Lösungen Serie 4 (Komplexe Zahlen: Ortskurven)

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1 Fachhochschule Nordwestschweiz FHNW Hochschule für Technik Institut für Geistes- und Naturwissenschaft Lösungen Serie 4 Komplexe Zahlen: Ortskurven Dozent: oger Burkhardt Klasse: Studiengang ST. Aufgabe Büro: 4.63 Semester: Modul: Algebra Datum: FS00 a Bestimme die Gleichung der Geraden z t a + it durch die Punkte z i und z + i. Die komplexe Zahl a bezeichnet den kürzesten Zeiger auf die Gerade. Mit Hilfe der Vektorgeometrie lässt sich dieser einfach berechnen: Gerade parametrisiert: r r r +t r +t Normalenvektor ichtungsvektor um 90 Grad drehen: n Normalform Koordinatengleichung: n r r Hesse sche Normalform: x y 0 x + y x + y t Kürzeste Entfernung: D Ortsvektor zum nächsten Punkt: D a n n Die gesuchte komplexe Zahl kürzester Zeiger lautet somit: a 6 i3 Ein Parametrisierung der gesuchten Geraden: z t a + it 6 i3 + it

2 Algebra Lösungen Serie 4 Komplexe Zahlen: Ortskurven FS 00 b Stelle die gefundene Gerade mit MATLAB graphisch dar. MATLAB: >>syms t >>ortskurve6/-i*3/*+i*t, t,[-6,6],[-,-3,-,0,,3,],0,0 Skizze: c Bestimme Gleichung, Mittelpunkt und adius des Kreises, welcher durch Inversion der Geraden entsteht. Inversion: w t z t 6 i 3 + it Kreisdaten: w M 3 eia tan it tan eia i w eia tan + it Seite /

3 Algebra Lösungen Serie 4 Komplexe Zahlen: Ortskurven FS 00. Aufgabe a Gegeben sei der Kreis mit Mittelpunkt M, 4 und adius. Besschreibe den Kreis in der Form: z t a + it + b Kreis mit Mittelpunkt M, 0 und adius : z t a + it 4 + it Verschiebung des Kreises, so dass der Mittelpunkt an der richtigen Stelle liegt: z t z t + + 4i i + it b Bestimme Gleichung, Mittelpunkt und adius des invertierten Kreises. Inversion: Am einfachsten ist es den nächsten und entferntesten Punkt zu invertieren: Nächster Punkt: z N w E z N 4i 7 Entferntester Punkt: z E + w N z E 4i 7 zm + 4i z M zm i zm + + 4i z M zm i Neuer Mittelpunkt Mitte zwischen nächstem und entferntestem Punkt: + w M w N + w E + + 4i 7 + zm i Seite 3 /

4 Algebra Lösungen Serie 4 Komplexe Zahlen: Ortskurven FS 00 Neuer adius: w w E w N zm Aufgabe Gegeben sei folges aster: 3 y x Bestimme die Inversion des asters und der dargestellten schraffierten Fläche. Inversion aster: Vertikale Geraden a ergeben Kreise durch den Ursprung mit Mittelpunkt auf der reellen Achse ausser die x-achse, welche als Gerade durch den Ursprung auf sich selbst abgebildet wird!: z t a + it w t a + it a + it M a, 0, a Seite 4 /

5 Algebra Lösungen Serie 4 Komplexe Zahlen: Ortskurven FS 00 3 y x Horizontale Geraden a ia, a ergeben Kreise durch den Ursprung mit Mittelpunkt auf der imaginären Achse ausser die y-achse, welche auf sich selbst abgebildet wird!: z t ia + it w t ia + it a e i signa M 0,, a a π + it 3 y x Seite /

6 Algebra Lösungen Serie 4 Komplexe Zahlen: Ortskurven FS 00 Überlagerung und Schraffur: A y 3 B G D E C D C F G F E x A B 4. Aufgabe Gegeben sei die folge Schaltung 0Ω, L 0mH und C mf : A L C B a Bestimme die kreisfrequenzabhängige Gesamptimpedanz und stelle diese mit MATLAB graphisch dar. Serieschaltung -L Gerade nicht durch Ursprung: Z ser + iωl Parallelschaltung Kreis nicht durch Ursprung: Z par + +iωl + iωl + iωl Gesamptimpedanz keine bekannte Kurve: MATLAB: Z ges + iωl + iωl i ωc Seite 6 /

