TR Transformator. Blockpraktikum Herbst Moritz Stoll, Marcel Schmittfull (Gruppe 2b) 25. Oktober 2007

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1 TR Transformator Blockpraktikum Herbst 2007 (Gruppe 2b) 25 Oktober 2007 Inhaltsverzeichnis 1 Grundlagen 2 11 Unbelasteter Transformator 2 12 Belasteter Transformator 3 13 Leistungsanpassung 3 14 Verluste 4 2 Versuchsdurchführung 4 3 Auswertung 5 31 Aufgabe Aufgabe Aufgabe Aufgabe Aufgabe Aufgabe 6 8

2 1 GRUNDLAGEN TR 2 1 Grundlagen Ein Transformator dient va dazu, Wechselspannungen in niedrigere oder höhere Wechselspannungen zu transformieren Der typische Aufbau mit zwei Spulen mit einem gemeinsamen Eisenkern ist in Abb 1 skizziert Am Primärstromkreis wird eine Wech- Abbildung 1: Transformator mit Primär- und Sekundärspule, sowie einem gemeinsamen Eisenkern (Quelle: Wikipedia) selspannung U p = U 1 angelegt, so dass der magnetische Fluss Φ im Eisenkern abwechselnd auf- und abgebaut wird Dies induziert eine Wechselspannung U S = U 2 im Sekundärstromkreis Die Amplitude von U 2 kann dabei durch das Verhältnis der Windungszahlen der Spulen geregelt werden 11 Unbelasteter Transformator Ein Transformator wird unbelastet genannt, wenn kein ohmscher Verbraucher an der Sekundärseite angeschlossen ist Im Primärkreis kompensiert wegen der Maschenregel die Induktionsspannung U 1,ind die angelegte Spannung U 1, dh U 1 = U 1,ind = n 1 Φ, wobei n 1 die Windungszahl der Primärspule ist Wegen des gemeinsamen Eisenkerns induziert Φ auf der Sekundärseite die Spannung U 2 = U 2,ind = n 2 Φ

3 1 GRUNDLAGEN TR 3 Die Spannungen verhalten sich also wie die Windungszahlen U 1 U 2 = n 1 n 2 Das Minuszeichen beschreibt dabei die Phasenverschiebung um 180 zwischen U 1 und U 2 Im Primärkreis sind Strom und Spannung wegen Z 1 = U 1 /I 1 = iωl um ϕ 1 = 90 phasenverschoben, dh der Strom ist ein reiner Blindstrom I 1,wirk = I 1,max cos ϕ 1 = 0, I 1,blind = I 1,max sin ϕ 1 = I 1,max und führt zu keiner Leistung im Primärkreis Da im Sekundärkreis des unbelasteten Transformators kein Strom fließt, ist die Energieerhaltung erfüllt 12 Belasteter Transformator Schließt man an den Sekundärstromkreis einen ohmschen Verbraucher an, so fließt dort ein Strom I 2 = U 2 /R, der mit der Spannung U 2 in Phase ist (ohmscher Widerstand), dh ϕ 2 = 0 Wegen Energieerhaltung müssen die Wirkleistungen auf Primär- und Sekundärseite gleich groß sein P 1 = P 2 U 1,eff I 1,eff cos ϕ 1 = U 2,eff I 2,eff cos ϕ 2 cos ϕ 1 I1,eff I 2,eff = U 2,eff U 1,eff = n 2 n 1 Wenn kein ohmscher Widerstand im Primärkreis (ϕ = 0 ) wirkt, verhalten sich also die Ströme in Primär- und Sekundärkreis gerade umgekehrt zu den Windungszahlen und Spannungen 13 Leistungsanpassung Spannungsquellen haben in der Regel einen Innenwiderstand R i An einem ohmschen Verbraucher R v fließt deshalb der Strom so dass die Leistung I v = U 0 R i + R v, P v = U 0 I v = R v I 2 v = R vu 2 0 (R i + R v ) 2 aufgebracht wird Diese Leistung wird bzgl R v maximal, wenn dp v = U 2 (R i + R v ) 2 2R v (R i + R v ) 0 dr v (R i + R v ) 4 = U0 2 R v R i (R i + R v ) 3 = 0

