Ferienkurs Elektrodynamik WS11/12 - Elektrodynamik und spezielle Relativitätstheorie

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1 Ferienkurs Elektrodynamik WS11/1 - Elektrodynamik und spezielle Relativitätstheorie Isabell Groß, Martin Ibrügger, Markus Krottenmüller. März 01 TU München Inhaltsverzeichnis 1 Minkowski-Raum und Lorentz-Transformation Newton sche Mechanik und Galileo-Transformation Das Einstein sche Relativitätsprinzip Der Minkowski-Raum Lorentz-Transformation Lorentz-Kontraktion und Zeit-Dilatation Vierergeschwindigkeit und -impuls Kovariante Differentialoperatoren Mathematische Eigenschaften der Lorentz-Transformation kovariante Formulierung der Elektrodynamik 3.1 Kontinuitäts- und Wellengleichung Der Feldtensor und Maxwell-Gleichungen Lorentz-Transformation elektromagnetischer Felder geladene Teilchen im elektromagnetischen Feld

2 Elektrodynamik 1 MINKOWSKI-RAUM UND LORENTZ-TRANSFORMATION 1 Minkowski-Raum und Lorentz-Transformation 1.1 Newton sche Mechanik und Galileo-Transformation In der Newton schen Mechanik sind Raum und Zeit absolut. Der Abstand zweier Punkte berechnet sich durch s = r 1 r. Zwischen zwei Inertialsystemen, die sich relativ mit der Geschwindigkeit V bewegen, wechselt man mithilfe der Galileo-Transformation: v = v V ; r = r Vt Die Transformation des Impuls und der Energie erhält man indem man sie durch v ausdrückt. Die Newton schen Bewegungsgleichungen sind invariant unter der Galileo-Transformation. 1. Das Einstein sche Relativitätsprinzip Es gibt nur eine absolute Maximalgeschwindigkeit für die Ausbreitung von Signalen/Wirkungen, die Lichtgeschwindigkeit: c = m. Sie ist in allen Inertialsystemen gleich. Dadurch s verliert der Raum und die Zeit ihren absoluten Charakter. 1.3 Der Minkowski-Raum Ein Ereignis wird durch einen Vierervektor (t, r) beschrieben, sie spannen den Minkowski-Raum auf. Es gibt die kontravariante Darstellung x µ = (x 0, x) und die kovariante Darstellung x µ = (x 0, x). Im folgenden wird die Einstein sche Summenkonvention benutzt. Das Skalarprodukt ist ab = a µ b µ. Der Abstand wird durch den metrischen Tensor induziert: g µν = g µν = s = x µ x ν g µν = (x 0 ) (x 1 ) (x ) (x 3 ) Außerdem gilt: x µ = g µν x ν Ereignisse mit s < 0 heißen zeitartig, s > 0 raumartig und s = 0 lichtartig. 1.4 Lorentz-Transformation Die Galilei-Transformation lässt die Geschwindigkeit offensichtlich nicht konstant. Gesucht wird eine Transformation, die den Abstand s invariant lässt. Diese ist durch die Lorentz- Transformation Λ(V) gegeben. Hier bewegt sich zum Besispiel Koordinatensystem K relativ zu K mit Geschwindigkeit V in x 1 -Richtung (Lorentz-Boost): coshα sinhα 0 0 γ βγ 0 0 sinhα coshα 0 0 βγ γ 0 0 Λ(V) = =

3 Elektrodynamik 1 MINKOWSKI-RAUM UND LORENTZ-TRANSFORMATION mit β = V c und γ = ( ) 1. Also: x = Λ(V)x explizit: ct = ct +βx, x = x +βct Die Galilei-Transformation ergibt sich als Grenzfall für β Lorentz-Kontraktion und Zeit-Dilatation Dass durch die Lorentz-Transformation der Raum seinen absoluten charakter verliert, wird durch die Lorentz-Kontraktion deutlich. Demnach verändert sich der räumliche Abstand l = x 1 1 x 1 bei einem Boost in x 1 -Richtung zu: l = l = l γ Auch die Zeit verliert ihren absoluten Charakter. Diesen Effekt bezeichnet man als Zeitdilatation. Dabei bezeichnet τ = t 1 t die Eigenzeit, das ist die Zeitspanne zwischen zwei Ereignissen, die ein Beobachter misst, der im bewegten System K ruht. Somit ergibt sich für die Zeitspanne t = t 1 t in einem anderen Bezugssystem: t = τ = γ τ 1.6 Vierergeschwindigkeit und -impuls Die Bahnkurve im Minkowski-Raum wird mit der Eigenzeit parametrisiert. Dadurch kann man analog zur Newton schen Mechanik eine Geschwindigkeit definieren. Diese ist jetzt wieder ein Vierervektor, die Vierergeschwindigkeit: u µ = dxµ dτ = xµ dt dt dτ = γ(c, v) Es gilt: u = u µ u µ = γ (c v ) = c Aus der Vierergeschwindigkeit kann man nun wieder einen Impuls, den Viererimpuls definieren, der damit auch automatisch ein Vierervektor ist: p µ = m 0 u µ = (p 0 m 0 c, p) = (, m 0 v ) = (E c, p) Mit p = p µ p µ = E c p = m c folgt die die relativistische Energie-Impuls-Beziehung: E = m c 4 + p c