7 Algebra Lösungen Serie 4 Komplexe Zahlen: Ortskurven FS 00 %Ortskurven mit MATLAB: % %Parameter: syms omega %Bereich für den Parameter: DB omega_r [00,000]; %Feste Parameterwerte für die Beschriftung: omega_w [00,300,00,700,900]; %Ortskurve serie: z_s0+i*omega*0.0 %Skizze: ezplotrealz_s,imagz_s,omega_r; hold on %Ortskurve parallel: z_p//0+/0+i*omega*0.0 %Skizze: ezplotrealz_p,imagz_p,omega_r; hold on %Ortskurve gesamt: z_g//0+/0+i*omega*0.0-i/omega/0.00 %Skizze: ezplotrealz_g,imagz_g,omega_r; hold on %Beschriftung: for k:lengthomega_w zzsubsz_g,omega,omega_wk; xxrealzz; yyimagzz; plotxx,yy, r* textxx,yy,strcat \leftarrow \omega,numstromega_wk Skizze: Seite 7 /

8 Algebra Lösungen Serie 4 Komplexe Zahlen: Ortskurven FS 00 b Stelle den Betrag und das Argument des Gesamtwiderstandes graphisch dar. Betrag: Argument: c Für welche Kreisfrequenz ist die Gesamptimpedanz reell? Argument: Z ges + iωl + iωl i ωc + iωl iωl 4 + ω L 3 + ω L + i ωl + i 4 + ω L ωc ωc 3 + ω L + i ω LC 4 ω L ωc 4 + ω L im Zges arg Z ges atan re Z ges ω LC 4 ω L atan 3 ωc + ω 3 L C + i ωc Seite 8 /

9 Algebra Lösungen Serie 4 Komplexe Zahlen: Ortskurven FS 00 Nullstelle: Die Arkustangensfunktion wird Null, wenn das Argument Null ist. Zähler des Bruches muss somit Null sein: ω LC 4 ω L 0 ω LC L 4 ω 4 LC L ω LC L s. Aufgabe In der egelungstechnik wird zur Untersuchung von egelstrecken und zum Einstellen der egelparameter oft die sogenannte Wurzelortskurve eingesetzt. Sei die offene egelstrecke durch die Übertragungsfunktion G 0 s beschrieben, so versteht man unter der Wurzelortskurve WOK die Darstellung in der Gauss schen Zahlenebene aller Lösungen Wurzeln für s der Gleichung kg 0 s + 0 Die gefundenen Lösungen sind dabei abhängig vom reellen Parameter k. a Bestimme von der folgen Übertragungsfunktion die WOK k [0, 30]. G 0 s + 0s + 3s + s MATLAB: function wokf,va,va_range,va_werte %WOK skizziert zur angegebenen Übertragungsfunktion %die Wurzelortskurve. %f Übertragungsfunktion der offenen Strecke %va unabhängige Variable %va_range Bereich für die unabhängige Variable %va_werte Werte wo die wok beschriftet werden soll. % %Bsp.: %>>syms s %>>g_0/+0*s/+3*s/+s %>>wokg_0,s,[0,0000],[0:000:0000] c[ r, g, k, b, y, c, m ]; hold off anz00; kw[va_range:va_range-va_range/anz:va_range]; for kk:lengthkw Seite 9 /

10 Algebra Lösungen Serie 4 Komplexe Zahlen: Ortskurven FS 00 kkwkk; lsgsolvek+/f,va; for pp:lengthlsg if isrealdoublelsgpp plotdoublelsgpp,0,.m \%strcat.,cpp else if realdoublelsgpp>0 plotdoublelsgpp,.b \%strcat.,cpp else if absimagdoublelsgpp<0.00 plotdoublelsgpp,.m \%strcat.,cpp else plotdoublelsgpp,.r \%strcat.,cpp hold on %Beschriftung: for kk:lengthva_werte kva\_wertekk; lsgsolvek+/f,va; for pp:lengthlsg textrealdoublelsgpp,imagdoublelsgpp,... strcat k,numstrva_wertekk Skizze: b Für welche k-werte ist der ealteil der Nullstellen grösser Null aufschaukelnde Schwingung! Seite 0 /

11 Algebra Lösungen Serie 4 Komplexe Zahlen: Ortskurven FS 00 der ealteil gleich Null Schwingung mit konstanter Amplitude! der ealteil kleiner Null und der Imaginärteil ungleich Null gedämpfte Schwingung! der ealteil negativ und der Imaginärteil gleich Null keine Schwingung! Diese Fragen lassen sich nur numerisch beantworten. Es gilt: der ealteil der Nullstellen grösser Null aufschaukelnde Schwingung!: k > der ealteil gleich Null Schwingung mit konstanter Amplitude!: k der ealteil kleiner Null und der Imaginärteil ungleich Null gedämpfte Schwingung!: 0.36 < k < der ealteil negativ und der Imaginärteil gleich Null keine Schwingung!: 0 < k 0.36 Seite /