TO Stuttgart OII 310 (Physik) Inhaltsverzeichnis

Transkript

1 Inhaltsverzeichnis 0 Vorwort Eindimensionale mechanische Wellen Definition einer mechanischen Welle Arten von Wellen Beschreibung mechanischer Wellen Die Wellengleichung für eine harmonische Welle Reflexion von Wellen Überlagerung von Wellen Stehende Wellen (*) Bewegungsgleichung und Überlagerung stehender Wellen Doppler-Effekt Polarisation von Wellen Mehrdimensionale mechanische Wellen Darstellung mehrdimensionaler Wellen Huygenssches Prinzip Reflexion und Brechung von Wellen Beugung von mehrdimensionalen Wellen (*) Absorption, Streuung, Polarisation Interferenz von mehrdimensionalen Wellen Überlagerung von zwei Punktquellen Doppelspalt und Spielarten Einzelspalt Gitter Strahlen- und Wellenoptik Modell Lichtstrahl Grenzen des Modells Modell Lichtwelle (*) Grenzen des Models Einzelspalt Doppelspalt Gitter Polychromatische Lichtquellen Skript Wellen 4.0 vom

2 0 Vorwort Dieses Skript ist im Rahmen des Unterrichts in den Jahren an der Technischen Oberschule Stuttgart entstanden. Damit enthält es nur die unterrichteten Teile und enthält Querverweise auf andere Bücher und Quellen, deren Inhalt zwingend zur Ergänzung des Skriptes notwendig sind. Das Skript soll auch der Methodenschulung der Schüler dienen und auf den Gebrauch eines Skriptes an einer Universität oder Hochschule dienen. Daher enthält es bewusst (und natürlich auch unabsichtlich) Lücken in Inhalt und Erläuterungen, um das aktive Arbeiten mit Skripten zu schulen. Das Skript ist also nicht vollständig und sollte unbearbeitet nicht als Lerngrundlage zur Abiturvorbereitung dienen. Skript Wellen 4.0 vom

3 Wellen 1 Eindimensionale mechanische Wellen 1.1 Definition einer mechanischen Welle Eine mechanische Welle ist die Ausbreitung einer mechanischen Schwingung im Raum. Dies kann geschehen, wenn mehrere schwingungsfähige Körper oder Teilchen, so genannte Oszillatoren, aneinander gekoppelt werden und die Schwingung des einen Oszillators auf den anderen übertragen werden kann. Alle Oszillatoren bilden zusammen das Medium in dem sich die Welle ausbreitet. In der Regel bleibt bei einer Wellenausbreitung das Medium ortsfest, lediglich die Schwingung 1 breitet sich aus, in dem sie von Oszillator zu Oszillator wandert. Für die in der Schule betrachteten Wellen bewegt sich zwar der einzelne Oszillator aus seiner Ruhelage, kehrt aber wieder in diese zurück. Es wird im Mittel keine Materie bewegt. (Gegenbeispiel: Bei einer Wasserwelle am Strand wird das Medium, Wasser, teilweise mitbewegt und schwappt auf den Strand, mehr dazu unten.) Da in jeder Schwingung Energie gespeichert ist, kann durch die Ausbreitung der Schwingung Energie übertragen werden, jedoch ohne dabei Materie transportieren zu müssen. In der Simulation ( ist zu erkennen, dass an einem bestimmten Ort (z.b. eines der grünen Kügelchen in der Mitte der Kette) eine periodische Veränderung stattfand, aber das zu einer bestimmten Zeit (z.b. eine Sekunde nach der ersten Auslenkung) überhaupt erst an dieser Stelle mit der Schwingung begonnen wurde. Ist die Auslenkung gefragt ist es zwingend notwendig nicht nur, wie bis her bei Schwingungen, das wann zu beachten, sondern auch wo im Medium nach der Auslenkung gefragt ist. Es werden demnach zwei Diagramme notwenig sein um die Welle zu beschreiben, eins für die Auslenkung y in Abhängigkeit von der Zeit t (t-y-diagramm) und eins für die Auslenkung y in Abhängigkeit vom Ort x (x-y-diagramm). Somit ist eine Welle ist eine zeitlich und räumlich periodische Änderung physikalischer Größen, die Energie transportiert ohne Materie zu transportieren. 1 Die Schwingung muss nicht zwingend harmonisch sein. Es kann sich auch um eine Dreiecksschwingung oder ähnliches handeln. Skript Wellen 4.0 vom

