Elektro- und Informationstechnik. Mathematik 1 - Übungsblatt 12 Lösungsvorschläge

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1 Mathematik - Übungsblatt Lösungsvorschläge Aufgabe (Zuordnung reeller Größen zu komplexen Größen) Der Vorteil der komplexen Rechnung gegenüber der reellen besteht darin, dass die erforderlichen Rechnungen in bestimmten Aufgabenstellungen (u.a. Wechselstromrechnung, Schwingungsberechnung in der technischen Mechanik, Physik) einfacher durchführbar sind, siehe Negativbeispiel in Aufgabe 0. Der gesamte Vorgang besteht dann aus drei Phasen: Darstellung der reellen physikalischen Größen durch komplexe Größen Rechnung im komplexen Zahlenraum Darstellung der komplexen Größen durch reelle Größen. Gegeben ist die eingeprägte (= belastungsunabhängige) sinusförmige Wechselspannung des Haushaltsnetzes Es bedeuten ut= u sin t= U eff sin t mit den Konstanten u eff =30[Volt] und = T = f [ s ]. Kreisfrequenz mit der Periodendauer T einer vollständigen Sinusschwingung und der Frequenz f. Im Haushaltsnetz ist T = 0 [ms], f = T =50[Hz] u Amplitude der Sinusschwingung, im Haushaltsnetz ist u=35[volt ]. U eff Effektivwert der sinusförmigen Spannung u(t) (Wird alles in Elektrotechnik genau erklärt, hier geht es nur um die Sinusfunktion) a) Warum ist das Argument t dimensionslos? [ s ] t [s]= t [] b) Warum stellt t eine Winkelgröße dar? Der Zahlenwert von t kann als Winkel im Bogenmaß interpretiert werden. Winkel sind dimensionslos. c) Wie ändert sich der Winkel t= t in Abhängigkeit von der Zeit t? t wächst linear. Da die Kreisfrequenz eine Konstante darstellt, ändert sich t ebenfalls linear mit t. d) Skizzieren Sie ein t - u(t) -Koordinatensystem, tragen Sie für t [ 0.5 T,.5 T] Winkelmarken bei = 90, 0, 90, 80, 70 usw. ein und stellen Sie den Verlauf u(t) dar. Tipp: Lassen Sie Scilab für sich arbeiten! Seite von

2 e) Schreiben Sie die Spannung u(t) mit Hilfe der Eulerformeln in komplexer Form. ut= 30 sin t= 30 ei t e i t [Volt] i f) Wenn man bereits weiß, dass die Spannung sinusförmig mit der Periodendauer T verläuft: Welche Angaben aus e) reichen dann aus, um u(t) eindeutig zu beschreiben? Hinweis: Das Ergebnis ist eine komplexe Zahl, vorzugsweise in Exponentialform und wird komplexer Spannungszeiger U oder U genannt. Welchen Betrag und welchen Winkel weist dieser Zeiger auf? Die Größen, i stellen unabhängig vom physikalischen Hintergrund Konstanten dar, und t sind bei gegebener Sinusschwingung bekannt. Zur Charakterisierung reichen dann die Angabe des Effektivwertes U eff und des Phasenwinkels. Letzterer ist hier =0. Beide Angaben lassen sich kompakt in einer Zeigergröße verpacken : U=U eff e i =30 e i 0 [ Volt] Aufgabe (Zuordnung reeller Größen zu komplexen Größen) Ein rein ohmsches Netzwerk wird mit der Spannung ut= u sin t aus Aufgabe gespeist. Alle Spannungen an den Widerständen haben dann ebenfalls einen sinusförmigen Verlauf, im Allgemeinen aber mit anderer Amplitude. Z. B. misst man am Widerstand R die Spannung u t=u sin t=k u sin t mit k = u u, k R als Proportionalitätsfaktor. a) Skizzieren Sie für u =0.5 u den Verlauf von u(t) und u t für t [ 0.5 T,.5 T]. Tipp: Lassen Sie Scilab ran, Sie erhalten ein Diagramm sehr ähnlich dem Folgenden: Seite von

3 b) Schreiben Sie die Spannung u (t) mit Hilfe der Eulerformeln in komplexer Form. u t= U eff sin t= 30 k ei t e i t [Volt ] i c) Wenn man die eingeprägte Spannung u(t) bereits kennt: Welche Angaben aus a) reichen dann aus, um u (t) eindeutig zu beschreiben? Hinweis: Das Ergebnis ist ein komplexer Spannungszeiger U vorzugsweise in Exponentialform. Welchen Betrag und welchen Winkel hat er? U =U eff e i =30 k e i 0 [ Volt] Aufgabe 3 (Zuordnung reeller Größen zu komplexen Größen) Wenn ein elektrisches Netzwerk außer ohmschen Widerständen auch Kondensatoren (Kapazitäten) und/oder Spulen (Induktivitäten) enthält und mit einer eingeprägten Spannung ut= u sin t gespeist wird, misst man nach der Zeitspanne von einigen Perioden T praktisch an jedem Netzwerkelement ebenfalls eine sinusförmige Spannung gleicher Periodendauer T, die jedoch gegenüber u(t) ähnlich wie bei Aufgabe eine andere Amplitude und zusätzlich eine von 0 verschiedene Phasenlage zeigt. Das lässt sich für irgendein Element mit dem Index a als u a t= u a sin t a ausdrücken. a) Skizzieren Sie für u a =0.5 u a =30 den Verlauf von u(t) und u a t für t [ 0.5 T,.5 T]. Tipp: Scilab einspannen: Seite 3 von

