11 Elektromagnetische Schwingungen und Wellen

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1 16 11 Elektromagnetische Schwingungen und Wellen 11.1 Elektromagnetischer Schwingkreis Ein elektromagnetischer Schwingkreis besteht aus einer Induktivität L und einem Kondensator C (LC-Kreis) Lädt man den Kondensator auf und schaltet die äußere Quelle dann ab, so fließt durch die Spule durch die Spule der Entladestrom I 0. Dieser zeitlich veränderliche Strom führt zu einem veränderlichen B-Feld, das eine Spannung induziert, die den Strom nach Entladen des Kondensators in die gleiche Richtung weitertreibt, so dass sich der Kondensator mit der entgegengesetzten Polung wieder auflädt. Treten keine Verluste auf (R= 0) dann ist die Ladungsmenge gleich groß wie am Anfang. Anschließend findet der Vorgang in entgegengesetzter Richtung statt. Da im Schaltkreis immer Verluste durch ohmschen Widerstand auftreten, tritt in einem solchen Schwingkreis immer eine gedämpfte Schwingung auf, d.h. R + L sind parallel zu C geschaltet. Man kann allerdings den Energieverlust durch eine geeignete Schaltung ausgleichen, die die Energie synchronisiert zuführt (vgl. Staudt ). Die mathematische Beschreibung ist analog zur mechanischen Schwingung einer Masse m.

2 163 Analogien: pot. E. m E pot = 1 kx el. Energie geladener Kondensators E el = Q CU = QU = C kin.e. m Reibung 1 v m magnet. Energie durch das in Spule erzeugte B-Feld E 1 m = LI ohmscher Widerstand m L x Q I v 1 k C R R (Reibung entspricht ohmschemwiderstand) Kirchhoffsche Maschenregel: Q di L = RI C dt dq Mit I = ergibt sich die homogene DGL. Ordnung dt L = d I di 1 R dt dt C + + I = 0 Lösung: I(t) = I 0 e -βt cos (ωt + ϕ) I 0 : Amplitude des Stroms zu Beginn der Schwingung β : Dämpfungskostante β = R L 1 R ω: Kreisfrequenz ω= = ω β LC 4L ω 0 : Eigen-/Resonanzfrequenz 0 Legt man an den Schwingkreis eine äußere Wechselspannung U = U 0 cos ωt an, so tritt dort (nach einem Einschwingvorgang) eine erzwungene Schwingung des Stroms mit der Frequenz ω auf.

3 164 Für die Stromamplitude gilt U 0 I0 = 1 ωl + R ωc Die Phasenverschiebung ϕ zwischen Strom und Spannung ist tan ϕ = 1 ωl ωc R. Wie in der Mechanik tritt bei ω 0 ein Maximum, eine Resonanz auf, die Phasenverschiebung ist dort gerade null. Für ω < ω 0 eilt der Strom der Spannung voraus (ϕ -90 ), für ω > ω 0 die Spannung dem Strom (ϕ + 90 )

4 Gekoppelte Schwingkreise induktiv gekoppelte LC-Kreise verhalten sich analog zu gekoppelten Federn/Pendeln. Wie in der Mechanik erhält man eine Schwebung. Lädt man den Kondensator des 1. Kreises auf, fängt dieser an zu schwingen. Über die Kopplung fängt der. Kreis an zu schwingen, wodurch dem 1. Kreis Energie entzogen wird, bis nur noch der. Kreis schwingt, dann kehrt sich der Vorgang um. Man erhält Schwebungen nur bei zwei nahe beieinander liegenden Eigenfrequenzen. Wie bei den Federn sind diese dadurch charakterisiert, dass in einem Fall die Systeme (Mechanik: Masse; hier: Ströme) in Phase (ϕ = 0 ) bzw. gerade in Gegenphase (ϕ =180 ) oszillieren. Die Schwebefrequenz ist wieder ω s = ω II - ω I