4 2 VERSUCHSDURCHFÜHRUNG TR 4 gilt, dh für R v = R i Für eine beliebige Spannungsquelle mit Innenwiderstand wird der Spannungsquelle also genau dann die größte Leistung entnommen, wenn die Last gleich dem Innenwiderstand der Spannungsquelle ist Man erhält als Maximalleistung 14 Verluste P max = U 2 0 4R i Die Rechnungen gelten nur für ideale Transformatoren In der Realität haben die Drähte der Spulen ohmsche Widerstände Wirbelströme im Eisenkern erwärmen diesen und disspieren deshalb ebenfalls Energie Durch die beim dauernd abwechselnden Magnetisieren des Eisenkerns entstehende Hysterese geht weitere Energie verloren Man versucht durch geeignete Anordnungen und Geometrien der Spulen, sowie durch geeignete Materialien diese Verluste zu minimieren 2 Versuchsdurchführung Der Schaltplan des Versuchs ist in Abb 2 gezeigt Zunächst werden bei unbelastetem Abbildung 2: Schaltplan zur Versuchsdurchführung (Quelle: Anleitung) Sekundärkreis für unterschiedliche Primärspannungen U 2, U Φ, I 1 und ϕ = ϕ 1 gemessen Anschließend werden bei belastetem Sekundärkreis und konstanter Primärspannung U 1 für verschiedene Sekundärströme I 2 die Größen I 1, U 2, U Φ und ϕ gemessen Zuletzt wird die Abhängigkeit der Sekundärspannung U 2 (I 2 ) vom Sekundärstrom I 2 gemessen (Primärspannung U 1 nicht konstant)

5 3 AUSWERTUNG TR 5 3 Auswertung 31 Aufgabe 1 Aus der ersten Versuchsreihe bekommen wir das Übersetzungsverhältnis ü = 9, 961 ± 0, 013 und die Phasenverschiebung ϕ = 57, 6±1, 7 für den unbelasteten Transformator Ein idealer Transformator hätte eine Phasenverschiebung von Aufgabe 2 In Abb 3 sind U 2, I 1 und ϕ als Funktion vom Sekundärstrom I 2 gezeigt Wie man sieht Abbildung 3: U 2, I 1 und ϕ in Abhängigkeit vom Sekundärstrom I 2 sinkt U 2 mit zunehmendem Sekundärstrom I 2 Dies lässt sich wie folgt erklären Die Maschenregel im belasteten Sekundärkreis liefert (U 2,ind Induktionsspannung an der Sekundärspule, R 2,i Innenwiderstand der Sekundärspule, R 2 Sekundärlast) U 2,ind = R 2,i I 2 + R 2 I 2 = R 2,i I 2 + U 2 U 2 = U 2,ind R 2,i I 2, dh U 2 (I 2 ) ist eine Gerade mit negativer Steigung Der Betrag der Steigung ist dabei der Innenwiderstand R 2,i Um den Innenwiderstand R 2,i zu berechnen, ermittelt man also die Steigung von U 2 (I 2 ): Aus dem Kurzschlussstrom I 2 (U 2 = 0) = 1, 79A und der Leerlaufspannung U 2 (I 2 = 0) = 4, 00V folgt R 2,i = 4, 00V 1, 79A = 2, 23Ω

6 3 AUSWERTUNG TR 6 Im Leerlauf beträgt der Primärstrom I 1 = 5, 33mA, woraus der Magnetisierungsstrom (Blindstromanteil) I M = 2, 86mA und der Verluststrom (Wirkstromanteil) I V = 4, 50mA folgen 33 Aufgabe 3 Für einen unbelasteten Transformator gilt für das Verhältnis von Primär- zu Sekundärstrom (vgl oben) I 1 = n 2 I 2 n 1 Für einen Transformator mit ohmscher Belastung erhält man aus den Kirchhoffschen Regeln (vgl Anleitung) I 1 = R + iωl 2 I 2 iωm, wobei L 2 die Induktivität der Sekundärspule und M die Gegeninduktivität ist In Abb 4 sind die dazugehörigen Zeigerdiagramme für Primär- und Sekundärstrom schematisch abgebildet Abbildung 4: Zeigerdiagramme für Primär- und Sekundärstrom I 1 und I 2 für einen unbelasteten (links) und einen belasteten Transformator (rechts) Der Fluss Φ ist proportional zu I 1, dh Φ = LI 1 In der Schaltung wird die Flussspannung U Φ gemessen, die proportional zum Fluss ist Den linearen Zusammenhang zwischen Fluss Φ und Primärstrom I 1 kann man in Abb 5 gut erkennen 34 Aufgabe 4 Wirk- und Blindstromanteil des Primärstroms I 1 für verschiedene Sekundärströme I 2 sind in Abb 6 gezeigt 35 Aufgabe 5 Der Wirkungsgrad η in Abhängigkeit der Sekundärleistung P 2 ist in Abb 7 gezeigt

