Kapitel 5: Mechanische Wellen

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1 Kapitel 5: Mechanische Wellen 5.1 Was sind Wellen? 5.2 Beschreibung der eindimensionalen Wellenausbreitung 5.3 Harmonische Wellen 5.4 Berechnung der Ausbreitungsgeschwindigkeit 5.5 Wellen im Festkörper 5.6 Prinzip der Superposition 5.7 Stehende Wellen

2 5.1 Was sind Wellen? Wir betrachten ein Medium in seiner Gleichgewichtslage.! Medium = ein Seil, eine Saite, ein Festkörper, die Luft, Wasser, usw... Wenn wir eine physikalische Eigenschaft dieses Mediums in einem Punkt stören, wird sich diese Störung durch das Medium ausbreiten.! Diese Störung wird eine Welle genannt.! Man spricht von Wellenausbreitung.! Die Störung breitet sich mit einer bestimmten Ausbreitungsgeschwindigkeit aus. Beachte: Das Medium wird durch die Wellenbewegung nicht entlang der Wellenausbreitung transportiert. Die Störung des Mediums breitet sich aus.

3 Beispiel: Seilwellen Demonstrationsexperiment: Seilwellen! Wir betrachten ein Seil, dessen beide Enden an den Wänden festgebunden sind. Das Seil liegt horizontal (wir vernachlässigen die Gravitationskraft) und ist gespannt.! Wenn wir ein Seil mit einem kurzen seitlichen Ruck auslenken, wandert die anfängliche Auslenkung als Wellenberg mit konstanter Geschwindigkeit dem Seil entlang. Die transversale Auslenkung ( die Störung ) breitet sich als eine Welle aus.

4 Beispiel: Wellenausbreitung im Gas Wir betrachten die elastischen Wellen, die durch Druckveränderung in einem Gas entstehen. Der Schall ist das wichtigste Beispiel für diese Art von Wellen.! z.b. ein Lautsprecher vor einen Glasrohr: Der Schall wird sich als eine Druckwelle der Luft mit einer bestimmten Schallgeschwindigkeit im Glasrohr ausbreiten. Druck p Druck p >p Druck p Zustand des Gases (=physikalische Eigenschaft) ist durch den Druck gegeben. Die Störung, die sich ausbreitet, ist die Veränderung des Druckes.

5 Seilwellen Demonstrationsexperiment: Seilwellen. Wir beobachten:! Jeder Punkt des Seils schwingt senkrecht zur Ausbreitungsrichtung der Welle;! Ein Punkt des Seils bleibt so lange in Ruhe, bis der Wellenberg ihn erreicht;! Der Punkt führt dann eine Schwingung um seine Ruhelage aus;! Er kehrt schliesslich in den Ruhezustand zurück. Die einzelnen Punkte des Seils werden durch die Wellenbewegung nicht entlang der Wellenausbreitung transportiert. Sie bewegen sich vorübergehend um ihre Gleichgewichtslage. " Auslenkung Räumliche Abhängigkeit x Bewegungsrichtung eines Punkts des Seils Ausbreitungsrichtung der Welle Zeitentwicklung a)! b)! c)! d)

6 Idealisierung: Masse-Feder-System Diskreter Fall: Wir betrachten viele gleiche Massen, die sich in einer Reihe befinden, und die mit Federn verbunden sind. In einem solchen System können longitudinale oder transversale Wellen erzeugt werden.! Im Ruhezustand ist der Abstand zwischen den Massen so gewählt, dass keine Kräfte zwischen Paaren von Massen wirken. " #x Masse m Feder Masse m

7 Masse-Feder-System "Wenn die erste Masse kurz transversal ausgelenkt wird, erhöht sich der Abstand zwischen der ersten und der zweiten Masse. Die Federkraft wirkt dann als eine Rückstellkraft, die versucht, die Massen zusammenzubringen. "Als Folge bewegt sich die erste Masse in Richtung ihrer Ruhelage und die zweite Masse wird aus ihrer Ruhelage weggezogen. "Die zweite Masse bewegt sich jetzt und der gleiche Vorgang findet zwischen der zweiten und dritten Masse statt. Verlängerung der 1. Feder " #x x 1 x 2 x 3 x 4 x i " 1 " 2 " 3 " 4 " i