4 1.2 Arten von Wellen Je nach Schwingungsrichtung der Oszillatoren im Verhältnis zur Ausbreitungsrichtung der Welle werden verschiedene Wellenarten. Für den Alltag relevant sind die drei folgenden Arten 2 : - Quer- oder Transversalwellen: Schwingungsrichtung und Ausbreitungsrichtung stehen senkrecht aufeinander. (z.b. die Welle in der Simulation, Mikrowellen 3 oder die typische Seilwelle). - Längs- oder Longitudinalwellen: Schwingungsrichtung und Ausbreitungsrichtung sind identisch. (z.b. Schallwellen oder Stauchung einer Feder in Federrichtung) - Oberflächen- oder Zirkularwellen: Die Oszillatoren führen eine Kreisbewegung aus, also eine Zusammensetzung einer Längsund Querbewegung. (z.b. Wasserwellen; erreicht die Welle ein Ufer bevor der volle Kreis beschrieben ist kehrt der Oszillator nicht an seine Ausgangslage zurück und das Medium hat sich in Ausbreitungsrichtung weiterbewegt. Dies ist einer der ganz wenigen Fällen in denen mit einer Wellenbewegung ein Materialtransport verbunden ist.) Die Haupteigenschaften von Wellen sind jedoch von der Wellenart unabhängig, ähnlich sind Eigenschaften wie Gravitationskraft, Dichte, Ladung, unabhängig von der Farbe oder der Form des Körpers. Meist werden wir die Eigenschaften exemplarisch an Seilwellen oder Wasserwellen betrachten, weil diese am einfachsten zu erzeugen und beobachten sind. Die Schlussfolgerungen gelten aber genauso für Schallwellen, Erdbebenwellen, Radiowellen, Mikrowellen, Somit werden einfache mechanische Wellen als anschauliche Beispiele für alle Wellenarten herangezogen und die Ergebnisse und Modelle sind mit kleinen Änderungen auch auf alle anderen Wellenarten übertragbar. Wird das Medium periodisch angeregt, so führt jeder der Oszillatoren für sich genommen eine Schwingung aus, welche im Normalfall harmonisch ist. In diesem Fall spricht man auch von einer harmonischen Welle. In der Schule werden immer harmonische Wellen betrachtet, es sei denn es wird explizit eine andere Wellenform 2 3 Zirkularwellen sind in der Realität wichtig, mathematisch aber sehr schwer zu beschreiben und werden daher im Schulunterricht nur zur Anschauung benutzt. Mikrowellen sind keine mechanischen Wellen, sind jedoch ein Beispiel für den sehr wichtigen Typ der elektromagnetischen Welle. Auch hier gilt wieder, dass die grundlegenden Eigenschaften und Phänomene von Wellen auch auf elektromagnetische Wellen zutreffen. Die Unterschiede werden an den entscheidenden Stellen angesprochen. Skript Wellen 4.0 vom

5 vorgegeben (z.b. Dreieckswelle oder eine zeitliche begrenzte oder nicht periodische Anregung). 1.3 Beschreibung mechanischer Wellen Da die Welle aus der Schwingung einzelner Oszillatoren aufgebaut ist, bleiben die aus dem Bereich Schwingungen bekannten Begriffe Elongation (Auslenkung), Amplitude, Schwingungsdauer (Periodendauer) und Frequenz bzw. Kreisfrequenz wichtig. Um die Ausbreitung der Welle im Raum zu beschreiben werden noch zwei weitere Größen benötigt: die Ausbreitungsgeschwindigkeit und die Wellenlänge. Unter Elongation soll die Auslenkung des Mediums aus der Ruhelage an einer bestimmten Stelle zu einem bestimmten Zeitpunkt verstanden werden. Die Amplitude (an einer bestimmten Stelle) ist die maximale Auslenkung. Die Schwingungsdauer ist analog zu der Schwingungsdauer einer Schwingung, d.h. es ist die Zeitdauer die vergeht bis ein bestimmter Oszillator wieder denselben Schwingungszustand (z.b. Nulldurchgang in positiver Richtung) erreicht. Die Frequenz ist der Kehrwert der Schwingungsdauer. Die Schwingungsdauer wird aus dem t-y-diagramm bestimmt. Das Diagramm zeigt an einem festen Ort x 0 die Bewegung eines einzelnen Oszillators in Abhängigkeit von der Zeit. Es ist zu vergleichen mit der Filmaufnahme eines bestimmten festen Ortes. Elongation 2 1 O Zeitpunkt -2 Die Wellenlänge ist der Abstand zwischen den zwei nächsten zueinander gelegenen Oszillatoren, welche denselben Schwingungszustand besitzen, beispielsweise den Abstand zwischen zwei gleichen Wellenbergen 4. Die Wellenlänge wird mit dem griechischen Lambda λ abgekürzt und hat die Einheit Meter. Die Wellenlänge kann aus dem x-y-diagramm bestimmt werden. 4 Die Bedingung gleiche Wellenberge ist notwendig bei Wellen mit verschiedenen Wellenbergen. Bsp: Die Funktion f(x)=sin(x)+sin(2x) hat zwei verschieden hohe Wellenberge bzw. Maxima. Die Wellenlänge ist zu bestimmen als der Abstand zwischen gleichen Maxima. Skript Wellen 4.0 vom

