Mathematik. Komplexe Zahlen

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1 K- Gegeben ist die Gleichung. öst man diese Gleichung nach auf, so erhält man mit Hilfe der pq-formel: 6 / / / 6 Wenn diese Gleichung etzt lautet, dann erhält man einen negativen adikanden: 6 / / / / { 6,,98,,98 Da die Wurzelgleichung nur für positive definiert ist, ersetzt man mit der imaginären Einheit, d.h. (normalerweise ist die imaginäre Einheit i, edoch ist i in der Elektrotechnik bereits für den elektrischen Strom vergeben). Die reelle Achse (ahlenstrahl) wird um die imaginäre Achse erweitert. Beispiel: gegeben ist die komplee ahl Die Darstellung für liegt in Komponentenform vor. Die Komponenten sind der ealteil e { } und der maginärteil {} m. Dabei ist zu beachten, dass der maginärteil nur ist und nicht! Das ist nur ein ndikator für den maginärteil.

2 K- m {} 6 7 e {} Eine andere Form der Darstellung neben der Komponentenform ist die Euler sche Form. Dabei wird die komplee ahl in Betrag und Phase zerlegt. m {},8e, e {} Dieser eiger ist kein Vektor; er unterliegt anderen echengesetzen (siehe ultiplikation kompleer ahlen).

3 K- Der Betrag ist die änge des eigers und wird mit Hilfe des Satzes von Pthagoras berechnet: [ e {} ] [ m {} ], 8 Der Winkel wird mit dem Tangens berechnet: Gegenkathete m tan Ankathete e (,6),96 { } {},6 Die ahl sieht nach der Euler schen Darstellung wie folgt aus:,96,8e. Als letzte Darstellungsform gibt es die trigonometrische Form, die sich an die Komponentenform anlehnt. Diese Darstellung dient zur Umrechnung von der Euler schen Form in die Komponentenform und hat folgende Schreibweise: [ cos( ) sin( )],8[ cos(,96 ) sin(,96 )],8(,87,) Für weitere Berechnungen wird diese Form allerdings nicht verwendet. Für bestimmte Berechnungen hat die Komponentenform, für andere die Euler sche Form Vorteile. Das Addieren und Subtrahieren erfolgt mit Hilfe der Komponentenform, das ultiplizieren, Dividieren sowie adizieren in der Euler schen Form. Für den Term ergeben sich folgende usammenhänge: e 9 e -9 e usw... 8 ; e * Weiterhin gibt es noch die konugiert komplee ahl. Eistiert eine komplee ahl, so lautet die konugiert komplee ahl *, also einfach nur ein Vorzeichenwechsel des * maginärteils. Damit gilt auch.

4 K- Allgemeine echenregeln mit kompleen ahlen: und Um die weitere Darstellung zu vereinfachen werden die ahlen und allgemein dargestellt: und S S A A Das ultiplizieren geht aber wesentlich einfacher mit der Euler schen Form. Allerdings muss man die kompleen ahlen erst einmal in die Euler sche Form umwandeln: damit ergibt sich der Betrag zu,8 9 und der Winkel zu,8, damit ergibt sich der Betrag zu 6, und der Winkel zu 8,66,8 7, 8,66,8 e,8 e 6,,8 e zum Vergleich mit dem Ergebnis von :,8 89 und 7,, Das Dividieren sollte nach öglichkeit nur in der Euler schen Form erfolgen.

5 K- D,8e,6 e D e e Das adizieren geht wie folgt:,8e 6,e,8 ( ) (,8 8,66 ) 8,66,8 e 6, e, nach den Gesetzen des adizierens gilt: n m n a b a b und a a m also dementsprechend: e, e, e (, ),9e,8 Dies ist allerdings nur eine ösung für, denn eine Gleichung. Grades hat vier ösungen. Der eiger ist nach einer Drehung von 6 wieder an seiner ursprünglichen age. an teilt die 6 durch den Eponenten von hier also und erhält die anderen drei Winkel. 6 : 9,9e,9e,9e,9e,8 76,7 66,7,8 Ganz allgemein gilt für das adizieren: n k n e n ( πk ) für k,,...,n auf dieses Beispiel angewendet: k k k k e e e e (, 6 ) (, 6 ) (, 6 ) (, 6 ),9e,9e,9e,9e,8 76,7 66,7,8

6 K-6 Die Darstellung der letzen Winkelgröße (-,8 ) rührt daher, dass man bei kompleen ahlen keine Winkel größer als 8 angibt. Daraus resultiert folgende Tabelle: Quadrant > und >. Quadrant < und >. Quadrant < und <. Quadrant > und < V. Quadrant Hat man einen kompleen Bruch, so kann man ihn nach ealteil und maginärteil, bzw. nach Betrag und Phase auflösen. Dazu geht man wie folgt vor:. ealteil und maginärteil {} {} m e Erweiterung komplee konugiert. Betrag und Phase {} [ ] {} [ ] m e oder für das Argument benötigt man allerdings ealteil und maginärteil: {} {} e m

7 al ein konkretes Beispiel: K-7 Stand:..6; Es kommt bei elektrischen Verbrauchern (otoren, euchtstofflampen, usw.) vor, dass sie als ast nicht nur einen Widerstand, sondern auch eine Spule darstellen. Diese Spule verursacht eine Phasenverschiebung zwischen Gesamtstrom und spannung, wodurch die Wirkleistung sinkt. Die Berechnung hierfür lautet: P U cos( ). Bei ist cos( ) ; die Wirkleistung P ist hier am größten. Eistiert eine Phasenverschiebung, so ist cos kleiner und die Wirkleistung nimmt ab. Umgehen kann man dies, in dem man einen Kondensator (zur Blindstromkompensation) parallel dazu einsetzt (auch Kompensation induktiver Blindleistung genannt). Der Verbraucher entspricht einer eihenschaltung aus einem Widerstand und einer Spule. Parallel dazu liegt der Kondensator zur Kompensation. U Verbraucher U U An dieser Stelle wird nicht näher auf den usammenhang zwischen sinusförmiger Spannung und Strom an den Bauelementen, und eingegangen (Verweis auf das Elektrotechnik). Da bei der Spule die Spannung dem Strom um 9 voreilt, drückt man das durch ein aus; beim Kondensator eilt die Spannung 9 dem Strom nach, also. Allgemein gilt für die mpedanz (Scheinwiderstand, oder auch U Gesamtwiderstand) : (das hier steht für die mpedanz). Für die mpedanzen folgt dann nach kompleer Schreibweise: U U U X X Demzufolge gilt für die Parallelschaltung aus und : ( ) ( )

8 K-8 Um nur den Blindstrom (Blindleistung) zu kompensieren, muss man die Größe des maginärteils von berechnen. Die echnung sieht wie folgt aus: Erweiterung komplee konugiert Um die Blindleistung zu kompensieren, muss der maginärteil gleich Null sein. Also: {} m it dieser Formel und allen bekannten Werten für, und kann der Kondensator berechnet werden.