4 b) Schreiben Sie die Spannung ua(t) mit Hilfe der Eulerformeln in komplexer Form. u a t= U a eff sin t a = U a eff ei t a e i t a [ Volt] i c) Wenn man die eingeprägte Spannung u(t) bereits kennt: Welche Angaben aus b) reichen jetzt aus, um ua(t) eindeutig zu beschreiben? Hinweis: Das Ergebnis ist ein komplexer Spannungszeiger U a, vorzugsweise in Exponentialform. U a =U eff e i a [ Volt] Aufgabe 4 (Zuordnung reeller Größen zu komplexen Größen) Was ändert sich an den Ergebnissen zu Aufgabe 3, wenn die eingeprägten Spannungen einen cosinusförmigen Verlauf haben, also ut= u cost= U eff cos t oder u t=u cos t=k u cos t oder u a t= u a cos t a? Nichts, da die Darstellung der Spannungen in komplexer Form keinen Einfluss auf Betrag oder Phasenwinkel hat: ut= 30 cos t= 30 ei t e i t [Volt] U=U eff e i 0 u t= U eff cos t= 30 k ei t e i t [Volt] U =U eff e i 0 u a t= U a eff cos t= 30 k ei t a e i t a [ Volt]U a =U a eff e i a. Seite 4 von

5 Aufgabe 5 (Zuordnung eines komplexen Spannungszeigers zur reellen Zeitfunktion) Gegeben ist die eingeprägte Speisespannung ut= u sin t= U eff sin t= 0 sin t[volt] eines ohmschen Netzwerks. Für die Spannung am Widerstand R wird der komplexe Zeiger U =5 e 0 i [Volt ] genannt. a) Geben Sie die zugehörige reelle Spannung u(t) an. u t= U eff sin t = 5 sin t0 = 5 sin t[volt] b) Fertigen Sie ein Zeitdiagramm für das.5-fache der Periodendauer T an. Mit Scilab: Aufgabe 6 (Zuordnung eines komplexen Spannungszeigers zur reellen Zeitfunktion) Gegeben ist die Speisespannung ut= u sin t= u eff sin t= 380 sin t[volt ] eines allgemeinen Netzwerks. Für die Spannung am Kondensator C wird der komplexe Zeiger U C =50 e 53 i [Volt ] genannt. a) Geben Sie die zugehörige reelle Spannung uc(t) an. u c t= U C eff sin t C = 50 sin t53 [Volt ] b) Skizzieren Sie u(t) und u C (t). Selber machen (orientieren Sie sich z. B. an den Lösungsvorschlägen zu den Aufgaben 3) oder 5). Seite 5 von

6 Aufgabe 7 (Phasenlage zwischen zwei Spannungen) Ein Netzwerk wird durch die eingeprägte Spannung ut=8 sin t30 [Volt] gespeist. An einer Induktivität wird mit einem Oszillographen eine sinusförmige Spannung u L (t) gleicher Frequenz gemessen, deren Amplitude 7 Volt beträgt und bezogen auf den Zeit-Nullpunkt - eine Phasenverschiebung von L =60 hat. a) Skizzieren Sie die beiden Spannungen. Selber machen (orientieren Sie sich z. B. an den vorausgegangenen Lösungsvorschlägen) b) Skizzieren Sie die beiden Spannungszeiger. U= 8 ei 30 =7.i 9.9 [Volt] U L = 7 ei 60 =.5i 4.3 [Volt ] Achtung: Die Beträge der Zeiger sind Effektivwerte, die Amplituden müssen deshalb durch geteilt werden. c) Geben Sie das komplexe Verhältnis der Zeiger zu ul (t) und u(t) an. U L U =0.5 ei 30 Aufgabe 8 (Rechenoperationen mit komplexen Größen) An der Reihenschaltung eines ohmschen Widerstands R und eines Kondensators C liegt die Spannung u a t= U eff sin t= 380 sin t[ Volt]. Der komplexe Wechselstrom-Widerstand der Reihenschaltung ist Z=R i C Seite 6 von