6 Das x-y-diagramm ist zu vergleichen mit einer Fotoaufnahme, die zu einem bestimmten festen Zeitpunkt t 0 gemacht wird. Das Diagramm ist nicht die Darstellung der Bewegung eines einzelnen Oszillators des Mediums, sonder die Darstellung der Gesamt- Lage des Mediums zu einem festen Zeitpunkt. Elongation 2 1 O Ort x -2 Die zweite neue Größe im Vergleich zu Schwingungen ist die Ausbreitungsgeschwindigkeit der Welle. Die Ausbreitungsgeschwindigkeit wird auch als Phasengeschwindigkeit bezeichnet, da die Ausbreitungsgeschwindigkeit die Geschwindigkeit bezeichnet mit der sich ein Zustand oder Phase im Medium ausbreitet, z.b. wie schnell sich das erste Maximum vom Erreger fortbewegt. Die Ausbreitungsgeschwindigkeit wird mit v oder v ph bezeichnet. Sie entspricht NICHT der Geschwindigkeit mit der sich ein einzelner Oszillator auf und ab bewegt. λ Für mechanische Wellen gilt der Zusammenhang: v = λ f = T 1.4 Die Wellengleichung für eine harmonische Welle Auch für die Wellenausbreitung soll jetzt eine Bewegungsgleichung entwickelt werden, welche die Elongation als Funktion beschreibt. Allerdings ist es, wie bereits erwähnt, nicht mehr ausreichend nur die Abhängigkeit der Auslenkung von der Zeit zu betrachten, sondern es muss auch die Abhängigkeit vom Ort zu berücksichtigen. Wir benötigen somit eine Funktion, welche von zwei Variablen abhängt y ( x,. Betrachten wir zunächst die Welle am Ort der ersten Erregung, d.h. am Ort x=0. Dort kann die Auslenkung beschrieben werden durch die Bewegungsgleichung einer harmonischen Schwingung: y( 0, = yˆ cos( ω = yˆ cos 2π t T Einen Oszillator der sich ein Stück d weiter rechts auf dem Medium befindet erreicht die Welle erst eine Zeitdauer t später. Die Funktion ist im t-y-diagramm um t nach rechts verschoben. Also lässt sich die Welle an dieser Stelle beschreiben durch: ( t t t y( d, = yˆ cos 2π = yˆ cos 2π ( I). T T T Skript Wellen 4.0 vom