8 Transversale Welle Transversale Bewegung "

9 Longitudinale Welle Horizontale Bewegung "

10 Vom diskreten zum kontinuierlichen Fall Vergleich zwischen Masse-Feder-System und Seilwellen! Jede Masse im Masse-Feder-System schwingt um ihre Ruhelage;! Jede Masse bleibt so lange in Ruhe, bis der Wellenberg sie erreicht;! Sie führt dann eine Bewegung um ihre Ruhelage aus;! Sie kehrt schliesslich in den Ruhezustand zurück. Ähnliche Situation wie im Fall der Seilwellen. Diese Feder-Masse-Anordnung wird nützlich sein, wenn wir die Ausbreitung von Wellen in einem Seil quantitativ betrachten. Ein Seil kann als ein kontinuierliches Masse-Feder-System mit infinitesimalen Massenelementen dargestellt werden. " #x #x! dx m! dm Masse m

11 A) Diskreter Fall: #x Masse m " Auslenkungen x 1 x 2 x 3 x 4 x i " 1 " 2 " 3 " 4 " i " 1, " 2, " 3, B) Kontinuierlicher Fall: Massenelement dm "!(x) x Die Raumkoordinate x spielt die Rolle eines Indexes für das Massenelement. Auslenkung:!(x) Eine kontinuierliche Funktion der Raumkoordinate

12 5.2 Beschreibung der Wellenausbreitung Zeitenwicklung! Zur Zeit t=0 ist die Form der Welle durch eine Funktion "(x) beschrieben. Jede bestimmte Koordinate x entspricht einem Punkt des Mediums. Nach einiger Zeit ist der Wellenberg weitergewandert. Wellenfunktion:! Die Welle als Funktion der Zeit kann durch eine Funktion von zwei Variablen ausgedrückt werden!(x,t) wobei x die Raumkoordinate, und t die Zeit ist. Diese Funktion beschreibt die Ausbreitung der Wellen als Funktion der Zeit (in einer Dimension). Beispiele:! Seilwellen: "(x,t) = transversale Auslenkung des Seils! Federwellen: "(x,t) = longitudinale oder transversale Verformung der Feder! Gaswellen (Schall): "(x,t) = Druck des Gases

13 !(x,t) x tkontinuerliche Zeitentwicklung #t Zeitintervall #t! dt Die Zeit t spielt die Rolle eines Indexes für das Bild.

14 Dispersion Gewöhnlich wird sich die Form eines Wellenberges mit der Zeit verändern. Dieser Effekt heisst Dispersion. Die Funktion "(x,t) kann daher im Prinzip eine komplizierte Zeitabhängigkeit besitzen. Vernachlässigung der Dispersion: Wir werden die Dispersion vernachlässigen und eine stabile Form des Wellenberges als Funktion der Zeit annehmen. Ohne Dispersion Mit Dispersion

15 Form der Wellenfunktion ohne Dispersion Wir nehmen an, dass die Form der Welle (z.b. zur Zeit t=0) durch die Funktion f(x) dargestellt wird!(x,t = 0) = f (x) Ersetzen: x durch x a! Diese Substitution bewirkt eine Translation des Wellenbergs ohne Veränderung seiner Form! Die Welle hat sich ohne Verformung um den Betrag a nach rechts verschoben!(x)! = f (x " a)

16 Nach rechts:!(x)! = f (x " a) Nach links:!(x)! = f (x + a)

17 Wellenausbreitung Eine wandernde Welle: a = ±vt wobei v=ausbreitungsgeschwindigkeit der Welle, t die Zeit. Im Allgemeinen betrachten wir die Ausbreitung einer Welle nach rechts oder nach links. Die Ausbreitung (Zeitentwicklung) der Welle:!(x,t) =!(x ± vt) Die Gleichung stellt eine Welle dar, die sich ohne Dispersion in die negative x-richtung (+) oder die positive x-richtung ( ) ausbreitet.

