IV. Elektrizität und Magnetismus

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1 IV. Elektrizität und Magnetismus IV.4 Wechselstromkreise Physik für Mediziner

2 Ohmscher Widerstand bei Wechselstrom Der Ohmsche Widerstand verhält sich bei Wechselstrom genauso wie bei Gleichstrom zu jedem Zeitpunkt t gilt: (t) R I(t) const d.h. das Verhältnis aus momentaner Spannung (t) und momentaner Stromstärke I(t) ist konstant Der Widerstand ist unabhängig von der Kreisfrequenz ω der Wechselspannung beim Ohmschen Widerstand laufen Spannungs- und Stromzeiger in Phase im Zeigerdiagramm um. An R: und I in Phase Physik für Mediziner

3 Auf- und Entladen eines Kondensators.) Aufladen: I(t) I R C e.) Gleichgewicht: (t) t ( e 3.) Entladen: (t) R C e I(t) I e t t R C t R C (t) Widerstand I(t) unendlich Auf- und Entladen eines Kondensators Physik für Mediziner 3 )

4 Kondensator bei Wechselstrom Anlegen einer Wechselspannung an einem Kondensator ist dem einem periodischen Auf- und Entladen ähnlich. Erst muss Strom fließen, damit der Kondensator aufgeladen wird; d.h. Stromstärke eilt der Spannung um 9 (oder T/4) voraus der kapazitive Widerstand X c nimmt mit zunehmender Frequenz ab: ω C Physik für Mediziner 4 X c I d.h. bei Gleichspannung ist X c unendlich groß Am Kondensator eilt Strom der Spannung um δ 9 voraus An Kondensator C: I vor

5 Selbstinduktion einer Spule Wenn ein Strom I durch eine Spule fließt, so entsteht innerhalb n I der Spule ein Magnetfeld: B μ (h Länge der Spule) h dieses Magnetfeld verursacht einen magnetischen Fluss Φ durch die Spule: n A I Φ A B(I) μ h Wenn sich der Strom I ändert, dann ändert sich auch der magnetische Fluss Es wird eine Spannung induziert, die der rsache der Flussänderung entgegenwirkt: dφ d di ind n n A ( n A I μ ) μ dt dt h h dt di ind L n A mit Induktivität L μ dt der Spule L Induktivität (Selbstinduktion): Einheit [L] V s/a H (Henry) Die induzierte Spannung erzeugt einen zusätzlichen Strom in der Spule, der beim Ein- bzw. Ausschalten der externen Spannung den Anstieg bzw. Abfall des Gesamtstroms verlangsamt (Lenzsche Regel). Physik für Mediziner 5 h

6 Selbstinduktion einer Spule Einschalten: (Schließen von S und Öffnen von S ) Externe Spannung liegt sofort an. Stromfluss ist verzögert durch R t induzierte Gegenspannung.) Einschalten: I(t) ( e L ) Ausschalten: (Schließen von S und Öffnen von S ) Externe Spannung ist sofort weg; aber Strom fließt noch wegen induzierte Spannung achleuchten mit Induktivität 3.) Ausschalten: Physik für Mediziner 6 I(t) R.) Gleichgewicht: I R R nur Ohmscher Widerstand R t e L

7 Ideale Spule bei Wechelstrom Anlegen einer Wechselspannung an eine Spule ist wieder periodischem An- und Abschalten ähnlich. Strom hinkt der Spannung um 9, d.h. um T/4 hinterher. (R) der induktive Widerstand X L nimmt mit wachsender Frequenz zu: X L L ω I d.h. bei Gleichstrom ist X L An einer Spule hinkt der Strom der Spannung um δ 9 hinterher An Induktivität L: vor I Physik für Mediziner 7

8 Wechselstromwiderstand Frequenzabhängigkeit der Wechselstromwiderstände an Ohmschem Widerstand, Induktivität und Kapazität R I X L ω L X C ω C frequenzunabhängig Ohmscher Widerstand Physik für Mediziner 8