7 Durch die Ausbreitungsgeschwindigkeit kann jedoch die Zeit berechnet werden bis die d Welle den Ort d erreicht: t =. Eingesetzt in die Gleichung (I) liefert dies: v t d y( d, = yˆ cos 2π ( II) T T v Wird nun an einem beliebigen Ort x die Welle betrachtet und der Zusammenhang zwischen Ausbreitungsgeschwindigkeit und Wellenlänge eingesetzt, so ergibt sich aus Gleichung (II) die allgemeine Wellengleichung für eine harmonische mechanische Welle mit positiver Ausbreitungsgeschwindigkeit: t x y( x, = yˆ cos 2π + ϕ T λ Die Anfangsphase φ ist analog zu Schwingungen als die Verschiebung der Funktion zum Zeitpunkt t=0 am Ort x=0 definiert. Diese Gleichung gilt für eine unendlich lange Welle, zu Beginn bzw. am Ende der Anregung ist die Auslenkung y(x,=0 für alle Orte, welche die Welle noch nicht erreicht bzw. schon verlassen hat. Bewegt sich die Welle in negative Richtung, so findet eine analoge Überlegung statt. Die Verschiebung erfolgt jetzt um d nach links. Die Welle erreicht diesen Punkt also t früher. Die Funktion wird im t-y-diagramm um t nach links verschoben: t t+ t. Daher dreht sich das Minus im Argument der Winkelfunktion um: t x y( x, = yˆ cos 2π + + ϕ T λ Aufgaben: 1. Nutzen Sie das Applet unter um die Auswirkung der verschiedenen Größen auf eine Welle zu veranschaulichen. 2. Eine Welle wird durch die beiden Diagramme beschrieben: y / cm 2 y / cm O t / s O x / cm -2-2 Berechnen Sie die Ausbreitungsgeschwindigkeit der Welle. Berechnen Sie die Auslenkung 50cm vom Erreger entfernt zu den Zeitpunkten t=40s und t=10s. Skript Wellen 4.0 vom

8 3. Eine mechanische Welle werde beschrieben durch 1 1 y( x, = 0,03m sin( 2,2 x 3, 5. Bestimmen Sie Amplitude, Frequenz, Periode m s und die Ausbreitungsgeschwindigkeit der Welle. Physikalischer Nachtrag: 1. Die Ausbreitungsgeschwindigkeit einer Welle hängt von der typischen Spannung im Medium ab. Die Spannung kann erzeugt werden durch eine Zugkraft, Oberflächenspannung, Gravitation. v = Dabei ist µ die Massenbelegung, also die Masse pro F µ m Länge: µ = l 2. Die im Zeitraum t übertragene Energiemenge E kann bestimmt werden zu E = 2 π ² µ f ² yˆ ² v t. Dabei ist ŷ die Amplitude des einheitlich schwingenden Mediums. Für nicht einheitlich schwingende Medien (z.b. Wasserwellen) ist erheblich mehr Mathematik nötig. Mathematischer Nachtrag: Ähnlich zu der Differentialgleichung einer harmonischen Schwingung lässt sich auch die 1 Differentialgleichung einer harmonischen Schwingung angeben: y ( x, = & y ( x, v² Skript Wellen 4.0 vom

9 1.5 Reflexion von Wellen Erreicht eine Welle das Ende des Mediums, so sind grundsätzlich zwei verschiedene Verhalten möglich. In beiden Fällen wird die Ausbreitungsrichtung der Welle umgekehrt. Ist das Ende des Mediums fixiert, existiert also ein festes Ende, so kommt es, neben der Umkehrung der Ausbreitungsrichtung, zu einem Phasensprung oder der Inversion der Welle. Die Auslenkung kehrt ihr Vorzeichen um (siehe rechts oben). Dieses Verhalten ist zu erklären durch eine Kraftbetrachtung am Befestigungspunkt. Die einlaufende Welle übt eine (hier) nach oben ausgerichtete Kraft auf die Wand aus. Daher übt die Wand nach dem Wechselwirkungsgesetz eine gleich große, nach unten gerichtete Kraft auf das Seil aus und erzeugt so eine entgegengesetzte Welle. Ist das Ende nicht fixiert, ein loses Ende, so kann keine nach unten gerichtete Kraft durch den Ring 5 ausgeübt werden. Der Ring wird nach oben ausgelenkt. Die Energie kann jedoch das System nicht verlassen, so dass sie wieder in Form einer Welle abgegeben wird. Das Ende ist bereits nach oben ausgelenkt, so dass die auslaufende Welle mit der einlaufenden Welle gleichphasig ist. Es kommt daher nur zur Umkehrung der Bewegungsrichtung. 1.6 Überlagerung von Wellen Die Überlagerung von Wellen oder Superposition von Wellen wird als Interferenz bezeichnet. Sie hängt von den Phasen- oder Gangunterschieden der beteiligten Wellen ab. Die Phase einer Welle ist definiert als das Argument der Winkelfunktion in der zur Welle gehörenden Wellenfunktion. Die Wellen überlagern sich ungestört, d.h. die Ausbreitung einer Welle beeinträchtig die anderen Wellen 6 nicht. Die resultierende Welle wird durch die Addition aller Wellen gebildet. y ges = y + y + y Betrachtet man nun die Überlagerung von zwei Wellen mit gleicher Frequenz und Amplitude, so lassen sich zwei Spezialfälle finden. Für einen 5 6 Der Ring soll als masselos und reibungsfrei angesehen werden. Er dient nur zur Befestigung des Seils und zur Aufrechterhaltung der Spannung im Seil. D.h. es wird davon ausgegangen, dass also keine Sättigungseffekte oder ähnliches auftreten, etwa die Auslenkung der Wellen groß genug ist um das Medium bis zum Maximum auszulenken oder zum Reißen zu bringen. Skript Wellen 4.0 vom