18 !(x,t) =!(x " vt) Funktion von zwei Variablen (x,t) Funktion von einer Variablen!(x,t) =!(x + vt) d.h., Zeitabhängigkeit bewirkt eine triviale Translation im Raum mit konstanter Geschwindigkeit v

19 5.3 Harmonische Wellen Harmonische Welle = eine periodische sinus- oder kosinusförmige Funktion (f(x)! Asin(kx))!(x,t) =! sin( k(x ± vt) ) 0 Definitionen:! k=wellenzahl," 0 =Amplitude, v=ausbreitungsgeschwindigkeit! Wellenlänge $ = Abstand zwischen zwei aufeinanderfolgenden Wellenkämmen k(x +!) = kx + 2" # k! = 2"!!!!!!!!!!!!!# k = 2"!

20 !(x,t) =! 0 sin k(x ± vt) Kreisfrequenz % ( ) ( ) ( ) =! 0 sin kx ± kvt =! 0 sin kx ± "t! = kv oder v =! k Kreisfrequenz Ausbreitungsgeschwindigkeit Wellenzahl k = 2! "!#!" = 2! k

21 5.4 Ausbreitungsgeschwindigkeit Wir beobachten, dass die Wellen sich mit konstanter Geschwindigkeit ausbreiten. Wovon hängt diese Geschwindigkeit ab? Die Ausbreitungsgeschwindigkeit wird von mindestens zwei Parametern bestimmt. Im Allgemeinen werden immer zwei Eigenschaften des Mediums gegeneinander wirken:! Eine Kraft wird wirken, die das Medium in seinen ursprünglichen Zustand zurückzubringen versucht (Rückstellkraft). Je grösser diese Kraft, desto schneller wird sich die Welle ausbreiten.! Die Masse, die als Trägheit wirkt, wird die Wellenausbreitung verlangsamen. Je grösser die Masse, desto langsamer wird sich die Welle ausbreiten. #x F = ma Masse m Feder F=-kx

22 Vergleich mit Schwingungen Lösung der Differentialgleichung: d 2 x dt 2 + k m x = 0 x(t) = "! m # k $ % d 2 x(t) dt 2 Ansatz: x(t) = Asin(!t +")!" 2 + k m = 0 # " = k m Die Kreisfrequenz hängt von der Rückstellkraftkonstante und der inversen Masse ab; sie ist unabhängig von der Amplitude A der Schwingung. Die Masse (Trägheit) wirkt gegen die Bewegung. Je grösser die Rückstellkraftkonstante, desto stärker die Rückstellkraft und desto schneller erreicht die Masse ihre ursprüngliche Lage zurück.

23 Ausbreitungsgeschwindigkeit in Medien Leicht komprimierbar Ziemlich fest Fest Zunehmende Festigkeit Modell: Zunahme der Rückstellkraftkonstante Gas! Flüssig! Fest

24 Die Wellengleichung Es gilt (z.b. für harmonische Wellen, die sich nach rechts ausbreiten) Zeitabhängigkeit: Ortsabhängigkeit: In ähnlicher Weise:!(x,t) =! 0 sin kx "#t ( ) =! 0 sin( k(x " vt) )!"!t =!!t " 0 ( ) = " 0 #kv sin k(x # vt)! 2 "!t 2 = #" 0 kv ( ) 2 sin k(x # vt) ( )!"!x = " 0k cos ( k(x # vt) )! 2 "!x = #" k sin( k(x # vt) ) ( )cos k(x # vt)! 2 "!t = #" ( kv) sin( k(x # vt) ) = v 2! 2 "!t = #" 2 0 ( kv) 2 sin( k(x + vt) ) = ( v 2 )! 2 "!x 2 ( ) ( )! 2 "!x 2

25 Im Allgemeinen:!(x,t) =! 0 sin( k(x ± vt) )! 2 "!t = ( )! 2 " 2 v2!x 2! 2 "!t 2 # v2! 2 "!x 2 = 0 Eine partielle Differentialgleichung dieser Form ist eine Wellengleichung Sie stellt eine Beziehung zwischen den zweiten zeitlichen und räumlichen Ableitungen dar. Der Parameter v ist die Ausbreitungsgeschwindigkeit der Welle!

