Vorbereitung zur Klausur Elektromagnetische Felder und Wellen

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1 Vorbereitung zur Klausur Elektromagnetische Felder und Wellen 1/50 J. Mähnß Stand: 9. August 2016 c J. Mähnß

2 2/50 Maxwellgleichungen

3 Maxwellgleichungen allgemein 3/50 ( B = µ 0 j V + ε ) E 0 t E = B t E = 1 ϱ V ε 0 B = 0 Kontinuitätsgleichung j V + t ϱ V = 0

4 Polarisier- und magnetisierbare Materie Polarisationsladungsdichte 4/50 ϱ P { r, t} = P { r, t}

5 Polarisier- und magnetisierbare Materie Polarisationsladungsdichte 4/50 ϱ P { r, t} = P { r, t} Magnetisierungsstromdichte j magn { r, t} = M { r, t}

6 Polarisier- und magnetisierbare Materie Polarisationsladungsdichte 4/50 ϱ P { r, t} = P { r, t} Magnetisierungsstromdichte j magn { r, t} = M { r, t} Polarisationsstromdichte j Pol { r, t} = P { r, t} t

7 Gesamtladungsdichte ϱ V { r, t} = ϱ { r, t} P { r, t} 5/50

8 Gesamtladungsdichte ϱ V { r, t} = ϱ { r, t} P { r, t} 5/50 Gesamtstromdichte j V { r, t} = j { r, t} + t P { r, t} + M { r, t}

9 Maxwellgleichungen für polarisierbare und magnetisierbare Materie 6/50 H = t D + j E = t B D = ϱ B = 0 Kontinuitätsgleichung j + t ϱ = 0

10 Materiegleichungen 7/50 D = ε 0 E + P H = 1 µ 0 B M Materialgleichungen für lineare isotrope Materie j ohm D = εε 0 E H = 1 µµ 0 B = σ E

11 Maxwellgleichungen für lineare isotrope leitfähige Materie 8/50 ( ) 1 B µµ 0 = εε 0 t E + σ E + j R E = t B (εε 0 E) = ϱ B = 0

12 Stetigkeitsbedingungen bei endlichen Zeitableitungen n ( H 2 H 1 ) = j S n ( E 2 E 1 ) = 0 9/50 n ( D 2 D 1 ) = ϱ S n ( B 2 B 1 ) = 0 n ( j 2 j 1 ) = t ϱ S

13 Energie 10/50 Energiedichte des elektrischen Feldes w el := 1 2 E D Energiedichte des magnetischen Feldes w magn := 1 2 H B Poyntingvektor S { r, t} := E { r, t} H { r, t}

14 Kontinuitätsgleichung der Energie mit w = w el + w magn w t + S = j E 11/50 Leistungsabgabe (Abstrahlung) aus Volumen P V = S d 2 r S V

15 Homogene Wellengleichung Materie strom- und ladungsfrei: 12/50 Ψ { r, t} n2 2 c 2 t2ψ { r, t} = 0 Ψ {E x, E y, E z, B x, B y, B z }

16 13/50 Ebene Wellen

17 Lösungen der homogenen Wellengleichung 14/50 Monochromatisch mit Kreisfrequenz ω Lösungen der homogenen Wellengleichung Ψ { r, t} = f {±(ωt } k r) = f {±ξ } Ψ + { r, t} = f + {±(ωt + } k r) = f + {±ξ + } Wellenzahlvektor k = (kx, k y, k z ) T = k x e x + k y e y + k z e z

18 Dispersionsrelation k 2 := k k = k 2 = ω 2 µµ 0 εε 0 = ( ) 2 ωn = c 0 ( 2πn λ ) 2 15/50 Lichtgeschwindigkeit c 0 = 1 µ0 ε 0 Brechzahl Wellenlänge n = µε λ = c ν

19 Transversalität E k = 0 und B k = 0 16/50 1 H = k E ωµµ 0 E = 1 H k ωεε 0

20 Wellenwiderstand Z = µµ0 εε 0 = µ0 ε 0 µ µ ε = Z 0 ε 17/50 Amplituden H = 1 kz k E E = Z k H k E = Z H

21 Monochromatische, harmonische ebene Welle E { r, t} = E 0 exp { ( )} i k r ωt 18/50 H { r, t} = H 0 exp { ( )} i k r ωt

