Polarisationszustände, Polarisation von Materie

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1 Übung 5 Abgabe: 3.3. bzw Elektromagnetische Felder & Wellen Frühjahrssemester 27 Photonics Laboratory, ETH Zürich Polarisationszustände, Polarisation von Materie Polarisationszustände ebener Wellen (7 Pkt.) In der Vorlesung haben Sie ebene Wellen als Lösungen der quellfreien Wellengleichung kennengelernt. Die Vektornatur der Felder ergibt den Freiheitsgrad der Polarisation einer Welle, der in der Kommunikations- und Messtechnik von unschätzbarem Wert ist. In dieser Aufgaben befassen wir uns mit linearer und zirkularer Polarisation. Wir betrachten dazu hier eine monochromatische, zirkular polarisierte ebene Welle, die wir als Superposition zweier linear polarisierter Wellen schreiben. Bei zirkular polarisierten Feldern beschreibt der elektrische Feldvektor an einem festen Raumpunkt in der Zeit einen Kreis. Wir wählen hier die Konvention, dass wir Felder linkszirkular nennen, deren Feldvektor an einem fixen Raumpunkt in Blickrichtung zur Quelle im Gegenuhrzeigersinn rotiert. Die Zirkularität rechtszirkular polarisierter Felder sei entsprechend entgegengesetzt. Die folgende Aufgabe finde zunächst in einem homogenen Medium mit isotropem Brechnungsindex n statt. (a) (3 Pkt.) Formulieren Sie das reelle elektrische Feld E (r, t) einer in positive z-richtung propagierenden ebenen Welle. Die Welle sei linear in x-richtung polarisiert, habe die Feldamplitude E R und die Phase sei gerade so gewählt, dass das Feld zum Zeitpunkt t = in der Ebene z = maximal ist. Formulieren Sie den Wellenvektor k unter Verwendung von ω, c und n. Das reelle Feld lautet Es gilt für den Wellenvektor k = nω/c(,, ) T. E (r, t) = E cos(kz ωt)n x. () (b) (3 Pkt.) Bestimmen Sie das komplexe elektrische Feld E (r) der Welle aus Teilaufgabe (a). Das komplexe Feld lautet E (r) = E e ikz n x. (2) (c) (3 Pkt.) Ermitteln Sie das reelle elektrische Feld E 2 (r, t) einer in positive z-richtung propagierenden ebenen Welle. Die Welle sei linear in y-richtung polarisiert, habe die Feldamplitude E R und die Phase sei gerade so gewählt, dass das Feld zum Zeitpunkt t = in der Ebene z = π/(2k) gerade maximal ist.

2 Das reelle Feld lautet E 2 (r, t) = E sin(kz ωt)n y. (3) (d) (3 Pkt.) Wie lautet das komplexe elektrische Feld E 2 (r) der Welle aus Teilaufgabe (c)? Wie äussert sich die Phasenverschiebung von π/2 zwischen den reellen Feldern aus den Teilaufgaben (a) und (c) im Vergleich der jeweiligen komplexen Felder? Das komplexe Feld lautet E 2 (r) = ie e ikz n y. (4) Die Phasenverschiebung von π/2 in den reellen Feldern resultiert also in einem komplexen Phasenfaktor i zwischen den komplexen Feldamplituden. (e) (8 Pkt.) Formulieren Sie nun ein weiteres elektrisches Feld E + (r, t), indem Sie die reellen elektrischen Felder aus den Teilaufgaben (a) und (c) superponieren. Erstellen Sie eine Skizze, in der Sie die Trajektorie der Spitze des elektrischen Feldvektors in der Ebene z = als Funktion der Zeit darstellen. Tragen Sie in Ihren Graphen den elektrischen Feldvektor zum Zeitpunkt t = π/(4ω) ein und geben Sie den Winkel an, den der Vektor mit der x-achse einschliesst. Geben Sie die Zirkularität des Feldes an. Das Gesamtfeld lautet cos(kz ωt) E + (r, t) = E sin(kz ωt). (5) In der Ebene z = lautet das Feld cos(ωt) E + (z =, t) = E sin(ωt). (6) Somit beschreibt der elektrische Feldvektor eine Kreisbahn. Zum Zeitpunkt t = π/(4ω) zeigt der Feldvektor im 45 Winkel zwischen x und y Achse und er rotiert bei Blickrichtung gegen die Ausbreitungsrichtung im Uhrzeigersinn. Das Feld ist also rechtszirkular polarisiert. y π/4 E(t) x z 2