7 3 AUSWERTUNG TR 7 Abbildung 5: Fluss Φ bzw Flussspannung U Φ als Funktion vom Primärstrom I 1 Abbildung 6: Wirk- und Blindstromanteil des Primärstroms I 1 für verschiedene Sekundärströme I 2

8 3 AUSWERTUNG TR 8 Abbildung 7: Wirkungsgrad η als Funktion der Sekundärleistung P 2 36 Aufgabe 6 ˆ ˆ ˆ In Abb 8 ist die abgegebene Leistung P 2 (R 2 ) als Funktion des Lastwiderstands R 2 aufgetragen Man kann ein Maximum der Leistung für R 2 = 6, 1Ω ablesen Der gesamte auf der Sekundärseite wirkende Innenwiderstand 1 R 2,i,ges ergibt sich aus der Steigung der Regressionsgeraden von U 2 (I 2 ) zu R 2,i,ges = 6, 13Ω Dies bestätigt die obige Rechnung (Leistungsanpassung), nach der einer Spannungsquelle mit Innenwiderstand die maximale Leistung entzogen wird, wenn die Last gleich dem Innenwiderstand der Quelle ist Der soeben direkt aus Messung 3 bestimmte insgesamt wirkende Innenwiderstand R 2,i,ges auf Sekundärseite lässt sich auch aus dem in Messung 2 bestimmten Innenwiderstand R 2,i = 2, 23Ω der Wicklungen der Sekundärspule und dem gemessenen Widerstand R 1,i = 400Ω auf Primärseite berechnen Der insgesamt wirkende Innenwiderstand R 2,i,ges ist die Summe aus dem Innenwiderstand R 2,i der Sekundärspule und dem transformierten Primär-Widerstand R 1,i, den der Sekundärkreis durch die Kopplung über die Spulen erfährt: R 2,i,ges = R 2,i + R 1,i (1) 1 Auf der Sekundärseite wirkt zum einen der Innenwiderstand R 2,i der Wicklungen der Sekundärspulen Zum anderen beeinflusst der Innenwiderstand R 1,i der Primärspule die Spannung an der Primärspule und somit auch die Spannung an der Sekundärspule Man kann deshalb den auf die Sekundärspule wirkenden Primär-Innenwiderstand als zusätzlichen Innenwiderstand auf der Sekundärseite auffassen

9 3 AUSWERTUNG TR 9 Abbildung 8: Leistung P 2 (R 2 ) (in Watt) als Funktion des Lastwiderstands R 2 (in Ω) Zur Berechnung des auf Sekundärseite wirkenden, transformierten Primär-Widerstands betrachte man die Spannungen U 10, U 20 und Ströme I 1, I 2 an Primär- und Sekundärspule, für welche die Transformationsformeln U 10 U 20 = n 1 n 2, I 1 I 2 = n 2 n 1 gelten Für die Widerstände R 1,i (Primärspule) und R 1,i (transformierter Widerstand an Sekundärspule) gilt das ohmsche Gesetz R 1,i = U 10 I 1, R1,i = U 20 I 2 Daraus folgt die Widerstandstransformation R 1,i R 1,i = n2 1 n 2 2 = ü 2 R 1,i = R 1,i ü 2 Setzen wir diesen auf Sekundärseite wirkenden Widerstand nun in (1) ein, so erhalten wir mit ü = 9, 961, R 1,i = 400Ω und R 2,i = 2, 23Ω R 2,i,ges = R 2,i + R 1,i ü 2 = 400Ω + 2, 23Ω = 6, 26Ω 9, 9612 Dieser Wert ist dem tatsächlich wirkenden Innenwiderstand R 2,i,ges von 6, 13Ω und dem Lastwiderstand von 6, 1Ω mit maximaler Leistung sehr nahe und bestätigt somit Leistungsanpassung und Widerstandstransformation