22 Monochromatische, harmonische ebene Welle E { r, t} = E 0 exp { ( )} i k r ωt 18/50 H { r, t} = H 0 exp { ( )} i k r ωt Phase Die Phase ist das Argument der exp Funktion: ϕ = ωt k r

23 Phasengeschwindigkeit { } Re k c ph = ω 19/50 Ausbreitung Die Ausbreitung der Welle ist das Fortschreiten der Flächen konstanter Phase.

24 Beispiel zur Ausbreitung Brechzahl: 1.2 Einfallswinkel: 30 20/50

25 Polarisation ebener Wellen 21/50 Polarisation einer Welle = Figur, die der Realteil des elektrischen Feldstärkevektors an einem festen Ort bezüglich der Ausbreitungsrichtung beschreibt

26 Beispiel: E { r, t} = (E x, E y, 0) T exp{i(ωt kz)} Lineare Polarisation 22/50 E x /E y R Zirkulare Polarisation E x /E y = exp{±iπ/2} Elliptische Polarisation E x /E y = a exp{iϕ} a 1 ϕ mπ

27 Überlagerung ebener linear polarisierter Wellen 23/50 E 1 E 2 = Ê 1 exp{i(ωt k 1 r)} = Ê 2 exp{i(ωt k 2 r)} mit Ê1 k1 k2 = Ê 2 = E 0 e x = (0, k y, k z ) T = (0, k y, k z ) T E = 2E 0 cos {k y y} exp{i(ωt k z z)} e x

28 Beispiel zur Überlagerung Ê1 = Ê 2 = E 0 e x Brechzahl: 1.2 Einfallswinkel: 30 24/50

29 Beispiel zur Überlagerung Ê1 = E 0 e x, Ê 2 = 0.2E 0 e x Brechzahl: 1.2 Einfallswinkel: 30 25/50

30 Poyntingvektor zeitgemittelt komplex S = 1 2 Re { S0 } S 0 = E H 26/50

31 Poyntingvektor zeitgemittelt komplex S = 1 2 Re { S0 } S 0 = E H 26/50 ebene Welle S 0 = 1 ωµµ 0 E 2 k = 1 ωεε 0 H 2 k Energiedichte zeitgemittelt w = 1 4 εε 0 E µµ 0 H 0 2 = 1 2 εε 0 E 0 2

32 Geschwindigkeit der Energieausbreitung c E = S w 27/50

33 28/50 Reflexion und Brechung

34 Reflexion ebener Wellen 29/50 Ruhende ebene Grenzfläche bei z = 0

35 Wellenzahlen mit k in k tr = ω ε in ε 0 µ in µ 0 = ωn in = n in k 0 = k ref c 0 = ω ε tr ε 0 µ tr µ 0 = ωn tr = n tr k 0 c 0 k = ( n k) n + ( n k) n 30/50

36 Wellenzahlen an der Grenzfläche 31/50 Reflexionsgesetz Einfallswinkel = Ausfallswinkel ( n kref + ) k in = 0 n ( k ref k in ) = 0

37 Wellenzahlen an der Grenzfläche 31/50 Reflexionsgesetz Einfallswinkel = Ausfallswinkel ( n kref + ) k in = 0 n ( k ref k in ) = 0 Snelliusgesetz n ( k tr k in ) = 0

38 Normalkomponente von k tr n k tr = + ktr 2 n k in 2 32/50 Alternative Schreibweisen n k tr = + k0 2n2 tr n k in 2 = + k0 2(n2 tr n 2 in ) + n k in 2 = + ω 2 µ 0 ε 0 µ tr ε tr n k in 2 = + k0 2µ trε tr n k in 2 = + ω 2 µ 0 ε 0 (µ tr ε tr µ in ε in ) + n k in 2 = + k0 2(µ trε tr µ in ε in ) + n k in 2

