12. Vorlesung. I Mechanik

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1 12. Vorlesung I Mechanik 7. Schwingungen 8. Wellen transversale und longitudinale Wellen, Phasengeschwindigkeit, Dopplereffekt Superposition von Wellen 9. Schallwellen, Akustik Versuche: Wellenwanne: ebene Wellen und Kugelwellen Dopplereffekt Resonanzboden

2 Bei klassischer Welle wird keine Materie aber lokale Schwingung (Dichteschwankung, Moleküloszillation etc) des Mediums und somit Energie transportiert. Versuch Wellenkette beim letzten Mal zeigte Ausbreitung der Schwingung von Stäben, an einem (elastischen) Draht befestigt. Die Ausbreitungsgeschwindigkeit hängt vom Medium (Kopplungsstärke, Trägheit) ab. Die Schwingung kann pulsförmig oder periodisch (z.b. sinusförmig) sein. Longitudinale Welle (z.b. Schall): Transversale Welle (wie bei Versuch Wellenkette): Ausbreitungsrichtung

3 Transversale und longitudinale Wellen Nehmen wir an, die Welle breitet sich z.b. in z-richtung aus. Geschwindigkeit c Die Bewegungsrichtung der lokalen Schwingungen, z.b. von Molekülen des Medium um ihre Ruhelage ( Amplitude A(z,t)) kann in z, x oder y Richtung sein. Richtung der Amplituden in z oder z: c Longitudinale Welle (Beispiel Schallwellen ) A Richtung = Polarisation in Richtung x oder y, senkrecht zu z: Transversalwelle (Beispiel Licht, Welle auf Saite,.. c A

4 Wasserwellen besonders kompliziert: Kombination beider Typen, Kreisbahnen, deren Radien mit der Tiefe abnehmen. Ebene Wellen und Elementarwellen: Versuche Wasserwanne Wellenfronten (WF) = Flächen in 3 (Linien in 2) Dimensionen, deren Punkte gleichphasig schwingen Ausbreitungsrichtung senkrecht zu WF sind WF Ebenen Bei ebenen Wellen Bei Elementarwellen sind WF Kugeloberflächen Huygens Prinzip: 1) Jeder Punkt einer WF ist Ausgangspunkt einer neuen Elementarwelle 2) Die Einhüllenden (Tangentenflächen) aller Elementarwellen bilden neue WF

5 Wellenausbreitung, graphische Darstellung: Entweder Momentaufnahme, feste Zeit t; oder fester Ort, Amplitude als Funktion der Zeit. Hier: Ebene Welle in z Richtung: z z z t

6 Mathematische Darstellung einer in z-richtung laufenden ebenen*, harmonischen** Welle: A (z,t) = A 0 sin(ωt-kz), d.h. gleiche Phase für alle Punkte x,y der Ebene z z = const., d.h. z= 0 Schwingung t = const., d.h. t=0 Schnappschuss Kreisfrequenz ω wie bei Schwingung Neu : Wellenzahl (oder Wellenvektor) k = Wellenlänge λ 2π λ * eben: A hängt nur von einer Raum-Koordinate ab, z in unserem Beispiel ** harmonisch: sin( ) oder cos( )

7 Phase φ= ωt-kz (= das Argument der Sinus-oder Cosinusfunktion) Phasendifferenz φ = φ 2 φ 1 = ωt 2 -kz 2 (ωt 1 -kz 1 ) = ω t-k z Periode T = t für φ =ω t-k z =2π mit z=0 ωt= 2π ω= 2π/T Wellenlänge λ= z für φ =ω t-k z =-2π mit t=0 kλ = 2π k = 2π/λ Phasengeschwindigkeit c ph =Geschwindigkeit von Orten gleicher Phase, d.h. insbesondere auch, Orte gleicher Amplitude Aus φ = ω t-k z = 0 ω t = k z c ph z ω ω = = = = f t k 2π / λ λ c ph = f λ Wichtige Beziehung zwischen c, f, λ Ausbreitungs - = Phasen- geschwindigkeit bei ebener Welle Im Fall der Akustik ist c ph die Schallgeschwindigkeit (c Schall ) Im Fall der Optik ist c ph die Lichtgeschwindigkeit (c)