26 Allgemeine Lösung Die allgemeine Lösung der Wellengleichung ist von der Form!(x,t) = wobei f und g zwei beliebige Funktionen sind. Eine solche Lösung erfüllt immer die Differentialgleichung, unabhängig von den Funktionen f und g. Die Lösung entspricht Wellen, die sich nach rechts und nach links ausbreiten. Mathematischer Beweis: Zeitabhängigkeit: f ( x " vt) + g(x + vt)!(x,t) = x " vt und #(x,t) = x + vt!(x,t) = f ("(x,t)) + g(#(x,t))!"(x,t)!t =!f ( #(x,t) )!t ( ) =!f #!# %v + ( ) +!g $!g ( $(x,t) )!t ( )!$ ( +v ) =!f (# )!#!#!t +!g( $ )!$!$!t

27 ! 2 "(x,t)!t 2 =!!t & = #v ' (!"(x,t)!t ( )!2 f ( $ ) & = #v ' ( =! &!t ' ( ( ) (#v)!f $!$ + +v &!!$ 2 ' (!t $ ) * + + +v ( )!2 g (%) ( )!g(% )!% ) * + &!!% 2 ' (!t % ) ) * + * + ( )!2 f ( $ ) ( ) + ( +v)!2 g (%) ( ) ( )!$ 2 #v ( ) =!2 f $ v 2 +!2 g % v 2!$ 2!% 2 ( ) = v 2, -.! 2 f ( $ ) In ähnlicher Weise:!"(x,t)!x ( ) +!2 g % / 0!$ 2!% 2 1 =!f ( #(x,t) )!x =!f (# )!# +!g $!$ ( )!% 2 +v ) * +!g( $(x,t) ) +!x ( ) ( )! 2 "(x,t) =!2 f # +!2 g $!x 2!# 2 =!f (# )!#!# ( )!x +!g $!$!$!x!$ 2! 2 "!t 2 # v2! 2 "!x 2 = 0

28 Anwendung: transversale elastische Seilwellen Wir leiten die Wellengleichung der transversalen Seilwellen her. Wir unterteilen ein Seil in viele differentielle Massenelemente dm. Wir nehmen an, dass die Massenelemente sich nur in der vertikalen Richtung um ihre Ruhelage bewegen können. Wir betrachten ein einzelnes Massenelement dm der Länge dx.! Der Anfangspunkt befindet sich im Punkt x des Seils! Der Endpunkt befindet sich im Punkt x+dx. Die Auslenkung ist durch die Funktion "(x) bestimmt. Längendichte: Gesamte Masse des Seils = M, Länge = L! = M L " dm =!dx Einheit der Längendichte = Masse/Länge, d.h. kg/m.

29 S=Spannung des Seils Die auf das Massenelement wirkende resultierende vertikale Komponente der Kraft ist F y = S sin "! # S sin" $ S tan "! # S tan" Für kleine Auslenkungen Steigung = Ableitung der Auslenkung nach x

30 Damit: F y! S tan #" $ S tan# = S ' ( ) %&(x + dx,t)! S % 2 & %x 2 dx %x $ %&(x,t) %x * +, Die Bewegung des Massenelements (Geschwindigkeit und Beschleunigung): v y (x,t) =!"!t und a y (x,t) =! 2 "!t 2 (vertikale Komponente) Newtonsches Gesetz: F y = (dm)a y! S " 2 # dx = dm " 2 # "x 2 "t 2

31 Mit der Längendichte:! = M L " dm =!dx S! 2 "!x 2 dx = #dx! 2 "!t 2 $! 2 "!t 2 = S! 2 " #!x 2 Voraussage der Ausbreitungsgeschwindigkeit: Form der Wellengleichung!! 2 "!t = ( )! 2 " 2 v2!x 2 v 2 = S! " v = ± S!

32 Ausbreitungsgeschwindigkeit von Seilwellen Die Ausbreitungsgeschwindigkeit von Seilwellen ist v = ± S! wobei S=Spannung, &=Längendichte Die Ausbreitungsgeschwindigkeit hängt nur von den Eigenschaften des Seils ab. Sie ist unabhängig von der Form der Welle oder ihrer Amplitude (gilt bei kleiner Auslenkungen). Die Ausbreitungsgeschwindigkeit nimmt mit der Spannung zu. Je grösser die Spannung ist, desto schneller werden die Massenelemente in ihre Gleichgewichtslage zurückkehren. Die Ausbreitungsgeschwindigkeit nimmt mit der Längendichte ab. Je grösser die Dichte ist, desto langsamer werden die Massenelemente in ihre Gleichgewichtslage zurückkehren. Demonstrationsexperiment: Seilwellen bei verschiedenen Spannungen