39 Tangentialvektor Alternative Darstellung von k k = ( n k) n + ( et k) e t 33/50 mit e t = ( n k in ) n n k in

40 TE und TM Wellen 34/50 Unterscheidung des Polarisationszustands bezüglich einer Richtung Beispiel für Richtung n TE: E n = 0 TM: H n = 0

41 Lateralvektor Mit lauten die Felder e l = n e t 35/50 E = E n n + E t e t + E l e l H = H n n + H t e t + H l e l

42 Lateralvektor Mit lauten die Felder e l = n e t 35/50 E = E n n + E t e t + E l e l H = H n n + H t e t + H l e l Damit E TE H TM = ( e l E) e l = E TE e l = ( e l H) e l = H TM e l

43 TE bezüglich n E = E l e l H = H n n + H t e t 1 [ = E TE ( e t ωµµ k) n ( n ] k) e t 0 36/50

44 TM bezüglich n H = H l e l E = E n n + E t e t 1 [ = H TM ( e t ωεε k) n + ( n ] k) e t 0 37/50

45 Reflexion und Brechung Reflexion von TE Wellen r TE = t TE = ( Eref E in ( Etr E in ) ) TE TE = ( kin ) n k tr µ in µ tr ( kin n + ) k tr µ in µ tr = 1 + r TE 38/50

46 Felder bei Reflexion von TE-Wellen E in = E in e l H in = E [ in ( e t ωµ in µ k in ) n ( n ] k in ) e t 0 39/50 E ref = E ref e l = r TE E in e l 1 [ H ref = r TE E in ( e t ωµ in µ k in ) n + ( n ] k in ) e t 0 E tr = E tr e l = t TE E in e l 1 [ H tr = t TE E in ( e t ωµ tr µ k in ) n ( n ] k tr ) e t 0

47 Reflexion von TM-Wellen r TM = H ref H in = ( kin ) n k tr ε in ε tr ( kin n + ) k tr ε in ε tr 40/50 t TM = H tr H in = 1 + r TM

48 Felder bei Reflexion von TM-Wellen H in = H in e l 1 [ E in = H in ( n ωε 0 ε k in ) e t ( e t ] k in ) n in 41/50 H ref = H ref e l = r TM H in e l 1 [ E ref = r TM H in ( n ωε 0 ε k in ) e t ( e t ] k in ) n in H tr = H tr e l = t TM H in e l 1 [ E tr = t TM H in ( n ωε 0 ε k tr ) e t ( e t ] k in ) n tr

49 Beispiel 1 zur Reflexion Brechzahl links: 1.4 Brechzahl rechts: 1.2 Einfallswinkel: 30 42/50

50 Beispiel 2 zur Reflexion Brechzahl links: 1.2 Brechzahl rechts: 2.0 Einfallswinkel: 30 43/50

51 Brewsterwinkel Unmagnetische Medien: für r TM = 0 44/50 tan {θ ib } = n tr /n in = ε tr /ε in

52 Totalreflexion Bedingung n k in k tr 45/50

53 Totalreflexion Bedingung n k in k tr 45/50 Resultat ( ) Eref r TE = = e i 2ψ TE E in TE tan{ψ TE } = µ n 2 in in sin2 {θ in } n 2 tr µ tr n in cos {θ in } ( ) Eref r TM = = e i 2ψ TM E in TM tan{ψ TM } = ε n 2 in in sin2 {θ in } n 2 tr ε tr n in cos {θ in } = ε inµ tr ε tr µ in tan{ψ TE } = Z2 tr Z 2 in tan{ψ TE }

54 Beispiel zur Totalreflexion Brechzahl links: 1.4 Brechzahl rechts: 1.2 Einfallswinkel: 60 46/50

55 Intensität Intensitätsreflektionsfaktor mit R = n S ref n S in R TE = r TE 2 R TM = r TM 2 47/50

56 Intensitätstransmissionsfaktor T TE = T TM = Re Re Re Re { } ktr n µ tr { kin n µ in { } ktr n ε tr { kin n ε in T = n S tr n S in } E tr 2 E in 2 = } H tr 2 H in 2. Re Re { } ktr n µ tr { } t TE 2 kin n µ in 48/50

57 Viel Erfolg bei der Klausur! 49/50

58 50/50 Fragen?