3 (f) (3 Pkt.) Bestimmen Sie das komplexe Feld E + (r) des reellen Feldes E + (r, t) aus Teilaufgabe (e). Superposition der Felder aus den Teilaufgaben (b) und (d) ergibt E + (r) = E i e ikz. (7) (g) (3 Pkt.) Überzeugen Sie sich durch explizite Rechnung, dass Ihr Feld E + (r) aus Teilaufgabe (f) die quellfreie Helmholtzgleichung erfüllt. Einsetzen in die Helmholtzgleichung und Ausführen der Ableitungen führt zum gewünschten Ergebnis. (h) (4 Pkt.) Ermitteln Sie das zu Ihrem Ergebnis aus Teilaufgabe (f) gehörende komplexe magnetische Feld B + (r). In welchem Polarisationszustand befindet sich das Magnetfeld? Welche Phasendifferenz haben das elektrische und das magnetische Feld? Aus der Maxwell-Gleichung für ein monochromatisches Feld E(r) = iωb(r) erhalten wir für das Magnetfeld B + (r) = iω E n +(r) = E c i i e ikz. (8) Das Magnetfeld ist zum elektrischen Feld lediglich um π/2 phasenverschoben und trägt noch stets dieselbe Zirkularität, denn es gilt B + (r) = (in/c)e + (r). (i) (3 Pkt.) Formulieren Sie das reelle Magnetfeld B + (r, t). Hinweis: Sie können Ihr Resultat zusammen mit jenem aus Teilaufgabe (e) anhand der Maxwell schen Rotationsgleichungen überprüfen. Wir finden B + (r, t) = n c sin(kz ωt) cos(kz ωt). (9) (j) (4 Pkt.) Fügen Sie Ihrem Graphen aus Teilaufgabe (e) das Feld B(z =, t) hinzu. Tragen Sie den magnetischen Feldvektor zum Zeitpunkt t = π/(4ω) ein und überprüfen Sie die Transversalität der Felder ebener Wellen in Ihrem Graphen. Wir finden in der Ebene z = B(z =, t) = n sin(ωt) cos(ωt). () c 3

4 Transversalität: rechter Winkel y B(t=ω/π/4) π/4 E(t=ω/π/4) x z (k) (8 Pkt.) Formulieren Sie das reelle elektrische Feld E (r, t) mit inverser Zirkularität im Vergleichung zum Feld E + (r, t), bei sonst identischen Parametern. Das Feld E zeige zum Zeitpunkt t = in der Ebene z = in positive x-richtung. Erstellen Sie eine Skizze, in der Sie die Trajektorie der Spitze des elektrischen Feldvektors in der Ebene z = als Funktion der Zeit darstellen. Tragen Sie in Ihren Graphen den elektrischen Feldvektor zum Zeitpunkt t = π/(4ω) ein und geben Sie den Winkel an, den der Vektor mit der x-achse einschliesst. Das zugehörige linkszirkular polarisierte Feld lautet cos(kz ωt) E (r, t) = E sin(kz ωt) () Zum Zeitpunkt t = π/(4ω) lautet das Feld in der Ebene z = cos(π/4) E (z =, t = π/(4ω)) = E sin(π/4) (2) y π/4 E(t=ω/π/4) x z (l) (3 Pkt.) Formulieren Sie das komplexe elektrische Feld E (r). Das komplexe linkszirkular polarisierte Feld lautet E (r) = E i e ikz. (3) 4