9 LC-Schwingkreis Schwingungen beinhalten periodische mwandlung von Energieformen: in Mechanik: potenzielle Energie kinetische Energie in Elektrodynamik: periodische mwandlung elektrische magnetische Energie.) Ladung Q auf Kondensator gespeichert; Spannung C Q/C.) Schließen des Schalters; Ladungsausgleich; Strom fließt; Spannung wird in Spule induziert 3.) Kondensator entladen; Spule hält Stromfluss aufrecht; Kondensator lädt sich entgegengesetzt auf. 4.) Vorgang wiederholt sich mit umgekehrter Stromrichtung periodischer mladevorgang: Schwingkreis Physik für Mediziner 9

10 Quantitative Beschreibung des LC-Schwngkreises Kirchhoffsche Maschenregel: C L Q C ; C Physik für Mediziner L L di dt di Q d Q Q L + L + dt C dt C dq I dt analog zur mechanischen Schwingungsgleichung (z.b. Federpendel) d x + k x Lösung: x(t) x sin( ω t) dt m mit entsprechende Lösung für den LC-Schwingkreis: ( ω t) ω Q(t) Q sin mit Eigenfrequenz ω L C dq (t) I ω cos( ω t) dt ungedämpfte harmonische Schwingung I k m

11 Vergleich mechanischer und elektromagnetischer Schwingungen mechanische Schwingungen elektromagnetische Schwingungen x x max v v max E pot max E kin E pot E kin max I, B I, B max Q,, E max Q,, E v max x x x max v potenzielle kinetische Energie E pot max E kin E pot E kin max I, B I, B max Q,, E max Q,, E elektrische magnetische Energie Physik für Mediziner

12 Analogie: LC-Schwingkreis und Federschwingung d x d Q Q + k x L + dt dt C m Auslenkung x Ladung Q Geschwindigkeit v Strom I träge Masse m Induktivität L Federkostante k inverse Kapazität /C potenzielle Energie: E k x elektrische Feldenergie: pot Q E C C m v E L L I kinetische Energie: E magnetische Feldenergie: kin Physik für Mediziner

13 LCR-Reihenschwingkreis Reihenschaltung aus L, C, R mit äußerer Spannngsquelle: ext Strom überall gleich: I I sin( t ) ω δ sin( ω t δ) Z Spannung und Stromstärke phasenverschoben um Winkel δ sin( ω t) Wechselstromwiderstand: Phasenwinkel δ: Z( ω) tanδ Physik für Mediziner 3 R X L + ω L ω C ω L XC ω C R R

14 LCR-Reihenschwingkreis Z( ω) R + ω L ω C Kreisfrequenz ω für kleine Frequenzen Wechselstromwiderstand groß (Strom klein) wegen kapazitiven Widerstands: X C ω C für große Frequenzen Wechselstrom widerstand groß (Strom klein) wegen induktiven Widerstands: ω Dämpfung durch Ohmschen Widerstand R Physik für Mediziner 4 X L Strom maximal (Widerstand minimal) für XL XC; ω L ; Z( ω ) R (ohmisch) ω C Resonanzkreisfrequenz: ω Resonanzfrequenz: f res o π L C L C L

15 LCR-Parallelschwingkreis für kleine Frequenzen fließt Strom durch Induktivität, da induktiver Widerstand am kleinsten: ω L X L R Kreisfrequenz ω für große Frequenzen fließt Strom durch Kapazität, da kapazitiver Widerstand am kleinsten: X C ω C im Resonanzfall Widerstand maximal und rein ohmisch XL XC; ω L ; Z( ω ) R ω C Resonanzkreisfrequenz: Resonanzfrequenz: Resonanz- Schwingkreis L C Physik für Mediziner 5 f res ω o π L C