7 a) Geben Sie den komplexen Spannungszeiger Ua an. U a =U eff e i 0 =380 e i 0 [Volt ] b) Berechnen Sie den komplexen Stromzeiger Ia = U a Z in Exponentialform. U I a = a Z = U eff ei 0 R = U eff ei e i 0 R i = i C C R 380 I a = R e i arctan R C [Ampere] C ei arctan R C [Ampere] C c) Tragen Sie die Zeigergrößen in die komplexe Ebene ein. Z. B. für T=0.0[s], R=[Ohm], C= 0 3 [Farad]. U a =U eff e i 0 =380 e i 0 =380i 0 [ Volt] 380 I ei arctan a = = ei arctan.59 =0 e i 57.9 =07.3i 7. [Ampere] (Elektrotechnische Interpretation: Der Strom eilt der Spannung voraus) Aufgabe 9 (Rechenoperationen mit komplexen Größen) Gegeben sind die beiden parallel geschalteten komplexen Widerstände Z =R i C und Z =R i L f =50[s ], R =50[Ohm], R =00[Ohm], C= [F], L=0.64[H] Seite 7 von

8 a) Geben Sie den resultierenden komplexen Widerstand allgemein in Exponential- und Normalform an. Z res = Z Z Z Z = R R C LC R R R LCC L R R L C L R i LC CR LCC L R R Es würde ausreichen, Zähler und Nenner für sich in Normalform darzustellen: Z Z res = R Z R L C i LR R C L R R C Z = Z R R i C L = R i L R C R R R i L R CR Tipp: Bei diesen Monster -Rechnungen hilft es, zweckmäßige Abkürzungen zu definieren. Z. B. : T =C R, T = L R, k= R R. Wegen der Dimension [s] bezeichnet man T, T als Zeitkonstanten, k ist ein dimensionsloser Faktor, insbesondere gilt R = R k vorherige Ausdruck etwas übersichtlicher: T T Z res = R i T T ki k T T. Damit wird der Hieraus lässt sich schließlich die Exponentialform bestimmen. Dazu definiert man zunächst die Phasenwinkel des Zähler- und Nennerterms: T Z = arctan T T, N = arctank T k Z res = R T k T T T T k T T T ei Z N b) Berechnen Sie den resultierenden komplexen Widerstand mit den Zahlenwerten. Nehmen Sie dabei ausnahmsweise die Dimensionen als bereits passend an. Z =50.0 i 00.0= [Ohm] Z =00.0i 0.= [Ohm] Z res =5.3 i 77.3=38.8 e 33.8 [Ohm] Seite 8 von

9 c) Tragen Sie die drei Zeiger in die komplexe Ebene ein. Aufgabe 0 (Berechnung von zeitlichen Spannungsverläufen ohne komplexe Rechnung) (Keine Pflicht, nur zum Vergnügen...) Die Reihenschaltung eines ohmschen Widerstandes R und einer Kapazität C ist an einer Spannungsquelle u(t) angeschlossen. Die Spannung u C (t) an der Kapazität steht mit einer beliebig verlaufenden Speisespannung u(t) allgemein über die Differenzialgleichung (kommt später) ut=u C tr C du C t dt Falls u(t) sinusförmig mit ut= U eff sin t in Zusammenhang. verläuft, ist die Spannung am Kondensator im eingeschwungenen Zustand ebenfalls sinusförmig, jedoch mit anderem Effektivwert und einem von Null verschiedenen Phasenwinkel: u C t= U Ceff sin t C Da die Differenzialgleichung aus physikalischen Gründen immer erfüllt sein muss, gilt oder ut= U eff sin t= U Ceff sin t C U Ceff R C cos t C ut= U eff sin t= U Ceff [sin t C R C cos t C ] Durch trigonometrische Umformungen und Koeffizientenvergleiche erhält man daraus die beiden unbekannten Größen U Ceff und C. Bestimmen Sie diese. Hinweis: Verwenden Sie die allgemeine trigonometrische Umformung sin t=sin t coscos t sin (II) Die Gleichung (I) gilt für jeden Zeitpunkt, also auch für t=0: 0= U Ceff [sin C R C cos C ] (III) (I) Sie gilt ebenfalls für t= C t= C : Seite 9 von

10 U eff sin C = U Ceff [sin0 R C cos0 ]= U Ceff RC (IV) Aus (III) und (IV) erhält man sin C cos C =tan C = RC C = arctanrc (V) U Ceff =U eff sin C RC = U sin C eff RC (VI) Mit der trigonometrische Umformung von (V) x C = arctanx= arcsin ergibt sich aus (VI) U eff U Ceff =. RC x = arcsin RC RC Zum Vergleich: Die komplexe Schreibweise liefert über die Spannungsteilerregel i C U C = R U= i RC U. i C Daraus folgt direkt U eff U Ceff =, RC C = arctanrc. Entscheiden Sie selbst, was schneller geht und bedenken Sie, dass reale Netzwerke wesentlich komplexer aufgebaut sein können... Seite 0 von

11 Anhang Ein mit Scilab erstelltes Diagramm, welches zwei Wechselspannungen mit unterschiedlichen Amplituden und Phasenwinkel zeigt: Seite von