Experimentalphysik E1

Transkript

1 Experimentalphysik E1 Gedämpfte & erzwungene Schwingungen Alle Informationen zur Vorlesung unter : Dez. 16

2 Harmonische Schwingungen Auslenkung x(t) ϕ A π A π 3π π 5π 3π ϕ Phase x( t) = A sin ( ω t +ϕ) A : Amplitude ω : Kreisfrequenz ϕ : Phase f = ω π : Frequenz

3 Die Bewegungsgleichung des Federpendels Differentialgleichung d x m dt Lösung = Dx x( t) = A sin ( ω t +ϕ) F D = Dx Rücktreibende Kraft d x F = m dt Trägheitskraft mit fester Eigenfrequenz ω und frei wählbaren Konstanten A, ϕ ω = D m Bei der harmonischen Schwingung hängen Frequenz und Schwingungsdauer nicht von der Amplitude ab. Versuch: Federpendel

4 Das physikalische Pendel & Torsionspendel (Drehschwingungen) Die Auslenkung ϕ bewirkt ein rücktreibendes Drehmoment M, welches bei gegebenem Trägheitsmoment I eine der Auslenkung entgegengesetzte Winkelbeschleunigung hervorruft. M = mgd sinϕ = I ω = mgd I d ϕ dt M ω = = Dϕ = D I I d ϕ dt

5 Das mathematische Pendel Bewegungsgleichung : mg sinϕ = m d s dt Näherung für kleine ϕ : sinϕ ϕ = s l g l s = d s dt ω = g l Die Eigenfrequenz des Pendels ist unabhängig von der Masse! Versuch: 1:4 Pendel

6 Energiebilanz bei harmonischen Schwingungen E + E = kin pot E ges 1 m ( ω x ) cos ( ω t) + Dx ( ω t) 1 sin verwende D ω = und cos ϑ + sin ϑ = 1 m 1 Dx = E ges E kin + E pot = 1 E ges Die Gesamtenergie einer harmonischen Schwingung ist dem Quadrat der Amplitude proportional

7 Gedämpfte Schwingungen m d x dt + b dx dt + D x = Lösung : gedämpfter Oszillator x t ( ) = A e γ t sin ω t ( ) Einhüllende Zeit γ = b m τ A = 1 γ Abklingkoeffizient Abklingzeit der Amplitude

8 Gedämpfte Schwingungen Weitere Eigenschaften des gedämpften Oszillators 1.) Die Kreisfrequenz ist etwas kleiner als die Kreisfrequenz im ungedämpften Fall & ω " = ω 1 γ ) ( + ' ω *.) Die Energie nimmt exponentiell ab mit der Abklingzeit. τ E =1 γ E ( ) t τ E t E e = 3.) Die Dämpfung wird durch den Gütefaktor (Q-Faktor) gekennzeichnet, welcher umgekehrt zum relativen Energieverlust pro Periode ist. Q = π E ΔE

9 Der freie gedämpfte Oszillator z.b.: Federpendel + Dämpfer (Wahl des Ursprungs??? ) Stokessche Reibung: F r m x + b x + D x = b D x + x + x = m m x + γ x + ω x mit = 6 π η r v = D ω = ; γ = m b b m

10 λ t Ansatz für die DGL: x( t) = c e λ + γλ + ω = λ 1/ = γ ± γ ω x & # ( ) = γ t γ ω t γ ω t t e c e + c e! " $ % 1 Amplitude fällt exponentiell Im x( t) Re

11 Schwache Dämpfung: γ < ω λ ist komplex mit ω = ω γ λ 1/ = γ ± - ω = γ ± i ω x( t) = e γ t ( c e i ωt + c* e i ωt ) x γ t ( t) = e A cos( ωt + ϕ) wie gehabt: A = ( c c *) i c ; tan ϕ = = c + c * Imc Rec Frequenz wird durch Reibung reduziert

12 Amplitude fällt exponentiell x ( t + T ) x( t) = e γ T ; nach A e 1 τ = γ abgefallen ist die Amplitude auf x( t) T = ω π γ A e A e γ t t τ = 1 γ

13 Erzwungene Schwingungen Bewegungsgleichung m d x dt + b dx dt + D x = F cos(ωt) x ʹ + γx ʹ + ω x = K cosωt ω = D m γ = b m K = F m Lösung an Komplexer Ebene Erweitert um imaginäre Schwingung z = x + iy z ʹ + zγ + ω z = K e iωt Ansatz für stationäre Lsg. iωt z = z e z = z e iϕ tanϕ = Imz Re z = γω ω ω