10 Phasenunterschied φ=0 addieren sich beide Wellen zu einer Welle mit doppelter Amplitude, man spricht in diesem Fall von konstruktiver Interferenz. Beträgt der Phasenunterschied φ=π, so sind die Wellen um genau eine halbe Periode gegeneinander verschoben. In der Addition ergibt sich eine komplette Auslöschung der Welle y = 0. Man ges spricht in diesem Fall von destruktiver Interferenz (Bilder in der oberen Reihe) Sind die Wellen unterschiedlicher Frequenz oder Wellenlänge, so kommt es zu einer, von der Überlagerung von zwei Schwingungen bekannten, Schwebung. (unteres Bild) Aufgaben: 1. Nutzen Sie das Applet unter um die beschriebenen Überlegungen zur Reflexion zu überprüfen. 2. Nutzen Sie das Applet unter um die drei beschriebenen Überlagerungen zu erzeugen. Variieren Sie weiterhin die Amplituden, Ausbreitungsrichtungen, Frequenzen und die Ausbreitungsrichtungen der beiden Wellen. Welche weiteren besonderen Situationen können Sie erzeugen? 3. Zwei Wellen gleicher Frequenz, Wellenlänge und Amplitude bewegen sich in dieselbe Richtung. Bestimmen Sie die Amplitude der resultierenden Welle, wenn die beiden Wellen eine Amplitude von 4cm und eine Phasendifferenz von π/2 aufweisen. 4. Versuchen Sie mit Hilfe des CAS durch Superposition mehrerer Wellen ein Rechtecksignal zu erzeugen. (Hinweis: Wählen Sie die anfängliche Phasenverschiebung für alle Wellen φ=0 und setzen Sie für alle Wellen denselben Zeitpunkt z.b. t=0 fest. Variieren Sie nun die Frequenzen und Amplituden der Wellen.) Physikalischer Nachtrag: Es ist möglich, eigentlich sogar normal, dass Wellen unterschiedlicher Frequenz verschiedene Ausbreitungsgeschwindigkeiten im selben Medium haben. Werden zwei Wellen unterschiedlicher Frequenz überlagert, so verändert sich die Summe aus beiden mit der Zeit, es ändert sich die Phase zwischen den Wellen. Die beiden Wellen driften auseinander. Diesen Effekt bezeichnet man mit Dispersion. Skript Wellen 4.0 vom

11 1.7 Stehende Wellen Der Begriff stehende Welle ist sehr unglücklich, aber leider Standard. Eine stehende Welle entsteht, wenn sich zwei (oder mehr) Wellen entgegen gesetzter Ausbreitungsrichtung überlagern und diese eine resultierende Welle bilden bei der die einzelnen Oszillatoren unabhängig von der Zeit dieselbe Schwingung ausführen 7. Es stellt sich ein stationärer Schwingungszustand ein. Die Welle bewegt sich nicht mehr weiter, ABER das Medium bewegt sich. Die Vorwärtsbewegung der resultierenden Wellen hat aufgehört, die einzelnen Wellen bewegen sich ebenso wie eine Schwingung des Medium stattfindet. Daher ist der Begriff stehende Welle zwar berechtigt, aber sehr irreführend, da immer noch Bewegungen stattfinden. Die einfachste Methode eine stehende Welle auf einem endlich langen Medium zu erzeugen ist eine Welle an einem losen oder festen Ende zu reflektieren. Im oberen Bild ist eine Reflexion an einem festen Ende dargestellt. Es gibt nicht nur eine Möglichkeit für eine stehende Welle auf einem Medium, sondern es können sich für unterschiedliche Frequenzen (siehe Bewegung der Hand auf den vier Bildern) stehende Wellen ausbilden. Das Bild rechts zeigt die Überlagerung der einlaufenden Welle (hellgrau) und der reflektierten Welle (dunkelgrau) zur resultierenden Welle (schwarz). Die Punkte des Mediums, welche durch die resultierende Welle nicht ausgelenkt werden, nennt man (Schwingungs-) Knoten. Dort hat die Schwingung der einzelnen Oszillatoren dauerhaft die Amplitude 0. Die Punkte in denen die Oszillatoren die maximale Amplitude haben, bezeichnet man als (Schwingungs-) Bäuche. Alle Oszillatoren gehen gleichzeitig durch die Gleichgewichtslage und erreichen ebenfalls zur gleichen Zeit ihre maximale Elongation. Die Wellenlänge ist der Abstand zwischen zwei Knoten. Wie bereits angedeutet können sich auf einem Medium verschiedene stehende Wellen ausbilden. Bei der Erzeugung einer stehenden Welle durch Reflexion an einem losen Ende muss an dem losen Ende immer ein Schwingungsbauch auftreten. Wäre dies nicht der Fall, so würde sich die 7 Im Fall von zwei Wellen müssen beide Wellen dieselbe Frequenz und Amplitude besitzen. Skript Wellen 4.0 vom