5 Wir haben im ersten Teil der Aufgabe ein zirkular polarisiertes Feld aus zwei orthogonal linear polarisierten Feldern mit geeigneter Phasenverschiebung generiert. So wie horizontal und vertikal polarisierte Felder einen Satz von Basisfunktionen bilden, um ein beliebig polarisiertes Feld darzustellen, bilden links- und rechtszirkular polarisierte Felder eine äquivalente Basis. (m) (8 Pkt.) Superponieren Sie die komplexen Felder E + (r) und E (r), um ein komplexes Feld zu formulieren, das linear im 45 Winkel zwischen x und y-achse polarisiert ist, zum Zeitpunkt t = π/(4ω) in der Ebene z = seine Maximalamplitude 2E erreicht. Formulieren Sie das reelle Feld Ihrer Antwort, um ihre Richtigkeit zu überprüfen. Bei Betrachtung unserer Graphen wird klar, dass wir ein x-polarisiertes Feld erhalten, wenn wir die Felder E + und E superponieren. Offenbar müssen wir das linkszirkular polarisierte Feld um die Phase π/2 verschieben, um die gewünschte diagonale Polarisation zu erhalten. Wir finden so E(r) = E e ikz i + i ( i) = E ( i) e ikz = 2E e i(kz π/4) (4) In der Tat erfüllt das zugehörige zeitabhängige Feld E(r, t) die gewünschten Eigenschaften E(r, t) = 2E cos(kz ωt π/4). (5) Die Superposition gegenläufiger ebener Wellen kann zur Ausbildung stehender Wellen führen. Wir untersuchen zum Abschluss dieser Aufgabe zwei interessante Feldverteilungen, die sich durch Superposition gegenläufiger zirkular polarisierter Wellen ergeben. Nehmen Sie hierzu ab sofort an, dass sich alle Wellen im Vakuum ausbreiten. (n) (3 Pkt.) Formulieren Sie die komplexe Feldverteilung, die sich durch Superposition eines in positive z-richtung propagierenden linkszirkular polarisierten Feldes mit einem in negative z-richtung propagierenden rechtszirkular polarisierten Feld ergibt. Zeigen Sie, dass das resultierende Gesamtfeld an jedem Raumpunkt zirkular polarisiert ist. Das komplexe Feld einer in positive z-richtung propagierenden linkszirkular polarisierten Welle lautet E (r) = E i e ikz. (6) Das komplexe Feld einer in negative z-richtung propagierenden rechtszirkular polarisierten Welle lautet E + (r) = E i e ikz. (7) 5

6 Das Gesamtfeld lautet somit E ± (r) = 2E cos(kz) i. (8) (o) (3 Pkt.) Berechnen Sie die Intensität Ihres Feldes aus Teilaufgabe (n) und bestimmen Sie die Periode der Intensitätsverteilung in Einheiten der Wellenlänge λ. Die Intensität lautet I = 2 ε µ E(r) 2 = 4E 2 ε µ cos 2 (kz) und hat eine Periode von λ/2. (p) (5 Pkt.) Formulieren Sie die komplexe Feldverteilung, die sich durch Superposition eines in positive z-richtung propagierenden linkszirkular polarisierten Feldes mit einem in negative z-richtung propagierenden ebenso linkszirkular polarisierten Feld ergibt. Zeigen Sie, dass Ihr Feld lokal linear polarisiert ist und geben Sie die Länge (in Einheiten der Wellenlänge) in z-richtung an, nach der die lineare Polarisation sich um 9 gedreht hat. Das komplexe Feld einer in negative z-richtung propagierenden linkszirkular polarisierten Welle lautet E + (r) = E i e ikz. (9) Das Gesamtfeld lautet somit cos(kz) E ± (r) = 2E sin(kz) (2) und ist lokal linear polarisiert. Die Polarisation dreht sich um 9 nach z = π/(2k) = λ/4. (q) (3 Pkt.) Berechnen Sie die Intensitätsverteilung Ihres Feldes aus Teilaufgabe (p). Welche Periode hat die Intensitätsverteilung? Die Intensität lautet I = 2 ε µ E 2, ist also räumlich konstant. Die Periode ist unendlich. 6