4 Elektrodynamik KOVARIANTE FORMULIERUNG DER ELEKTRODYNAMIK 1.7 Kovariante Differentialoperatoren Die kovarianten Differentialoperatoren lauten: Gradient : µ = x = (1 µ c t, ) µ = = ( 1 x µ c t, ) d AlembertOperator : = µ µ = 1 c t (Lorentz Invariante) Divergenz : µ a µ (x) = 1 a 0 c t + a(x) (Lorentz Invariante) 1.8 Mathematische Eigenschaften der Lorentz-Transformation Die Lorentz-Gruppe SO(1,3) besteht aus allen Matrizen der Form A = SD 1 L V D, mit S Spiegelung, D Drehung und L V Lorentz-Boosts mit Geschwindigkeit V. Die Determinante einer Lorentz-Transformation hat immer den Betrag 1. Solche mit det A = 1 heißen eigentliche Lorentz-Transformationen, solche mit det A = 1 uneigentliche. Kommt zu einer Matrix aus der Lorentz-Gruppe noch eine Translation im Minkowski-Raum um einen konstanten Vektor, so spricht man von der Poincaré-Gruppe O(1,3). kovariante Formulierung der Elektrodynamik.1 Kontinuitäts- und Wellengleichung Durch die Benutzung der kovarianten Differentialoperatoren und der Vierer-StromdichteJ µ (x) = (cρ(x), j(x)), nimmt die Kontinuitätsgleichung eine einfache Form an: µ J µ (x) = 0 Weiterhin kann man durch Einführung des Vierer-Potentials A µ = (cφ(x), A(x)) die inhomogenen Wellengleichungen ausdrücken durch: A µ (x) = 4π c Jµ (x) mit der Lorentz-Eichung µ A µ (x) = 0. Der Feldtensor und Maxwell-Gleichungen Der nächste Schritt ist die Einführung des elektromagnetischen Feldtensors: 0 E x E y E z F µν (x) = µ A ν (x) ν A µ (x) = E x 0 B z B y E y B z 0 B x E z B y B x 0 3

5 Elektrodynamik KOVARIANTE FORMULIERUNG DER ELEKTRODYNAMIK Damit vereinfachen sich die inhomogenen Maxwell-Gleichungen zu: F µν (x) = 4π c Jν (x) Den Dualen Feldtensor F µν erhält man durch die Formale Ersetzung E B, B E. Damit werden die homogenen Maxwell-Gleichungen dargestellt: µ Fµν = 0 Drückt man den Feldtensor aber wie vorhin definiert durch das Vierer-Potential aus, sind die homogenen Maxwell-Gleichungen wegen der Jacobi-Identität automatisch erfüllt. Invariant unter Lorentz-Transformation sind: F µν F µν = ( B E ) F µν Fµν = 4 E B.3 Lorentz-Transformation elektromagnetischer Felder Die Lorentz-Transformation lässt die Bewegungsgleichungen des elektromagnetischen Feldes(siehe nächstes Kapitel) invariant. Daraus ergeben sich die Transformationen der Felder(Boost in x 1 - Richtung): E 1 = E 1, E = γ(e βb 3 ), E 3 = γ(e 3 +βb ) B 1 = B 1, B = γ(b +βe 3 ), B 3 = γ(b 3 βe ) Für eine allgemeine Lorentz-Transformation gilt: E = γ( E + β B γ γ +1 β( β E)) B = γ( B β E γ γ +1 β( β B)).4 geladene Teilchen im elektromagnetischen Feld Ein geladenes Teilchen erfährt im elektromagnetischen Feld eine Kraft: d p dt = e( E + v c B) Dabei ist die Leistung: de dt = e v E Ausgedrückt durch die Vierer-Geschwindigkeit u µ = γ(c, v) = pµ = ( E, p ) erhält man die m mc m kovariante Form der Bewegungsgleichung: mit dt = γdτ du µ dτ = e mc Fµν u ν 4