12 Welle weiter bewegen und es würde keine stehende Welle entstehen. Bei der Reflexion an einem festen Ende muss dort ein Knoten entstehen damit eine stehende Welle auftritt. Sind diese Bedingungen erfüllt, so können verschieden viele Knoten und Bäuche zwischen den Enden auftreten. Bei der minimalen Anzahl der Knoten spricht man von der Grundschwingung. Beim ersten zusätzlich entstehenden Knoten redet man von der 1. Oberschwingung, beim zweiten zusätzlichen von der 2. Oberschwingung und so weiter. Mit jedem zusätzlichen Knoten ändert sich auch die Wellenlänge der stehenden Welle. Für jeden zusätzlichen Knoten muss eine halbe Wellenlänge zusätzlich auf das Medium passen. (siehe Abbildung) Die Grundschwingungen und Oberschwingungen heißen auch Eigenschwingungen des Mediums. Die zugehörigen Frequenzen der Grund- und Oberschwingungen heißen Eigenfrequenzen. Aufgaben: 1. Nutzen Sie das Applet um eine stehende Welle zu erzeugen. Verändern Sie auch die Frequenzen und Amplituden der beiden Wellen. 2. Bearbeiten Sie die Aufgaben auf wellen.htm. Bestimmen Sie auch um die wievielte Oberschwingung es sich jeweils handelt. 3. Versuchen Sie im Applet sowohl für ein festes als auch für ein loses Ende eine stehende Welle zu erzeugen. 1.8 (*) Bewegungsgleichung und Überlagerung stehender Wellen Die Bewegungsgleichung einer stehenden Welle entsteht aus der Superposition der Wellen, welche die stehende Welle bilden. Im einfachsten Fall sind dies zwei gegenläufige Wellen gleicher Amplitude und Frequenz: t x t x x y ges ( x, = y1( x, + y2( x, = yˆ sin 2π + yˆ sin 2π + = 2yˆ cos 2π sin 2π T λ T λ λ Die Bewegungsgleichung sieht auf den ersten Blick nicht sehr viel anders aus, jedoch hat die Funktion erheblich andere Eigenschaften. Zum Beispiel nimmt die Gesamtfunktion grundsätzlich den Wert 0 an in den Stellen denen der Cosinus 0 ist, unabhängig von der Zeit. Diese Stellen bilden dann die Knotenpunkte der stehenden Welle. Ähnlich ist die Auslenkung für alle Punkte y=0, wenn der Sinusterm gleich 0 ist. D.h. alle Oszillatoren haben zur gleichen Zeit ihren Nulldurchgang. Eigenschwingungen heißen Eigenschwingungen, weil diese sich ausbilden, wenn ein ausgedehnter Körper in Schwingungen versetzt wird und der Körper dann frei weiter schwingt. Dies geschieht meist durch ein einmaliges Anschlagen. Der Anschlagpunkt ist der Ausgangspunkt einer oder mehrerer Wellen, welche dann durch Reflexion stehende t T Skript Wellen 4.0 vom

