Elektrische Schwingungen und Wellen

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1 Elektrische Schwingungen und Wellen. Wechselströme. Elektrischer Schwingkreis i. Wiederholung Schwingung ii. Freie Schwingung iii. Erzwungene Schwingung iv. Tesla Transformator 3. Elektromagnetische Wellen i. Wellen ii. Elektromagnetische Wellen iii. Hertzscher Dipol iv. Wellenausbreitung im Vakuum v. Wellen auf eitungen Gedämpfte ungedämpfte Schwingung Einmalige Anregung: Antwort des Systems wird beobachtet Schwingung kann ungedämpft sein (schwingt unendlich lange weiter) Schwingung kann gedämpft sein: klingt ab Schwingung kann stark gedämpft sein: aperiodischer Grenzfall

2 Was passiert wenn es nicht Stoke sche eibung gibt? Bisher Annahme Dämpfung durch eibung eibkraft proportional zu Geschwindigkeit F v Stoke sche eibung Aber es gibt noch andere eibungsgesetze: allgemein F v n n = oulombsche eibung n =,5 Schmiermittelreibung n = Stoke sche eibung n = Newtonsche eibung Es gibt keinen Kriechfall, auch bei starker Dämpfung noch Durchschwingen durch uhelag, keine monotones Herankriechen Freie- erzwungene Schwingung Freie Schwingung: System einmal angeregt und dann sich selber überlassen Erzwungene Schwingung: System wird kontinuierlich mit einer sinusförmigen Störung angeregt

3 esonanz und Energieübertrag esonanz ω = ω und ϕ = π/ maximale Amplitude, d.h. maximaler Energieübertrag Warum bei ϕ = π/ und nicht wenn in Phase? J = Phase zwischen Kraft F(t) = F cos(ωt) und Auslenkung x = x (ω) cos(ωt ϕ x (ω)) Zur Erinnerung Momentanleistung p( t ) = F( t ) v( t ) Geschwindigkeit v = = ω sin( ωt ϕ ) Mittlere eistung dx dt T T P = p( t) dt = F T T ( ) = P sin ϕ Maximaler eistungsübertrag für ϕ = π/, keine eistungsübertrag für ϕ = bzw. π x r r () t v() t dt = Elektrischer Schwingkreis I (t) I (t) Kondensator wird geladen, anschließend wird das System sich selbst überlassen Was passiert? 3

4 Analyse Schwingkreis Maschenregel Uind + U + U = di Q + I + = dt d dt I (t) d I di dq dq + + = = I dt dt dt dt d I di + + I = dt dt ösung gedämpfte Schwingung : I Dämpfung δ = / esonanzfrequenz ω = () t 4 U c = I e U δt I (t) sinωt U ind Freie Schwingung Der Schwingkreis wird einmal angestoßen und seine eaktion beobachtet Schwingungsfrequenz hängt ab von und Dämpfung hängt ab vom Widerstandswert 4

5 Gedämpfte Schwingung Amplitude nimmt mit der Zeit ab I exp(- δ t) I(t) = I exp(- δ t) sin (ωt +ϕ) δ Dämpfungskonstante τ Abkling bzw. Zeitkonstante τ = /δ Schwingkreis Schwingkreis pendelt die Energie zwischen elektrischer Feldenergie und magnetischer Feldenergie. Elektrische Feldenergie W el = ½ U Magnetische Feldenergie W mag = ½ I Ein ohmscher Widerstand wirkt als Dämpfung Die Schwingungseigenfrequenz ω ist (bei kleiner Dämpfung) ω 5

6 Mechanische Analogon x(t) D F = -αv F F I(t) m x ( t ) m I ( t ) F G D α Erzwungene Schwingung Serienschwingkreise wird periodisch angeregt: in Serie Geg:,, U e = U sin(ωt) Ges: U A I(t) U E U A Komplexe echnung erlaubt für eingeschwungenen Zustand: Einschwingvorgang so nicht beschreibbar U A V = = U E + iω i ω V = + ω ω ω = ωres = ωres = ω V = tanϕ = res V ω = ω res Bei esonanz wird Z minimal, bzw. V = : Serienschwingkreis Bandpassfilter 6

7 Strom im Serienschwingkreis esonanz : ω = / ω Z res = = min esonanz: ω = / ω Blindwiderständeheben sich auf keine Phasenverschiebungzw. Uund I Geg:,, U e = U sin(ωt) Ges: U A U A V = = U ω E + i ω V = ω = ω V = tanϕ = ± Parallelschwingkreis Parallelschwingkreise periodisch angeregt: res ω + ω = ω res = ω res I(t) U E V und parallel U A ω = ω res Bei esonanz wird Z maximal, bzw. V = : Parallelschwingkreis Bandsperre 7

