Experimentalphysik 2

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1 Ferienkurs Experimentalphysik 2 Sommer 2014 Vorlesung 4 Thema: Elektromagnetische Schwingungen, elektromagnetische Wellen und Spezielle Relativitätstheorie Technische Universität München 1 Fakultät für Physik

2 Inhaltsverzeichnis 6 Magnetostatik II Magnetische Dipole Materie im Magnetfeld Elektromagnetische Wellen Die Wellengleichung Ebene Wellen Periodische Wellen Polarisation elektromagnetischer Wellen Das Magnetfeld elektromagnetischer Wellen Energie- und Impulstransport durch elektromagnetische Wellen Stehende elektromagnetische Welle Spezielle Relativitätstheorie Galilei- Transformation Lorentz-Transformation Relativistischer Impuls und Energie Technische Universität München 2 Fakultät für Physik

3 6 Magnetostatik II 6.1 Magnetische Dipole Das magnetische Dipolmoment ist definiert als: µ = I A (1) Die Richtung des Flächennormalenvektor A ist so bestimmt, dass er mit der Umlaufrichung des Stroms I eine Rechtsschraube bildet: µ A A I Wird solch eine stromdurchflossene Leiterschleife in ein äußeres Magnetfeld eingebracht, so bewirkt die Lorentzkraft ein Drehmoment auf den Dipol. Für eine rechteckige Leiterschleife mit der Fläche A = a b: C I ê a a b B B F L F L C I ê a Die Lorentzkraft, die auf die Leiterstücke a wirkt ist: F 1 = a I (ê a B) und F 2 = F 1 (2) Technische Universität München 3 Fakultät für Physik

4 Somit ergibt sich für das Drehmoment D = r F: D = b ( ) b ) ˆe b F 1 (êb F = b (ê ) b F 1 = I a b (ê b ê a ) B (3) = }{{} I A B = µ = µ B Das Drehmoment auf einen magnetischen Dipol ist also: D = µ B (4) Der Dipol richtet sich aus bis µ B. Analog zur potentiellen Energie des elektrischen Dipols (E el pot = p E) wird die potentielle Energie des magnetischen Dipols definiert: E mag pot = µ B (5) Die resultierende Kraft auf einen magnetischen Dipol im homogenen Magnetfeld ist null und im inhomogenen ist sie: F = ( µ ) B (6) 6.2 Materie im Magnetfeld Atomare magnetische Momente: Ein Teilchen mit der Masse m und Ladung q, welches mit einer Geschwindigkeit v einen Kreis mit dem Radius R umläuft, stellt einen Kreisstrom dar: L e I = q v A = q v (7) 2πR Das magnetische Moment dieses Kreisstromes ist dann: µ = q v A = 1 2 q R2 ω (8) µ = e 2m L Technische Universität München 4 Fakultät für Physik

5 Mit dem Drehimpuls L = m ( R v ) = m R 2 ω ergibt sich für das magnetische Moment eines umlaufenden Teilchens: µ = q 2m L (9) Anmerkung: In der Quantenmechanik ist der Drehimpuls quantisiert: L = l µ = l e 2m e = l µ B (10) Magnetisierung und magnetische Suszeptibilität: Das Magnetfeld wird auch häufig durch die magnetische Erregung charakterisiert: H = 1 µ 0 B (11) Im Magnetfeld tritt eine magnetische Polarisierung der Materie auf. Sie entsteht durch atomare magnetische Momente µ, die entweder durch das äußere magnetische Feld B a erzeugt werden oder durch B a ausgerichtet werden. Makroskopisch wird dies durch die Magnetisierung beschrieben: M = 1 µ (12) V Die Einheit der Magnetisierung ist: [M] = 1 A m 1. Für die magnetische Feldstärke in Materie ergibt sich: V B = µ 0 ( H 0 + M ) = µ 0 µ H 0 (13) µ ist eine dimensionslose Materialkonstante und heißt relative Permeabilität. Experimentell ergibt sich, dass bei nicht zu großen Feldstärken M proportional zu H: M = χ m H 0 (14) Der Proportionalitätsfaktor χ m heißt magnetische Suszeptibilität. Aus den Gleichungen (13) und (14) ergibt sich ein Zusammenhang zwischen der relativen Permeabilität und der magnetischen Suszeptibilität: µ = 1 + χ m (15) Stoffe werden hinsichtlich ihres magnetischen Verhaltens in verschiedene Klassen unterteilt: Diamagnetismus: χ m < 0 mit χ m 1 Paramagnetismus: χ m > 0 mit χ m 1 Ferromagnetismus: χ m > 0 mit χ m 1 Technische Universität München 5 Fakultät für Physik