13 Wellen bilden. Wie oben gesehen können sich auf endlichen Medien aber nicht nur stehende Wellen mit der Grundfrequenz bilden, sondern auch die entsprechenden Oberschwingungen. Die Überlagerung aus den Grund- und Oberschwingungen ergibt in der Summe dann die Gesamtschwingung des Körpers. Dieses Verhalten ist vor allem bei Musikinstrumenten wichtig. Es gibt viele Instrumente, welche in der Grundschwingung mit einer Frequenz von f=440hz (Kammerton a) schwingen, jedoch haben alle unterschiedlich Klangfarben, klingen also unterschiedlich. Dies liegt an der verschiedenartigen Kombination von Oberschwingungen die das Instrument noch ausführt. Die Abbildung zeigt die Eigenschwingungen einer Glocke mit einer Grundfrequenz von 523Hz und einen Teil der Oberschwingungen. Beachten Sie, dass zum Beispiel für 5323Hz die Schwingung nicht absolut symmetrisch ist und die Glocke sich daher für diesen Töne in denen diese Frequenz enthalten ist nicht absolut harmonisch anhören wird. Ist die Abweichung zu stark hört sich der Ton schief an und die Glocke muss entweder repariert oder noch mal gegossen werden. Skript Wellen 4.0 vom

14 1.9 Doppler-Effekt Der Doppler-Effekt ist jedem aus dem Alltag bekannt. Fährt ein Auto (Sender, Quelle) an einem Fußgänger (Empfänger, Detektor) vorbei, so hört er verschiedene Töne vor und nach dem Passieren des Autos. Ein ähnlicher Effekt tritt auf, wenn sich der Empfänger selbst an einer Schallquelle vorbeibewegt. Die beiden Fälle sind aber zu unterscheiden! Es macht einen Unterschied ob sich der Empfänger oder der Sender bewegt. Bewegter Empfänger, ruhender Sender Zuerst soll der Fall betrachtet werden, dass sich der Empfänger bewegt und der Sender ruht. Etwa wenn sich die Person in einem Zug an einer Musikveranstaltung vorbei kommt. Gehen wir davon aus, dass die Welle sich mit v bewegt, die Frequenz f 0 hat und der Empfänger sich mit der Geschwindigkeit u bewegt. Die Wellenlänge ist konstant, jedoch kommt die Welle mit der kombinierten Geschwindigkeit v-u beim Empfänger an. Dabei ist zu beachten, dass die Geschwindigkeit u negativ ist, wenn sich der Empfänger auf den Sender zu bewegt und damit die beiden Geschwindigkeiten unterschiedliche Richtungen haben. Aufgrund der zusätzlichen Bewegung kommen pro Zeiteinheit mehr Wellenberge beim Empfänger an. Aus der Grundgleichung für Wellen v = f λ folgt, dass wenn sich die effektive Geschwindigkeit ändert, dann muss sich die Frequenz ändern: f veff v u v u v u = = = = = f λ λ λ λ { λ v E f 0 u v Der Bruch ist für im Vergleich zur Ausbreitungsgeschwindigkeit geringe Geschwindigkeiten u fast gleich Null. Daher ist der Effekt in Luft erst deutlich wahrnehmbar, wenn die Geschwindigkeit über 20m/s liegt. Bewegter Sender, ruhender Empfänger Dies ist der normale Fall, wenn zum Beispiel ein hupendes Auto an einem Fußgänger vorbei bewegt. Wie auf dem Bild zu sehen ist die Wellenlänge in Bewegungsrichtung vor der Quelle eine andere als nach der Quelle. In Bewegungsrichtung des Senders breitet sich die Welle durch die Bewegung des Senders nicht so weit vom Sender weg bevor der nächste Wellenberg ausgesendet wird. Damit ist die Wellenlänge verkürzt gegenüber der Wellenlänge ohne Bewegung. In einer Periodendauer T bewegt sich der Sender um u T weiter, damit gilt λ u λ E = λ T u = λ u = λ 0 1. v v Skript Wellen 4.0 vom