5 Offener Schwingkreis: Hertzscher Dipol, elektromagnetische Wellen Ein gerader Draht kann als offener Schwingkreis angesehen werden, wenn in ihm Ladungen von einem zum anderen Ende oszillieren (Hertzscher Dipol) Der Hauptunterschied zwischen geschlossenem und offenen Schwingkreis liegt im elektromagnetischen Feld. Im geschlossenen Kreis ist das elektrische Feld überwiegend auf das Innere des Kondensators konzentriert, das magnetische Feld auf das Innere der Spule. Beim offenen System reichen beide weit in den Raum hinein. Ändern sich Strom- und Ladungsdichte zeitlich, ändern sich die Felder. Man kann die Ladungen im Leiter dadurch oszillieren lassen, dass man ihn induktiv an einem Sender ankoppelt, dessen Frequenz ν so gewählt sein muss, dass sich gerade stehende Ladungswellen ausbilden können. Die Länge muss also x λ sein mit λ=c/ν. An den Drahtenden muss die Stromstärke null sein. Man stellt fest, dass sich E - und B- Feld im Nahfeld (direkt beim Dipol) anders verhalten als im Fernfeld.

6 167 Nahfeld: räumliche und zeitliche Phasenverschiebung von Strom und Spannung sind λ/4 bzw. T/4 E und B- Feld sind 90 phasenverschoben E- und B Feld stehen senkrecht aufeinander Nach dem Anregen fließt ein sich ändernder Strom, der von einem sich ändernden B-Feld umgeben ist. Dieses induziert an den Enden eine Spannung, in deren E-Feld die Ladung beschleunigt wird.... Amperesches Durchflutungsgesetz Bds= µ 0I + Faradaysches Induktionsgesetz Fernfeld: d Ed s = dt Das Fernfeldverhalten versteht man nur, wenn man das Amperesche Durchflutungsgesetz um einen Term erweitert, der besagt, dass ein sich zeitlich änderndes E-Feld von einem B-Feld umgeben ist (siehe Lehrbücher). 1 d Bds= µ 0I + EdA c dt Bd A Der. Term heißt Maxwellscher Verschiebestrom. Hat man also ein zeitlich variables B-Feld vorliegen, ist dieses von einem ebenfalls zeitlich veränderlichen E-Feld umgeben, das wiederum von einem zeitlich veränderlichen B-Feld umgeben ist... Man erhält eine sich ausbreitende Verkettung von E- und B-Feldern, die durch Wellengleichungen beschrieben werden elektromagnetische Welle.

7 168 E 1 E = ; x c t B 1 B = x c t Lösung: ebene, harmonische Wellen E = E 0 sin ( kx ± ω t) B = B 0 sin ( kx ± ω t) π k =,ω = πν = π / T λ E und B-Feld sind im Fernfeld in Phase Nahfeld E und B-Feld stehen wie im Nahfeld senkrecht aufeinander. E, B-Feld und Ausbreitungsrichtung bilden in dieser Reihenfolge eine Rechtsschraube. Ausbreitungsgeschwindigkeit im Vakuum 1 v 0 = = ν λ0 ε µ 0 0 λ 0 : Wellenlänge im Vakuum Ausbreitungsgeschwindigkeit im Medium 1 c c v= = = νλ = εεµµ n r 0 r 0 εµ r r n= εµ r r heißt Brechungsindex und ist materialabhängig s. später

8 169 Die Energie der elektromagnetischen Welle ist W = W el + W mag = ε0e + B = ε 0 µ E (da beide Anteile gleich groß sind) 0 1 E = εµ B = c B 0 0 Man definiert die Energiestromdichte oder Intensität I: 1 I = ε0 c E = ε0c EB = EB µ Poyntingvektor S: 0 S = 1 E B µ 0 zeigt in Ausbreitungsrichtung, der Betrag gibt die Intensität an. Zusammenfassung Nahfeld/Fernfeld:

9 170 Wichtig: Auch schwingende molekulare Dipole sind Hertzsche Dipole, die elektrisch magnetische Wellen empfangen und senden können! Abstrahlcharakteristik Man findet I sin ϑ, d.h. ein Toroid um den Dipol In Dipolrichtung findet keine Abstrahlung statt. Die meiste Intensität findet man senkrecht zum Dipol. Da es sich um eine Art der Energieausbreitung handelt, wird die Strahlung mit zunehmendem Abstand gedämpft. Wie mechanische Wellen können auch elektro-magnetische Wellen reflektiert werden, besonders gut an metallischen Wänden. Dort muss die Randbedingung E = 0 erfüllt sein, so dass die Amplitude des E-Feldes ihr Vorzeichen wechseln muss (Phasensprung = π). Dadurch kompensieren sich die E-Vektoren der ein- und auslaufenden Welle in jedem Augenblick. Da sich die Ausbreitungsrichtung ebenfalls umgekehrt und E-, B-Feld und Ausbreitungsrichtung eine Rechtsschraube bilden, gibt es beim B-Feld keinen Phasensprung. Ein- und auslaufende Wellen bilden stehende E- und B-Wellen. Die Bäuche der E-Wellen fallen dabei mit den Knoten der B-Wellen zusammen und umgekehrt.

10 Polarisation elektromagnetischer Wellen Ein Hertzscher Dipol strahlt nicht in alle Raumrichtung gleichmäßig aus! Die Polarisation einerelektromagnetischen Welle ist durch die Richtung des elektrischen Vektors E definiert. Eine Lichtwelle, deren E-Vektor immer nur in einer Ebene schwingt, heißt linear polarisiert. Der B-Vektor steht im Vakuum immer senkrecht auf dem E Vektor beide sind in Phase. E und B stehen senkrecht auf der Ausbreitungsrichtung k, man redet deshalb von Transversalwellen. (Häufig wechselwirkt überwiegend der elektrische Anteil der Welle.) Läuft der E Vektor (und damit auch der B-Vektor) auf einer Schraubenlinie um die Ausbreitungsrichtung, spricht man von zirkular polarisiertem Licht. Eine zirkular polarisierte Welle kann man als Überlagerung von zwei aufeinander senkrecht stehenden linear polarisierten Wellen mit gleicher Amplitude und der Phasendifferenz π/ = λ/4 auffassen. Sind die beiden Amplituden nicht gleich, so erhält man elliptisch polarisiertes Licht.

11 17 Ebenso kann linear polarisiertes Licht als Überlagerung einer links-(l-) und rechts (r-) zirkular polarisierten Welle aufgefasst werden, die gleiche Amplitude und Umlauffrequenz haben. Es gibt Stoffe, die die lineare Polarisation um einen Winkel α drehen können. Solche Stoffe, die meist sog. chirale (asymetrische) C-Atome enthalten, heißen optisch aktiv. Da Rohrzucker optisch aktiv ist und die Rotation α = α 0 c d proportional zur Konzentration c ist, kann

12 173 man so die Konzentration von Zuckerlösungen bestimmen (Saccharimetrie). α 0 ist das spezifische Drehvermögen, d die Länge des Lichtweges in der Lösung. Atome und Moleküle strahlen ebenfallselektromagnetische Strahlung aus, da in ihnen Ladungen oszillieren. Hat man viele Atome/Moleküle vorliegen, dann wird in alle Raumrichtungen statistisch abgestrahlt, man erhält unpolarisiertes Licht. Normalerweise hat man unpolarisiertes Licht vorliegen, das man anschließend polarisiert später.

13 Spektrum elektromagnetischer Strahlung Es gibt elektromagnetische Wellen in einem sehr großen Wellenlängenbereich. Monochromatisches (einfarbiges) Licht wird durch Angabe der Wellenlänge λ bzw. der Frequenz ν angegeben: ν λ = c c =, m/s m/s Lichtgeschwindigkeit im Vakuum Sichtbares Licht: ca. 400 nm (violett) bis ca. 800 nm (rot) Viele Gesetze lassen sich (phänomenologisch) ableiten, ohne den Wellencharakter des Lichtes im Detail zu beachten geometrische Optik, Kap. 1. Man stellt fest, dass man bei mikroskopischer Betrachtung der optischen Prozesse Licht entweder als Welle betrachten muss (Wellenoptik) oder als Photon, d.h. als Teilchen. Ein Photon ist ein Lichtquant der Energie hν (h=6, Js, Plancksches Wirkungsquantum). Licht wird in dieser Quantenoptik als Photon-Ensemble betrachtet. Das Nebeneinander von Wellen- und Teilchen-Charakter heißt Dualität des Lichtes und ist gegensatnd der Quantenmechanik