33 5.5 Wellen im Festkörper Elastische Deformation des Festkörpers:! Allgemein ändert ein Körper seine Form, wenn Kräfte an ihm ziehen oder ihn komprimieren. Wenn der Körper seine ursprüngliche Form wieder annimmt, wenn die Kräfte nicht mehr wirken, dann heisst die Deformation elastisch.! Elastizitätsgrenze: Die meisten Körper sind nur bis zu einer bestimmten Grenze der Kräfte elastisch. Über diese Grenze wird der Körper plastisch sein, und seine Gestalt wird irreversibel geändert. Als Folge der Elastizitätseigenschaft von Festkörpern werden sich Deformationswellen ausbreiten.! D.h. die Deformation des Festkörpers breitet sich aus.! Elastisch = der Festkörper findet seine Gestalt wieder

34 Ausbreitungsgeschwindigkeit Seilwellen Spannung=S (N) Längendichte=& (kg/m) Ausbreitungsgeschwindig keit: (m/s) Festkörper Dichte (Volumendichte) = &(kg/m 3 ) Ausbreitungsgeschwin digkeit (m/s): v = ± S! v = ± Y! Was ist die Konstante Y?

35 Elastizitätsmodul Y Die Einheit: Y = ' () kg m 3! " # m s 2 $ % & * +, = ' kg ( ) m.s 2 * +, = ' kg.m ( ) m 2 s 2 * +, = ' N ( ) m 2 * +, Lineare Verformung eines Stabes unter Normalbelastung: Hookesches Gesetz: gilt innerhalb der Elastizitätsgrenze eines Stabs F = YA!l l wobei F die Rückstellkraft ist, die an dem Stab zieht, A der Querschnitt des Stabs und Y das Elastizitätsmodul. l #l Querschnitt A F

36 F = YA!l l v = ± Y!

37 Wellen im Festkörper Demonstrationsexperiment: Welle im Messingstab! Ein Schlag an ein Ende eines festen Stabs pflanzt sich längs des Stabs fort! Die Ausbreitung der Deformationswelle wird mit zwei Tonabnehmern an den zwei Enden des Stabes nachgewiesen.! Longitudinale und transversale Wellen werden erzeugt. Im Festkörper existieren verschiedene Arten von Wellen:! Longitudinale Wellen können sich in allen Medien ausbreiten, die Volumenelastizität besitzen, wie z.b. in Festkörpern, aber auch in flüssigen und gasförmigen Stoffen. Eine Rückstellkraft, die der Volumenänderung entgegen gerichtet ist, wirkt.! Transversale Wellen sind etwas komplizierter, da bei ihnen Schubkräfte an den Massenlementen des Körpers angreifen müssen, um sie wieder in ihre Ausgangslage zurückzutreiben. Solche Wellen breiten sich nur in festen Körpern aus.

38 5.6 Prinzip der Superposition Experimentell wird beobachtet:! Wenn sich die beiden Wellenberge treffen, ist die gesamte Auslenkung gleich der Summe der Auslenkungen der einzelnen Wellenberge.! Nachher trennen sich die Wellenberge wieder und laufen weiter, ohne dass sich ihre Form geändert hat. Diese fundamentale Eigenschaft von Wellen wird das Prinzip der Superposition genannt.! 1 (x " vt)! 2 (x + vt) Resultierende Welle:!(x,t) =! 1 (x " vt) +! 2 (x + vt)

39 Prinzip der Superposition #

40 Konstruktive Interferenz Destruktive Interferenz! =! 1 +! 2 = 2! 1! =! 1 +! 2 = 0

41 Superposition harmonischer Wellen Wir betrachten zwei harmonische Wellen, die von zwei gleichen Quellen Q 1 und Q 2 mit derselben Amplitude A, derselben Kreisfrequenz % und einem bestimmten Phasenunterschied ' kommen. Die zwei Wellen treffen sich in einem Punkt P Abstand P-Q 1 = x 1 P-Q 2 = x 2! 1 (x,t) = A sin(kx 1 "#t) und! 2 (x,t) = Asin(kx 2 " #t +$)