6 Diamagnetismus: kein permanentes magnetisches Dipolmoment Entstehung von induzierten Dipolen, welche dem äußeren Feld entgegengerichtet sind Der diamagnetische Körper wird in Bereichen großer Feldstärke aus dem Magnetfeld herausgedrängt Paramagnetismus: Paramagnetische Stoffe besitzen permanente magnetische Dipole Ohne externes Feld ist die Orientierung der magnetischen Dipole wegen der thermischen Bewegung über alle Raumrichtungen verteilt M = V µ = 0 Im äußeren Feld richten sich die Dipole teilweise aus Der Grad der Ausrichtung ist von der Temperatur und dem Feld abhängig. Für B k T gilt: µ B M = N µ 3 k T ê B (16) Daher gilt für die Suszeptibilität (Curie-Gesetz): χ m = µ 0 M B = µ 0 Nµ 2 3 k T = C T (17) Ferromagnetismus: Mikroskopisch befinden sich in ferromagnetischen Stoffen in hoher Dichte ungepaarte Elektronen Diese unterliegen einer Wechselwirkung, wodurch sich makroskopische permanente Dipole ausbilden: Weiß sche Bezirke Die Magnetisierung eines ferromagnetischen Stoffes in Abhängigkeit vom äußeren Magnetfeld folgt keiner eindeutigen Funktion M(B a ) Hysterese-Kurve: Abbildung 1: Hysterese-Kurve der Magnetisierung M om Abhängigkeit vom äußeren Feld B. Technische Universität München 6 Fakultät für Physik

7 Beim Durchlaufen der Hysterese-Kurve wird Energie zum Ausrichten der Dipole benötigt: W mag = 1 2 B H V (18) Die Fläche innerhalb der Hysterese Kurve entspricht der Energie, die pro Umlauf dissipiert wird Die Temperaturabhängigkeit des Ferromagnetismus wird durch das Curie-Weiß-Gesetz beschrieben: C χ m (T) = (19) T T C Technische Universität München 7 Fakultät für Physik

8 7 Elektromagnetische Wellen 7.1 Die Wellengleichung Ausgangspunkt sind die Maxwellgleichungen: E = B t und B = ɛ 0 µ 0 E t (20) Die Anwendung der Rotation auf beiden Seiten und unter Verwendung von B aus (20) ergibt: Weiterhin gilt: E = B t = ɛµ 0 2 E t 2 (21) E = ( E) E (22) }{{} =0 Hieraus folgt eine Wellengleichung, welche die Ausbreitung eines zeitlich veränderlichen Feldes im Vakuum beschreibt: E = ɛµ 0 2 E t 2 (23) Analog ergibt sich eine Wellengleichung für das magnetische Feld bei Anwendung der Rotation auf B: B = ɛµ 0 2 B t 2 (24) 7.2 Ebene Wellen Einfache Lösung der Wellengleichung, wenn E nur von einer Koordinate z.b. z abhängt. Dann gilt: E x = E y = 0 (25) D.h. Vektor E hat auf einer Ebene z = z 0 =const zu einem festen Zeitpunkt t 0 überall den gleichen Wert und die gleiche Richtung. Dadurch vereinfacht sich die Gleichung (23) zu: 2 E z 2 1 c 2 2 E t 2 (26) Im Ladungsfreien Vakuum: E = 0 Nur Komponenten in x und y. Die Lösung der Gleichung sind dann transversale Wellen, da der elektrische Feldvektor senkrecht auf der Ausbreitungsrichtung steht. Technische Universität München 8 Fakultät für Physik

9 7.3 Periodische Wellen Ein wichtiger Spezialfall sind elektromagnetische Wellen, die periodisch sind. Sie sind periodisch im Ort z und in der Zeit t. Die Lösung der Wellengleichung lautet in diesem Fall: E == E 0 sin(kz ωt + ϕ 0 ) (27) Hierbei ist der Wellenvektor k = 2π 2π λ und ω = T. Die Lösung kann auch in komplexer Schreibweise angegeben werden: E = A 0 e i( k r ωt) (28) 7.4 Polarisation elektromagnetischer Wellen Die Polarisation einer elektromagnetischen Welle ist durch die Richtung des elektrischen Feldvektors E definiert. Es gibt drei Arten der Polarisation, die im folgenden erläutert werden. Linear polarisierte Wellen: Zeigt der Vektor E 0 einer Welle E = E 0 cos(ωt kz) immer in die gleiche Richtung senkrecht zur Ausbreitungsrichtung z, d.h. E 0 = E 0x ê x + E 0y ê y (29) so heißt die Welle linear polarisiert. Die Komponenten schwingen in Phase. E x = E 0x cos(ωt kz) und E y = E 0y cos(ωt kz) (30) Zirkular polarisierte Welle: Sind die Beträge E 0x und E 0y gleich und ist ihre Phase um 90 gegeneinander verschoben, so spricht man von zirkular polarisierten Wellen: E x = E 0x cos(ωt kz) und E y = E 0y cos(ωt kz π 2 ) = E y = E 0y sin(ωt kz) (31) Die Spitze des Vektors beschreibt einen Kreis in der xy-ebene und E eine Kreisspirale in Ausbreitungsrichtung. Elliptisch polarisierte Wellen: Wenn E 0x E 0y oder ist die Phasenverschiebung zwischen den Komponenten nicht 90, so beschreibt der Vektor E eine elliptische Spirale. Diese Wellen heißen elliptisch polarisiert. Technische Universität München 9 Fakultät für Physik