15 Somit ist die wahrgenommene Frequenz beim Empfänger auch in diesem Fall, wegen v = f λ, höher als die im stationären Fall, wenn auch aufgrund einer Veränderung der Wellenlänge und nicht der Frequenz. Daher müssen beide Fälle unterschieden werden. Der Doppler-Effekt kann benutzt werden um die Geschwindigkeit von Objekten zu bestimmen indem man die Frequenz der am Objekt reflektierten Welle mit der ausgesendeten vergleicht. Die reflektierte Welle verhält sich als wäre sie vom Objekt ausgesendet, das sich jedoch bewegt. Damit kommt es zum Dopplereffekt, der einen Rückschluss auf die Objektgeschwindigkeit zulässt. Typische untersuchte Objekte sind Autos oder Blut im Körper eines Patienten. Aufgaben 1. Welchen Ton hört ein Beobachter, an dem eine pfeifende Lokomotive (f=1500hz) mit einer Geschwindigkeit von 120km/h vorbeifährt, vor und nach dem passieren? Die Schallgeschwindigkeit sei 340m/s. 2. Die Hupe eines stehenden Autos besitze die Frequenz 440Hz. Welche Frequenz nimmt ein zweiter Autofahrer wahr der sich mit 100km/h nähert (bzw. entfernt?) 3. Eine Pfeife der Frequenz 400Hz wird mit 3 Umdrehungen pro Sekunde auf einer Kreisbahn mit dem Radius 1m herumgeschleudert. Zwischen welchen Werten schwankt die Frequenz des Tones, den ein ruhender Beobachter registriert. Physikalischer Nachtrag: Wird die Bewegungsgeschwindigkeit u höher als die Ausbreitungsgeschwindigkeit v sind beide Formeln nicht mehr gültig. Dann kommt es zum Überschallknall 8 und ein so genannter Machscher Kegel bildet sich aus. Die Wellen laufen der Quelle hinterher. Es bilden sich zwei Geraden aus, auf denen sich die ausgesendeten Wellen konstruktiv überlagern. An diesen Orten hat die resultierende Welle eine erheblich höhere Amplitude die wir als Überschallknall wahrnehmen. Dieser Effekt kann auch bei anderen Wellen als Schallwellen beobachtet werden. 8 Der Begriff Überschallknall wird auch für Nicht-Schallwellen benutzt. Skript Wellen 4.0 vom

16 1.10 Polarisation von Wellen Transversalwellen besitzen eine Schwingungsrichtung senkrecht zur Ausbreitungsrichtung, jedoch ist nicht die Richtung der Schwingungsrichtung nicht eindeutig festgelegt. So sind mehrere Schwingungsrichtungen möglich oder auch Überlagerungen von verschiedenen Schwingungsrichtungen. Im Extremfall ist auch eine zirkulare Polarisation möglich bei der die Schwingungsrichtung sich permanent verändert, die Schwingungsrichtung rotiert um die Achse der Ausbreitungsrichtung. Die Eigenschaft der Polarisation ist eine der wenigen Eigenschaften, welche von der Art der Welle abhängt. Longitudinalwellen zeigen keine Polarisation. Somit ist es möglich bei schwer beobachtbaren Wellen (z.b. Mikrowellen) die Wellenart zu untersuchen. Um eine Polarisation festzustellen wird ein relativ einfacher Aufbau eingesetzt. Es werden quer zur Bewegungsrichtung zwei parallele Stäbe aufgebaut in denen das Medium auf und ab schwingen kann, aber nicht links oder rechts. Trifft nun eine Welle auf das Hindernis, welches die Schwingungsebene parallel zu den Stäben hat, so tritt sie ungehindert hindurch. Ist die Schwingungsrichtung jedoch senkrecht zu den Stäben wird die Welle komplett reflektiert. Eine Welle, welche mehrere verschiedene Schwingungsrichtungen besitzt oder wenn die Schwingungsrichtung geneigt gegen die Stangen ist, so tritt nur der senkrechte Anteil durch die Stangen. Wird ein zusätzliches Stangenpaar quer zum ersten Paar aufgestellt, hat eine Transversalwelle keine Amplitude mehr. Eine Longitudinalwelle hat nach den beiden Stangenpaaren noch die volle Amplitude. In der Photographie werden so genannte Polfilter eingesetzt um Lichtspitzen (sehr helle Stellen an stark reflektierenden Objekten) zu reduzieren. Wird Licht an einer Oberfläche reflektiert, so kommt es zur teilweisen Polarisation. Die Schwingungsrichtung ist nicht mehr zufällig, sondern die Schwingung erfolgt bevorzugt in eine Richtung. Der Polfilter wirkt nun ähnlich zu den beiden Stangen und wird solange gedreht bis das reflektierte Licht die Stangen im Polfilter nicht mehr passieren kann. Skript Wellen 4.0 vom