42 Superposition! 1 (x,t) = A sin(kx 1 "#t) und! 2 (x,t) = Asin(kx 2 " #t +$) Resultierende Welle (Superposition): '=Phasenunterschied der Quellen!(x,t) =! 1 (x,t) +! 2 (x,t) Weil die Wellen verschiedene Wege zurückgelegt haben, erreichen sie den Punkt P mit einer zusätzlichen Phase. Diese Wegdifferenz wird als Gangunterschied #x bezeichnet!x = x 2 " x 1 # x 2 = x 1 +!x

43 Superposition Resultierende Welle (Superposition):!(x,t) =! 1 (x,t) +! 2 (x,t)!(x,t) = Asin(kx 1 "#t) + Asin(k(x 1 + $x) " #t + %) = Asin(kx 1 "#t) + Asin(kx 1 "#t + (% + k$x)) & = 2Acos 1 ( & (% + k$x) sin kx ' 2 ) 1 "#t + 1 ( (% + k$x) '!## #" ### $ 2 )!## # #" ### ## $ Amplitude Konstruktive Interferenz: (doppelte Amplitude) Destruktive Interferenz: (verschwindende Amplitude) harmonische Welle Die resultierende Welle ist eine harmonische Welle mit derselben Frequenz und derselben Wellenzahl wie die einlaufenden Wellen. Die Amplitude hängt vom Phasenunterschied und Gangunterschied ab! 1 (! + k"x) = n# n = 0,1,2, (! + k"x) = # n + 1 % $ 2& ' n = 0,1,2,...

44 5.7 Stehende Welle Demonstrationsexperiment: Eigenschwingung einer Saite der Länge L! Ein Seil ist an zwei Wänden fixiert. Wenn wir das Seil mit einer äusseren Kraft in Form einer harmonischen Schwingung auslenken, beobachten wir für bestimmte Frequenzen eine stehende Welle. Die Amplitude der Schwingung ist in diesem Fall gross (Resonanz bei bestimmten Eigenfrequenzen). Bäuche Knoten

45 Frequenz der stehenden Wellen Um die Eigenfrequenzen zu bestimmen, bemerken wir, dass für eine stehende Welle die Länge L der Saite gleich einem ganzzahligen Vielfachen von $/2 sein muss n! 2 = L n =1,2,3,... Eine unendliche Anzahl von Eigenfrequenzen, die die Wellenlänge $ n besitzen n=zahl der Harmonischen! n = 2L n n = 1,2,3,...! Die n-te Harmonische besitzt n Bäuche und n 1 Knoten. Die Frequenz der n-ten Harmonischen:! n = " n 2# = k nv 2# = 2#v 2#$ n = v $ n = n v 2L Ausbreitungsgeschwindigkeit ( n =1,2,3,... )

46 Stehende Welle Die Frequenz der n-ten Harmonischen als Funktion der Grundfrequenz (der ersten Harmonischen)! 1 = v 2L und! n = n! 1 Aus der Bestimmung der Ausbreitungsgeschwindigkeit v = S! " # 1 = 1 2L S! Spannung Längendichte

47 Wellenfunktion der stehenden Wellen Experimentell:! ein Punkt an einem beliebigen Ort x hat eine einfache harmonische Bewegung. Die Amplitude der Schwingung ist von Ort zu Ort verschieden. Ansatz:!(x,t) = 2! 0 sin(kx)cos("t)

48 Es gilt:! 1 (x,t) =! 0 sin( kx " #t) und! 2 (x,t) =! 0 sin( kx +#t) Prinzip der Superposition:!(x,t) =! 1 (x,t) +! 2 (x,t) ( ) +! 0 sin( kx +#t) =! 0 sin kx "#t = 2! 0 sin(kx)cos(#t) Stehende Welle = Summe von zwei Wellen gleicher Wellenzahl, Frequenz und Amplitude und entgegengesetzter Ausbreitungsrichtung!

49 Randbedingung Ist die Saite an beiden Enden (d.h. bei x=0 und x=l) fest eingespannt, gibt es eine Randbedingung, die für alle Zeiten gelten muss Bei x=0 immer erfüllt!(0,t) =!(L, t) = 0 für alle Zeiten t Bei x=l:!(l,t) = 2! 0 sin(kl)cos("t) = 0 # sin(kl) = 0 für alle Zeiten t k n L = n! n =1,2,3,...! n = 2L n n = 1,2,3,... Genau die Bedingung für stehende Wellen