10 7.5 Das Magnetfeld elektromagnetischer Wellen Gegeben sei eine linear polarisierte Welle in x-richtung: E = E 0 ê x e i(ωt kz) (32) Unter Verwendung von E = B t sich folgende Relation ergibt: kann das magnetische Feld berechnet werden, wodurch B = 1 ω ( k E) (33) d.h. elektrische und elektrischer und magnetischer Feldvektor stehen senkrecht aufeinander und beide stehen senkrecht auf der Ausbreitungsrichtung k. 7.6 Energie- und Impulstransport durch elektromagnetische Wellen Die Energiedichte des elektromagnetischen Feldes ist: w em = ɛ 0 E 2 (34) Die Intensität ist die Energie, die pro Zeit durch die Flächeneinheit senkrecht zu k transportiert wird: I = c ɛ 0 E 2 (35) Für den Poynting Vektor (??) ergibt sich folgender Zusammenhang: Weiterhin definiert man die Impulsdichte: S (t) = cɛ 0 E 2 (t) = I(t) (36) S π = c = ɛ 2 0E B π = ɛ 0 EB = I c = w em 2 c (37) 7.7 Stehende elektromagnetische Welle Diese können durch phasenrichtige Überlagerung mehrerer, in verschiedene Richtung laufender Wellen gleicher Frequenz ω erzeugt werden. Eindimensionale entstehen durch Reflexion einer ebenen Welle, die senkrecht auf eine leitende Ebene fällt. Beispiel: Ebene linear polarisierte Welle E = E 0x cos(ωt kz) mit E = (E x, 0, 0) B = (0, B y, 0). Am Ort z = 0 befindet sich die leitende Oberfläche. Stetigkeit von einfallender Welle E i und reflektierter Welle E r : Die Überlagerung der Wellen gibt dann: stehende Welle E(z = 0) = E 0i + E 0r = 0 E 0i = E 0r (38) E(z, t) = E 0i cos(ωt kz) + E 0r cos(ωt + kz) = 2 E 0 sin(kz) sin(ωt) (39) Technische Universität München 10 Fakultät für Physik

11 8 Spezielle Relativitätstheorie 8.1 Galilei- Transformation z z Relativgeschwindigkeit: u e x S S y y x x Zwischen den in zwei Intertialsystemen S und S, die sich mit einer konstanten Geschwindigkeit u gegeneinander bewegen, gemessenen Größen für die Bewegung eines Massenpunktes A gilt die Galilei- Transformation: r = r + ut v = v + u u a = a (40) t = t Lichtgeschwindigkeit nicht konstant! Das Michelson Experiment ergab das Ergebnis, dass die Lichtgeschwindigkeit unabhängig von der Relativgeschwindigkeit ist. Einsteinsche Prinzipien: Relativitätsprinzip: Die Naturgesetze nehmen in allen Inertialsystemen die gleiche Form an Konstanz der Lichtgeschwindigkeit: Die Lichtgeschwindigkeit hängt nicht von der Bewegung der Quelle oder des Empfängers ab 8.2 Lorentz-Transformation Koordinatentransformation, bei der die Lichtgeschwindigkeit konstant bleibt. Mit dieser Bedingung erhält man die Lorentz-Transformation: x x vt =, y = y, z = z 1 v2 /c 2 t = Einführung der Abkürzungen: γ = 1 1 v 2 /c 2 und β = v c. t vx/t 1 v2 /c 2 (41) Technische Universität München 11 Fakultät für Physik

12 Längenkontraktion: Die Längenänderung aus der Lorentz-Transformation ergibt: L = γl L < L (42) Zeitdilatation: Für die Zeit im bewegten Bezugssystem gilt: T = γt T < T (43) Addition von Geschwindigkeiten: Die Relativgeschwindigkeit zwischen S und S sei v. Die Geschwindigkeiten in S gilt dann: u x = u x v ((1 v c 2 u x ) und u y = u y v (1 v c 2 u x ) (44) 8.3 Relativistischer Impuls und Energie Der Impuls ist wie folgt definiert: p = m v 1 v2 c 2 (45) Weiterhin nimmt die Masse eines bewegten Teilchens nimmt mit der Geschwindigkeit zu. Es gilt: m 0 m(v) = (46) 1 v2 c 2 Somit gilt für die Kraft: F = d p dt = d dt Die Relativistische kinetische Energie ist: Demnach ist die Gesamtenergie: Weiterhin gilt zwischen Impuls und Energie eine Beziehung: m v 1 v2 c 2 (47) E rel kin = m 0c 2 (γ 1) (48) E = E kin + m 0 c 2 = m 0 γc 2 (49) E 2 p 2 c 2 = m 2 0 c4 (50) Technische Universität München 12 Fakultät für Physik