8 Ströme im Parallelschwingkreis I g (t) I (t) I (t) U E (t) Im esonanzfall wird der Eingangsstrom minimal und der Strom durch die Spule und Kondensator maximal!! Gilt die Knotenregel dann noch I g = I + I?? Ströme im Parallelkreis I g = I + I Spannung an beiden gleich U = U = U E = U sin ωt Ströme I = /ω U sin(ωt -π/) I = ω U sin(ωt + π /) Ströme haben eine π Phasenverschiebung, d.h. sie fließen entgegengesetzt esonanz bei Kreisfrequenz ω res : I g = I = - I ω res = esonanz: Energie wird nur mehr zwischen und hin und hergeschaufelt, es fließt kein externer Strom mehr, d.h. Eingangswiderstand wird unendlich 8

9 Stromüberhöhung Wie groß werden die Ströme im esonanzfall in einem Parallelschwingkreis? I g (t) I (t) I (t) I (t) U E (t) U = U = U = U E Bei esonanzfrequenz ω gilt für Ströme (wegen U = U = U = U E ): I /I bzw. I /I g = /ω = /(/) / Güte Parallelschwingkreis Q p = /(/) / I (ω ) = I (ω ) = Q p I Güte: Maß für die esonanzüberhöhung des Stroms Ungedämpfte Schwingung Externe Spannungsquelle liefert elektrische eistung zum Ausgleich der Verluste Schwingung mit konstanter Amplitude. 9

10 Oszillatorbedingung Unter welchen Bedingungen wird ein Verstärker zu einem Oszillator? U ein + Σ ± V k U aus V U U V m kv aus = = Gesamtverstärkung (Schleifenverstkärkung) des ein rückgekoppelten Verstärkers Wenn ± kv =, dann geht V d.h. System wird instabil, es gibt ein Ausgangssignal obwohl es kein Eingangssignal gibt k kann komplex sein und wird für Oszillator so gewählt, dass kv = und Phasenverschiebung entweder 8 bei Gegenkopplung ( - ) bzw. oder 36 bei Mitkopplung ( + ) wird Phasenschieberoszillator Verstärker mit V ückkoppelnetzwerk 3 Tiefpässe in Serie Oszillator schwingt bei Frequenz f bei der kv = - ist V durch F und G gegeben 3 ktp = kges = + iω + iω kv = V + iω 3 3 = V e o 3i 6

11 Kippschwingung Kondensator geladen Spannung steigt Glimmlampe G zündet Kondensator wird entladen Teslatransformator Niederfrequenztrafo Primärseite 3 V 5Wdg, Sekundär 3Wdg kv und der Primärspule bilden Schwingkreis, wenn Funkenstrecke F gezündet: Gedämpft Schwingung mit Frequenz f =khz MHz Abklingkonstante < ms Hochfrequenzschwingung dφ/dt groß, daher hohe Spannung in Sekundärspule, esonanzüberhöhung in Sekundärkreis weitere Erhöhung möglich ( sek eitungskapazitäten)

12 TESA Transformator Experimente Frage : Warum passiert einem nichts? Spannungen bis einige kv (MV möglich) Widerstand Körper kω, Strom > ma Gefährdung Frage : Warum leuchtet die euchtstoffröhre, obwohl nicht angeschlossen Widerstand bei hohen Frequenzen. Wechselstromwiderstand eines eiters mit Widerstand und Induktivität Z = + i ω Für hohe Frequenzen (ω > ω g ) dominiert der Blindanteil, d.h. die Impedanz nimmt mit der Frequenz zu Widerstand/änge / l = ρ / A Induktivität/änge / l µ / 4 4ρ Grenzfrequenz ωg = = µ A Beispiel: eiterschleife aus Kupfer Drahtquerschnitt sei A = mm ; ρ =.7-8 Ω m. Grenzfrequenz: ω g 5 Hz

13 Widerstand bei hohen Frequenzen Skineffekt Bei hohen Frequenzen wird der Strom im Inneren des eiters verdrängt: Grund: Magnetfeld, das ein dem äußeren E-Feld entgegengesetztes Feld induziert (enzsche egel) Nur an den Oberflächen fließt dann noch ein Strom, in einer Schicht, mit Dicke d (Eindringtiefe) d = ρ µ µ ω r ρ spez. Widerstand, ω Frequenz µ r µ magnet. Suszeptibilität Stromdichte im eiter fällt exponentiell mit dem Abstand t vom and ab: j ~ e -t/d Wirkwiderstand erhöht da eitung in einem Kabel mit Durchmesser D verfügbare Fläche von A~ D nur noch A ~ D d << D beträgt!. Beispiel: Kupferdraht Eindringtiefen als Funktion der Frequenz f = 5 Hz d = 9 mm; f = khz d = mm; f = MHz d =.7 mm Skineffekt und Mensch Kann Widerstandserhöhung durch Skineffekt, wirklich das Ergebnis der Versuche mit dem Teslatransformator erklären? Annahme f = MHz, Mensch (Wasser) ρ =.3Ωm, µ r = d = ρ 7cm µ µ ω r Widerstandserhöhung durch Skineffekt nicht signifikant! Nerven reagieren nicht mehr auf Hochfrequenz (> KHz), kein Schmerzempfinden! Gefahr: eistung wird trotzdem in Körper deponiert, Nerven, Gewebe verbrennt ohne, es zu spüren 3