8 Superposition =Überlagerung = Interferenz von Wellen Wellen überlagern sich ungestört, d.h. eine Welle läuft weiter, auch wenn es Bereiche mit destruktiver Interferenz (lokaler Auslöschung) gibt. Zwei ebene Wellen treffen sich. Wir betrachten Überlagerung an zwei benachbarten Orten P 1, P 2 Z P 1 P 2 Z

9 Superposition von Wellen entgegengesetzter c ph - stehende Wellen zwei gegenläufige Wellen gleicher Frequenz und Amplitude A(z,t) = A 0 cos(ωt - kz) + A 0 cos(ωt + kz ) = 2A 0 cos (kz ) cos (ωt ) Stationäres Wellenbild, wenn Gleiche Frequenz (sonst Schwebung) Feste Phasenbeziehung (Kohärenz) entweder durch Reflexion wie bei Versuch mit Wellenkette oder bei phasenstarren Quellen

10 Doppler-Effekt Bewegte Quelle: Doppler-Effekt Bewegt sich die Quelle auf den Empfänger zu, so nimmt dieser eine höhere Frequenz wahr (c ph = v ph im Bild) f E = f 0 c ph c ph v Q aufeinander zu : f E > f 0 voneinander weg : f E < f 0 VERSUCH Überschallgeschwindigkeit: -Bei v Q > v ph = c ph überholt die Quelle die von ihr ausgesandten Wellen. - Es bildet sich eine kegelförmige Wellenfront aus (Mach-Kegel). - Sinus des Öffnungswinkels: c ph /v Q (=Mach-Zahl)

11 Bemerkung zum Dopplereffekt Herleitung der Formel: Wie aus der Skizze hervorgeht, ist λ E = λ 0 v Q T Da c ph = λ 0 f = λ 0 /T, ist λ E = λ 0 (1- Q ) = λ 0 Mit f 0(E) = c ph / λ o(e) folgt f E = f 0 c ph c ph v c v Die Formel gilt auch für eine sich entfernende Quelle. Dann ist v Q eine negative Größe, d.h. im Nenner der Formel steht c ph + v Q und f E ist kleiner als f 0. Anwendungen des Dopplereffekts: Messung der Blutgeschwindigkeit (Ultraschall dopplerverschoben) Radarkontrolle (gleiches Prinzip) Rotverschiebung des Spektrums sich schnell entfernender Sterne dient der Geschwindigkeitsermittlung v c Q ph ph c ph Q

12 Superposition von Wellen - stehende Wellen nach Reflexion (Siehe Versuch Wellenkette am ) Je nach Art der Reflexion kann eine zusätzliche Phase auftreten: Freies, weiches Ende -> kein Phasensprung Festes, hartes Ende -> Phasensprung um π (senkrechte Kraft) λ = 2L Bei zwei festen Enden (schwingende Saite) ergeben sich aus den Randbedingungen feste Schwingungsmoden (sonst Auslöschung), Grundton (n=1) und Obertöne (n>1) n

13 9. Akustik, Schallwellen Schallwellen: wellenförmige Fortpflanzung von Druck- oder Dichteschwankungen in elastischen Medien wie Gasen,Flüssigkeiten, Festkörpern. In Fluiden: longitudinal (Orientierung der Bewegungsamplitude von Molekülen parallel zur Ausbreitungsrichtung) In Festkörpern: transversal (Bewegungsamplitude senkrecht zur Ausbreitungsrichtung), oder longitudinal wie bei Fluiden. Einteilung nach Frequenzen: Infraschall : ν <= 16 Hz Hörbarer Schall: 16 Hz < ν < 16 khz Versuch Ultraschall : 16 khz < ν Hyperschall : 10 MHz < ν P: Druck S: Auslenkung der Moleküle aus Ruhelage

14 Schall-Erzeugung: Schallerzeugung durch stehende Wellen auf Festkörpern: schwingende Saite Stimmgabel Orgelpfeife Lautsprechermembran Beispiel 1: beidseitig eingespannte Saite l -> stehendes Wellenfeld bei bestimmten Eigen- oder Resonanzfrequenzen λ l = n, n = 1,2,3,... 2 = n f, n 1,2,3,.. f n 1 =