7 2 Polarisierung eines dünnen Films (3 Pkt.) Aus der Vorlesung ist Ihnen bekannt, dass die Reaktion der Materie auf elektromagnetische Felder nur bei sehr niedrigen Frequenzen als lineare Antwort im Zeitraum angenommen werden kann. In dieser Aufgabe betrachten wir die Polarisation eines Materials unter dem Einfluss eines elektromagnetischen Pulses, um uns dispersive Effekte durch frequenzabhängige Materialparameter zu veranschaulichen. Wir betrachten hierzu einen dünnen Film, der von einem elektromagnetischen Puls angeregt werde. Der Film befinde sich in der Ebene z = und sei so dünn, dass es ausreicht, das Feld dort zu betrachten. Das Material des Films sei approximativ durch die lineare elektrische Suszeptibilität χ(ω) = χ e iω/ω (2) mit den Materialkonstanten χ und Ω beschrieben. Das anregende elektrische Feld habe den Zeitverlauf E(z =, t) = E e t2 /t 2, (22) wobei t die Pulsdauer und E die Pulsamplitude bezeichnen. Wir interessieren uns für die zeitliche Abhängigkeit der Polarisierung P(t) des Films. (a) (8 Punkte) Beschreiben Sie in einigen kurzen Sätzen und unter Verwendung von Formeln (ohne diese auszuwerten) zwei mögliche Vorgehensweisen, um im allgemeinen Fall P(t) aus E(z =, t) und χ(ω) zu berechnen. Methode (Zeitbereich): Man Fourier-transformiert χ(ω) in den Zeitbereich, um χ(t) zu erhalten χ(t) = dω χ(ω)e iωt. (23) Der zeitliche Verlauf der Polarisation ist dann durch die Faltung zwischen χ und E gegeben P(t) = ε χ(t t ) E(t ) dt. (24) Methode 2 (Frequenzbereich): Man Fourier-transformiert E(t) in den Frequenzbereich, um Ê(ω) zu erhalten. Ê(ω) = dt E(t)e iωt. (25) 2π Die zeitabhängige Polarisierung P(t) erhält man dann aus der Fouriertransformation von ˆP(ω) = χ(ω)ê(ω) P(t) = ε χ(ω) Ê(ω) e iωt dω. (26) (b) (7 Punkte) Berechnen Sie das Frequenzspektrum Ê(z =, ω) des anregenden elektrischen Feldes aus Gl. (22). Hinweis: Quadratisches Ergänzen sowie das Integral du e au2 = π a sollten hilfreich sein. 7

8 Wir berechnen das Frequenzspektrum des elektrischen Feldes durch die Fouriertransformation Ê(z =, ω) = 2π = E 2π = E 2π E(z =, t) e iωt dt (27) e t2 /t 2 e iωt dt (28) [ ( t dt exp i t )] [ 2 ( ) ] 2 ω ωt exp (29) t 2 2 = E t 2 π e t2 ω2 /4. (3) (c) (7 Punkte) Berechnen Sie nun P(t) für das anregende Feld aus Gl. (22) und die Suszeptibilität aus Gl. (2), und bestimmen Sie die zeitliche Verzögerung zwischen der Polarisierung und dem elektrischen Feld. Hinweis: Beachten Sie den Hinweis aus Teilaufgabe (b). Wir verwenden Methode 2 von oben, um auf die Polarisierung zu schliessen P(t) = ε χ(ω) Ê(z =, ω) e iωt dω (3) = ε t χ 2 π E = ε t χ 2 π E e t2 ω2 /4 e iω(t /Ω ) dω (32) [ ( )] ( ) e t ω i t t Ω e t 2 t Ω (33) = ε χ E e (t /Ω ) 2 /t 2. (34) Die Polarisierung ist somit um τ = /Ω gegenüber dem elektrischen Feld verzögert. (d) (3 Punkte) Sie haben soeben festgestellt, dass die Suszeptibilität aus Gl. (2) zu einer zeitlichen Verzögerung der Polarisierung relativ zum anregenden Feld führt. Verwenden Sie die Suszeptibilität χ(ω) = χ e iω/ω e ω2 τ 2 /4 (35) mit der materialspezifischen Konstante τ, um die daraus resultierende Polarisierung unter dem elektrischen Feld aus Gl. (22) zu berechnen. Welchen Einfluss hat der Parameter τ auf den Polarisierungspuls? Wir erhalten durch analoge Rechnung die Polarisierung t P(t) = ε χ E e (t /Ω ) 2 /(t 2 τ 2 + t 2 +τ 2). (36) Der Parameter τ verursacht eine Pulsverbreiterung von t auf t 2 + τ 2. 8

9 (e) (5 Pkt.) Erstellen Sie einen Graphen der zeitabhängigen Polarisierung für den Fall τ = t = /(2Ω ). Tragen Sie auf der Abszisse die normierte Zeit tω auf und auf der Ordinate die normierte Polarisierung P /( ε χ E ). Beschriften Sie Ihre Achsen. Skizzieren Sie zusätzlich den Puls im Fall τ =, t = /(2Ω ). Beschriften Sie quantitativ die normierte Polarisierung zum Zeitpunkt t = für beide Pulse. Beschriften Sie quantitativ den Zeitpunkt beider Pulsmaxima. Beschriftung x-achse mit tω, Beschriftung y-achse mit P/(ε χ E ), Gauss sche Form der Pulse, in positive x-richtung versetzte Pulse, Beschriftung, auf x-achse, Beschriftung Schnittpunkte mit y-achse. τ= τ=/(2ω ) P/( χ E ) e -2 /sqrt(2) /e 4 tω 9