16 Effektivwerte von Strom und Spannung (t) sin( ω t) I(t) I sin( t ) ω δ sin( ω t δ) Z am Ohmschen Widerstand sind Spannung und Stromstärke phasengleich: δ Der Effektivwert I eff des Wechselstroms I(t) ist der Wert, der über eine volle Periode gemittelt an einem Ohmschen Widerstand die mittlere Leistung wie ein Gleichstrom ergibt: PAC I(t) (t) R I I PDC Ieff eff R Ieff Gleichsetzen ergibt: I eff I ; eff ; An der Wechselstromsteckdose: eff 3 V; Scheitelspannung: 35 V Physik für Mediziner 6

17 Gekoppelte Induktivitäten : Transformator Zwei getrennte Spulen auf denselben Eisenkern gewickelt; dieselben B-Feldlinien gehen durch beide Spulen; beide Spulen sehen das gleiche (t) Primär B ( t) I ( t) (t) L L dφ dt B B( t) m ; φ( t) (t) (t) Sekundär ( t) dφ dt Primärspule L : Windungen; dφ m dt Sekundärspule L : Windungen Ständige zeitliche Flussänderung bei Wechselspannung Wechselspannung (t) an Primärspule erzeugt Wechselstrom I (t) Wechselstrom I (t) erzeugt ein magnetisches Wechselfeld B(t), dessen Feldlinien im ganzen Eisenkern umlaufen oszillierender magnetischer Fluss Φ(t) induziert in Sekundärspule Sekundärspannung (t) gleicher Frequenz aber anderer Amplitude Physik für Mediziner 7 m msetzung von Wechselspannungen

18 Transformator mit Last Wird ein Widerstand R an die Sekundärspule angeschlossen, so fließt dort der Strom I verbrauchte elektrische Leistung: P ; I Energieerhaltung verlangt, dass die an der Sekundärseite entnommene Leistung an der Primärseite hineingesteckt wird: P I P I I I Transformator Physik für Mediziner 8

19 Anwendungen des Transformators ; I I iederspannungstransformator: < Anpassung von iederspannungsgeräten z.b. 6V oder V an das Stromnetz: 3 V Hochstromtransformator: << z.b. Elektroschweißen Hochstrom- Transformator Hochspannungstranformator: >> z.b. mspannwerk Hochspannungs- Transformator Physik für Mediziner 9

20 Überlandleitung zur Energieübertragung Zum verlustarmen Transport der elektrischen Energie vom Kraftwerk zum Verbraucher wird elektrische Energie über mehrere Spannungsebenen transportiert Hochspannungsleitung Physik für Mediziner

21 Vergleich des Energietransports mit und ohne mspannung kw Leistung vom Erzeuger: was geht zum Verbraucher? iederspannungslösung mspannungslösung maximaler Strom: P I A Leistungsverlust in Leitung: PVerl. R I kw Leistung beim Verbraucher: P Verb kw Spannung beim Verbraucher: Verb V maximaler Strom: P kw kv; I HV kv Leistungsverlust in Leitung: HV PVerl. R IHV,W,A Physik für Mediziner Leistung beim Verbraucher: P Verb,9999kW Spannung beim Verbraucher: P R I HV HV Verb. 99,99 V

22 Zusammenfassung Kapazitäten, Induktivitäten und Ohmsche Widerstände verhalten sich unterschiedlich im Wechselstromkreis: - Ohmscher Widerstand: Stromstärke und Spannung sind in Phase - Kapazität: Stromstärke eilt der Spannung um eine Viertelperiode (9 ) voraus. Der kapazitive Widerstand nimmt mit zunehmender Frequenz ab. - Induktivität: Stromstärke hinkt der Spannung um eine Viertelperiode (9 ) hinterher. Der induktive Widerstand nimmt mit der Frequenz zu elektromagnetische Schwingkreise: L, C, R können zu Schwingkreisen zusammengeschaltet werden; periodische mwandlung: elektrische magnetische Energie Transformatoren sind wichtige Komponenten bei Wechselstromanwendungen: - induktive Kopplung zweier Wechselstromkreise; - Leistungsübertragung durch induktive Kopplung vom Primär- zum Sekundärstromkreis; - msetzung von Wechselströmen und Spannungen: Physik für Mediziner ; I I