14 Allgemeine Lösung der Inhomogene DGL= Allgemeine Lösung der Homogenen DGL + spezielle Lösung der Inhomogenen DGL x( t) = A 1 e γt cos( ω 1 t + ϕ 1 ) + A cos( ωt + ϕ) mit ω 1 = ω γ für schwache Dämpfung Stationäre Lösung x( t) = A cos( ωt + ϕ)

15 Lösung: ( t) = A cos( w t + ϕ) x Im ϕ c ϕ + ωt Re oder: x Startbedingungen i ω t i ω t ( t) = c e + c * e ( ) = c e i ω t+ϕ x t ( ) i ω + e ( t+ϕ ) mit i e x = cos x + i sin x ( t) = c cos ( ωt) + i c sin ( ωt) + c * cos ( ωt) + i c * sin ( ω t) + * cos ( ω t) i c * ( ω t) x = Übungen C tan ϕ = C ( c + c *) cos ( ω t) + i ( c c *) ( ω t) $!#!" c1 sin $!#!" 1 = C 1 C x( t) = A cos( wt + ϕ) A + c c sin ( t) = c cos( w t) + c ( w t) x 1 sin alle vier Darstellungen sind äquivalent!

16 A( ω) = K ( ω ω ) + ( γω) tanϕ = γω ω ω Re[ z ( ω) ] = K ( ω ω ) ( ω ω ) + γω [ ] = Im z ( ) ( ω) Kγω ( ω ω ) + ( γω)

17 A = F m ( ω ω ) + γω ( ) Δϕ = arctan γω ω ω Α Resonanzkurve -π -π/ ω ω ω ω ω R = ω γ ω ="Eigenfrequenz des Systems" ω R = Resonanzfrequenz des Systems"

18 Absorption und Transmission von infrarotem Licht bei Einstrahlung einer el.-magn. Welle werden die positiven Na + und negativen Cl - ausgelenkt und schwingen im Takt des elektr. Feldes kubische Struktur eines Kochsalz-Kristalls Q=1 1

19 Überlagerungen von Schwingungen a) gleiche Frequenz: ϕ / ω 1 x x ( t) = a ( ω t + ) 1 cos ϕ1 ( t) = b ( ω t + ) cos ϕ ϕ / ω b a t Bronstein: cos( x + y) = cos x cos y sin x sin y x ( t) = x1( t) + x( t) = A cos( ωt) + B sin( ωt) = C cos( ωt + ϕ) mit A = a cosϕ1 + b cosϕ B = a sin ϕ1 b sin ϕ C = A + B ; tan ϕ = B A

20 b) ungleiche Frequenz: a sin( ω 1 t) a cos Überlagerung harmonischer Schwingungen ( t) a sin ω ( ω ω ) t ( ω + ω ) + Schwebung 1 1 t sin = Zeit (t) 6

21 Überlagerung harmonischer Wellen

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23 Anharmonische Schwingungen und Fourierzerlegung x Fouriertheorem: Jede periodische Funktion lässt sich als eine Summe von Sinus- und Kosinusfunktionen ausdrücken x x f (t) = a + a 1 sin(ω t) + a sin(ω t) + a 3 sin(3ω t) b 1 cos(ω t) + b cos(ω t) + b 3 cos(3ω t) +... t a n = 4 A n π für n ungerade sonst a t b Spektrum ω ω 3ω 4ω 5ω 6ω 7ω t b n = 8 A 1 π für n ungerade sonst n ω ω 3ω 4ω 5ω 6ω 7ω

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25 -dimensionale Überlagerungen Lissajous Figuren Schwingungen gleicher Frequenz: Kreisschwingung, Fadenpendel ( ωt) ( ω + ϕ) x = a cos x y x y cosϕ + = Ellipsengleichung y = b cos t a * b * a * b * Spezialfall: a* = a sin b* = b sin ϕ = Gerade ϕ ϕ ϕ = 9 Kreis (a = b) Kreisschwingung eines Fadenpendels superponierbar aus zwei unabhängigen (orthogonalen) Schwingungen (zirkular- und linear polarisiertes Licht) Schwingungen verschiedener Frequenzen: ω1 falls R geschlossene Kurven; ansonsten flächenfüllend ω ω1 ω