung auf 5% ( 2*log (.5) = -2*.3 = -6) Betrag von db Verhältnis von Spannungen Dezibel U a (t) L/ = /4 H/Ω + j*l = + j*l/ egel: db Spannungen sind gleich Abfall 6dB pro Oktave / Teil C / Seite 2

13 Verhältnis von Leistungen Dezibel Das Dezibel wird auch zum Vergleich von Leistungen benutzt: Bode-Diagramm Animation zu Bild zeigt: Große Phasenverschiebungen zw. Strom und Spannung. Verhältnis = * log P P 2 Einheit: Dezibel (db) Zusammenhang: P = U * I = U 2 / z.b. Leistung am Widerstand P 2 = U 2 * I 2 = U 2 / P U 2 / U *log ( ) = *log P ( 2 U 2 ) = 2**log 2 / ( ) U Bode-Diagramm Verstärkung / Abschwächung und Phasenverschiebung im Wechselstromkreis wird durch A(j) beschrieben. A(j) ist komplex und abhängig von. Beispiel Tiefpass: A (j) = + j*l/ Darstellung in der komplexen Zahlenebene (kart. Koordinaten): Im(A (j)) φ 5.5 Betrag A (j) 4 e(a (j)) 3 2 = Bode-Diagramm Bode-Diagramm: Darst. von A (j) mit Polarkoordinaten. db A (j) = + j*l/ -3 /L = 4 Ω/H Betrag Winkel / Teil C / Seite 3