9. Periodische Bewegungen

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1 9.2 Wellen Inhalt 9.2 Wellen Harmonische Welle Interferenz von Wellen Wellenpakete Stehende Wellen

2 9.2 Wellen 9.2 Wellen 9.2 Wellen Störung y breitet sich in Raum x und Zeit t aus. y = f(t,x)

3 9.2 Wellen 9.2 Wellen Man definiert: Raumperiode l = Wellenlänge Man definiert: Zeitperiode T = Schwingungsdauer

4 9.2.1 Harmonische ebene Welle Welle: Harmonische Welle: Ausbreitung einer Störung Störung = harmonische Störung Ebene (harmonische) Welle: - breitet sich in einer Richtung aus (z.b. + x) - ist unendlich ausgedehnt in Raum und Zeit - ist periodisch in Raum und Zeit Harmonische Welle (Mögliche) mathematische Beschreibung von Harmonischer Welle Animation c: Ausbreitungsgeschwindigkeit (Phasengeschwindigkeit) y 0 : Amplitude k: Wellenzahl (Kreiswellenzahlvektor) [k]: m -1 Frage: in welche Richtung breitet sich Welle aus? Harmonische Welle

5 9.2.1 Harmonische Welle Harmonische Welle Räumliche und zeitliche Periode Raumperiode l Raumperiode l = Wellenlänge

6 9.2.1 Harmonische Welle Zeitperiode T = Ausbreitungsgeschwindigkeit Harmonische Welle

7 Phasengeschwindigkeit Harmonische Welle Momentaufnahmen einer Welle bei t = 0 bis t = T c = f λ v = x/ t = c mit: x = λ t = T = 1/f c = f λ Übliche mathematische Beschreibung einer harmonischen Welle: Mit ϕ = Phasenverschiebung Harmonische Welle

8 9.2.2 Interferenz von Wellen Harmonische Welle Lösung der Bewegungsgleichung: Bewegungsgleichung (Wellengleichung): Allgemeine Lösung: Wellenarten: Transversale Wellen: Ausbreitung senkrech zur Störung Longitudinale Wellen: Ausbreitung paralle zur Störung

9 9.2.2 Interferenz von Wellen Interferenz (Überlagerung von Wellen) Interferenz von Wellen

10 9.2.2 Interferenz von Wellen Interferenz (Überlagerung von Wellen) Bei Überlagerung von Wellen gilt das Superpositionsprinzip. Beispiel: Welle 1: y 1 = f 1 (x,t) z.b. Welle 2: y 2 = f 2 (x,t) z.b Interferenz von Wellen Welle = y = y 1 + y 2 mit gilt Ergebnis ist wieder harmonische Welle mit:

11 9.2.2 Interferenz von Wellen Interferenz von Wellen Amplitude y ges = f( ϕ) Man unterscheidet: konstruktive Interferenz destruktive Interferenz

12 9.2.2 Interferenz von Wellen Beispiel: Schwebung Interferenz von Wellen Überlagerung zweier harmonischer Wellen y 1 + y 2 mit

13 9.2.2 Interferenz von Wellen Mathematische Beschreibung Interferenz von Wellen Annahme: Es gilt: x 1 Annahme: Ersetze: Ja und?

14 9.2.3 Wellenpakete Interferenz von Wellen Wir haben: = modulierte Welle = Schwebung Schwebung = modulierte Welle breitet sich aus mit Gruppengeschwindigkeit Für beliebige Wellenpakete gilt: Muss man das verstehen? Ja!

15 9.2.3 Wellenpakete Wellenpakete Ausbreitungsgeschwindigkeit einer harmonischen Welle: Phasengeschwindigkeit c: Ausbreitungsgeschwindigkeit eines Wellenpaketes: Gruppengeschwindigkeit v g : t t Zusammenhang v g mit c =? Wellenpakete

16 9.2.4 Wellenpakete Falls c = f(l) = Dispersion Konsequenzen: - Signale nur als Wellenpaket übertragbar breiten sich mit Gruppengeschwindigkeit aus - In dispergierenden Medien Formveränderung des Wellenpaketes (Auseinanderfließen) Beispiel: Elektromagnetische Wellen in Medium c = f( λ) Übertragungsfrequenz eingeschränkt Beispiel: Lichtbrechung in Prisma weißes Licht wird in Spektralfarben aufgespalten c = c 0 /n c : Phasengeschwindigkeit, c 0 : Lichtgeschwindigkeit im Vakuum n: Brechzahl (Brechungskoeffizient) Stehende Wellen

17 9.2.4 Stehende Wellen Stehende Wellen Stehende Wellen Betrachten: Überlagerung einer Welle mit seiner reflektierten Stehende Welle Schwingung mit ortsabhängiger Amplitude 2y 0 sin (kx) Beispiel:

18 Beispiel: Eingespanntes Seil der Länge L stehende Welle, falls Nebenbedingungen erfüllt sind Da Knoten am Ende mit Abstand l/ Stehende Wellen Mögliche Wellenlängen: Beachte: Nicht jede Welle passt. Nur bestimmte l sind möglich. n = 1 Grundwelle n = 2 1. Oberwelle n = 3 2. Oberwelle Stehende Wellen

19 9.2.4 Stehende Wellen Stehende Wellen

20 9.2.4 Stehende Wellen Stehende Wellen

21 9.2.4 Stehende Wellen Für die Seilwelle gilt (ohne Beweis): Anwendung Gitarre A: Querschnittsfläche ρ: Dichte F: Kraft auf Seil 9.3 Schallwellen