Mathematische Hilfsmittel

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1 Mathematische Hilfsmittel Koordinatensystem kartesisch Kugelkoordinaten Zylinderkoordinaten Koordinaten (x, y, z) (r, ϑ, ϕ) (r, ϕ, z) Volumenelement dv dxdydz r sin ϑdrdϑdϕ r dr dzdϕ Additionstheoreme: sin(a ± B) = sin A cos B ± cos A sin B cos(a ± B) = cos A cos B sin A sin B cos A cos B = [cos(a + B) + cos(a B)] sin A cos B = [sin(a + B) + sin(a B)] sin A sin B = [cos(a B) cos(a + B)] = cos A + sin A sin A = sin A cos A cos A = cos A sin A sin A + sin B = sin A + B sin A sin B = cos A + B cos A + cos B = cos A + B cos A cos B = sin A + B cos A B sin A B cos A B sin A B Physikalische Konstanten Fallbeschleunigung g = 9, 8 m s Vakuumlichtgeschwindigkeit c =, m s elektrische Feldkonstante ε = 8, F m Planck sches Wirkungsquantum h = 6, J s Elementarladung e =, C

2 Mechanik Kinematik lineare Bewegung: x(t) = a t + v t + x t : Zeit v(t) = at + v x : Ort a(t) = a x : Ort zum Zeitpunkt t= v : Geschwindigkeit v : Geschwindigkeit zum Zeitpunkt t= a : Beschleunigung Kreisbewegung: ϕ(t) = α t + ω t + ϕ ϕ : Winkel Dynamik ω(t) = αt + ω ϕ : Winkel zum Zeitpunkt t= α(t) = α ω : Winkelgeschwindigkeit v = ωr ω : Winkelgeschwindigkeit zum Zeitpunkt t= a = ω r (i) Trägheitsprinzip + Kräfteaddition (ii) Aktionsprinzip, F = m a (iii) Reaktionsprinzip... Kraft F... Drehmoment M = r F Masse m Implus p F = dp dt p = m v α : Winkelbeschleunigung r : Radius Trägheitsmoment θ = mr (Massepunkt) Drehimpuls L = r p M= d L dt L = θ ω E = mv E = θω Federkraft F = D x D : Federkonstante x : Auslenkung Arbeit, Energie, Leistung W = F d s Arbeit W = mgh W = Dx W = mv W = θω Hubarbeit bzw. potentielle Energie Spannarbeit bzw. potentielle Energie Beschleunigungsarbeit bzw. kinetische Energie der linearen Bewegung Beschleunigungsarbeit bzw. kinetische Energie der Kreisbewegung P = dw dt = F v Leistung

3 Fluide Dichte: ρ = m V m : Masse V : Volumen hydrostatischer Druck: p = ρgh + p h : Höhe Auftriebskraft: Steighöhe in Kapillare: F A = ρ Fluid V verdrängt g h = σ ρgr σ : Oberflächenspannung r : Kapillarradius Schwingungen und Wellen Grundlegende Beziehungen... λ... Wellenlänge T f = T ω = π T k = π λ v ph = ω k = λ T v gr = dω dk Harmonischer Oszillator Periodendauer Frequenz Kreisfrequenz Wellenzahl Phasengeschwindigkeit Gruppengeschwindigkeit einfacher H.O. H.O. mit Dämpfung H.O. mit Anregung & Dämpfung Bewegungsgl. ẍ + ωx = ẍ + mẋ γ + ω x = ẍ + mẋ γ + ω x = F m cos(ω et) D ω = m : Eigenfrequenz γ: Dämpfungskonstante ω e: Erregerfrequenz Lösung x(t) = x cos(ω t + ϕ) x(t) = x e δt cos(ωt + ϕ) x(t) = x cos(ω e t + ϕ) = Re{x e i(ωt+ϕ) } = Re{x e δt e i(ωt+ϕ) } = Re{x e i(ωet+ϕ) } δ = γ/m, ω = ω δ x = F m (ω e ω ) +4δ ωe Schwebung x(t) = x cos ( ω t) cos(ωt) mit ω = ω ω und ω = ω+ω Wellen Wellengleichung: t Ψ(x, t) = v ph x Ψ(x, t) Lösung: Intensität: Ψ(x, t) = Ψ cos(ωt kx) I = de A dt = P A Ψ mit A: Fläche Stehende Welle Ψ(x, t) = Ψ cos(kx) cos(ωt)

4 Optik Interferenz Laufwegunterschied Phasenunterschied konstruktive Interferenz x = m λ ϕ = m π m =,,,... destruktive Interferenz x = (m + ) λ ϕ = (m + ) π m =,,,... Interferenz am Spalt Einzelspalt: Minima d sin α = m λ I ES = I Doppelspalt: Maxima D sin α = m λ I DS = I ( ) sin ξ ξ m =,, 3,... ( sin ξ ξ [ Gitter: Maxima D sin α = m λ I Gitter = I ) ( ) cos Φ sin( n Φ ) n sin( Φ ) d = Spaltbreite ξ = πd λ sin α m =,,,... D = Spaltabstand ξ = πd λ sin α Φ = πd λ sin α ] m =,,,... D = Spaltabstand n =,,,... = Spaltanzahl Φ = πd λ sin α Brechung und Reflexion Snellius sches Brechungsgesetz: n sin α = n sin α, n i = Brechungsindices Reflexionsgesetz: α = α Polarisation Gesetz von Malus: I = I cos ϕ, ϕ = Winkel zw. Durchlassrichtung des Polarisators und E-Feld-Vektors der Lichtwelle linear polarisiert zirkular polarisiert elliptisch polarisiert a cos(ωt kz) a sin(ωt kz) a sin(ωt kz) Ψ(z, t) = b cos(ωt kz) Ψ(z, t) = a cos(ωt kz) Ψ(z, t) = b cos(ωt kz) Geometrische Optik Abbildungsgleichung: f = g + b f = Brennweite (> für konvexe, < für konkave Linsen) Vergrößerung: M = B G = b g B = Bildgröße g b G = Gegenstandsweite (> vor, < hinter der Linse) = Bildweite (> hinter, < vor der Linse) = Gegenstandsgröße

5 Elektrodynamik Elektrostatik Coulombgesetz: F = 4πε Q Q r, F = elektrostatische Kraft ε = elektrische Feldkonstante Q r = elektrische Ladung = Abstand der Ladungen elektrische Feldstärke: E = F Q Kondensator elektrisches Feld: E = U d, U = elektrische Spannung d = Abstand der Kondensatorplatten Kapazität: C = ε ε r A d, ε r = Dielektrizitätszahl A = Fläche der Kondensatorplatten C = Q U Stromkreis Ohmsches Gesetz: R = U I, R = elektrischer Widerstand U I = elektrische Spannung = elektrische Stromstärke Widerstand Reihenschaltung: R = R + R, R i = Einzelwiderstände Widerstand Parallelschaltung: R = R + R,