Übungsblatt 05. PHYS1100 Grundkurs I (Physik, Wirtschaftsphysik, Physik Lehramt) Othmar Marti,

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1 Übungsblatt 05 PHYS1100 Grundkurs I (Physik, Wirtschaftsphysik, Physik Lehramt) Othmar Marti, (othmar.marti@uni-ulm.de) und Aufgaben 1. Berechnen Sie für einen LKW von 40t Masse sowie für einen PKW (1.5t Masse) und eine Fahrradfahrerin (70kg Masse insgesamt) den Leistungsbedarf für die folgenden Kombinationen von Steigungen und Geschwindigkeiten. Steigung in % v/(m/s) Eine Kette mit der Masse ρ l pro Längeneinheit rutscht reibungsfrei von einem Tisch. Wir vernachlässigen die Details der Krümmung am Knickpunkt. In der Ausgangsposition sei die Länge a auf dem Tisch und die Länge b > a hänge. Die Kette wird mit ẋ = 0 losgelassen. a) Berechnen Sie die potentielle Energie als Funktion von x. Übungsblatt vom und c University of Ulm, Othmar Marti

2 PHYS 1100 Grundkurs I WH Übungsblatt 05 b) Berechnen Sie die kinetische Energie als Funktion von ẋ. c) Geben Sie die Gesamtenergie an. d) Geben Sie die Bewegungsgleichung an. e) lösen Sie die Bewegungsgleichung. 3. Berechnen Sie jeweils für r = (0, 0, 0) ob dieser Punkt ein Gleichgewichtspunkt ist. Berechnen Sie jeweils entlang der kartesischen Koordinatenachsen welche Art Gleichgewicht da ist. a) b) c) d) E pot, 1 = k ( x + y + z ) E pot, = k ( x 3 + y 4 + z 5) E pot, 3 = k ( arctan x/x0 + cos (y/y 0 ) + sin (z/z 0 ) ) E pot, 4 = k ( x 4 + y 4 + z 4) 4. Gegeben ist eine Masse m 1, die sich auf einer Unterlage frei bewegen kann und eine zweite Masse m, die über eine masselose Verbindung der Länge l pendelnd an der Masse m 1 befestigt ist. Berechnen Sie als Funktion der Koordinaten x und φ a) E kin (x, φ) b) E pot (x, φ) c) E gesamt (x, φ) 5. Eine Punktmasse der Masse m bewege sich auf einer durch die folgende Parameterdarstellung gegebenen Kurve x(φ(t)) = a (φ(t) + sin φ(t)) z(φ(t)) = a (1 cos φ(t)) Übungsblatt vom und c University of Ulm, Othmar Marti

3 Übungsblatt 05 PHYS 1100 Grundkurs I WH π/ < φ(t) < π/ ist der Definitionsbereich. Die Gravitation wirke mit einer homogenen Kraft F G in die z-richtung. Nehmen Sie an, dass 0 < φ 0 < π/ der Startwinkel sei, aus dem die Masse aus der Ruhe losgelassen wird. Geben Sie die kinetische und die potentielle Energie als Funktion von φ(t) an. Wie lautet die Bewegungsgleichung? Versuchen Sie eine Variablensubstitution zu finden, die das Problem vereinfacht. Ändert sich die Periodendauer als Funktion der Anfangsbedingung? 6. Gegeben ist eine Masse m, die reibungsfrei pendelnd über eine masselose Verbindung der Länge l mit dem Aufhängepunkt P verbunden ist. Dieser Aufhängepunkt bewege sich auf einer Kreisbahn mit dem Radius r und der Winkelgeschwindigkeit ω. Berechnen Sie als Funktion der Koordinaten γ und φ a) E kin (γ, φ) b) E pot (γ, φ) c) E gesamt (γ, φ) 7. Ein mit m S = 0t beladener Lastwagen (Leermasse m L = 10t wird durch eine Kraft F = 5kN aus dem Stand beschleunigt. Dabei verliert er mit der Rate r m = 100 kg s Ladung. Berechnen Sie den Ort, die Geschwindigkeit, die kinetische Energie und den Impuls des Lastwagens. 8. Ein Bild hängt wie dargestellt an zwei Schnüren mit identischer Beschaffenheit von zwei Nägeln. Konstruieren Sie grafisch die Kräfte in den beiden Aufhängeschnüren. Welche Schnur reisst zuerst? 9. Zeigen Sie, dass an einem Flaschenzug mit n Rollen oben und unten die aufzuwendende Kraft sich um den Faktor n verringert. 10. Der erweiterte Energiesatz besagt, dass die Summe aus kinetischer Energie, potentieller Energie und thermischer Energie konstant ist. Ein Klotz der Masse m = kg rutsche eine schiefe Ebene mit dem Steigungswinkel α = π/10 hinunter. Der Haftreibungskoeffizient sei µ H = 0.15, der Gleitreibungskoeffizient µ G = 0.1. Berechnen Sie Ort, Beschleunigung, Geschwindigkeit, Impuls, kinetische Energie, potentielle Energie und thermische Energie als Funktion der Zeit. Gibt es einen minimalen Winkel α 0, unter dem die Masse nicht rutscht? Übungsblatt vom und c University of Ulm, Othmar Marti

4 4 PHYS 1100 Grundkurs I WH Übungsblatt Eine Scheibe mit dem Radius r = 0.5m, einer Dicke von 0.1m und einer Massendichte ρ = 315kg/m 3 rotiere mit ω = 4rad/s um eine Achse senkrecht zur grössten Ausdehnung durch den Mittelpunkt. Berechnen sie die kinetische Energie. 1. Die kinetische Energie von Teilchen wird über die erzeugte Wärme beim Abbremsen in einem Target bestimmt. Die Teilchen seien identisch, mit einer Masse von m = 1 ± 1g. Die thermische Energie kann mit einer Genauigkeit von ±1J bestimmt werden. Berechnen Sie aus den Messwerten die mittlere Geschwindigkeit und deren Fehler. Diskutieren Sie die auftretenden Fehler. Die Messwerte für E therm sind [30.88, 35.9, 41.43, 34.47, 31.46, 9.79, 34.30, 31.68, 34.89, 34.5, 31.55, 33.09, 7.93, 31.98, 33.05, 3.30, 30.6, 33.79, 33.51, 31.05, 9.64, 30.84, 34.99, 30.45, 31.67, 31.07, 34.09] Übungsblatt vom und c University of Ulm, Othmar Marti

5 Übungsblatt 05 PHYS 1100 Grundkurs I WH Lösungen 1. Steigung sei m. tan α = m α = arctan m s = v t W pot = m g h sin α = h s = m g s sin α p = w t = m g s sin α = m g v sin α t = m g v sin (arctan m ) Steigung in % V / m/s Masse LKW: kg Steigung in % V / m/s Masse PKW: 1500 kg Steigung in % V / m/s Masse Fahrradf.: 70 kg Übungsblatt vom und c University of Ulm, Othmar Marti

6 6 PHYS 1100 Grundkurs I WH Übungsblatt 05. b + x = l (t) x = l b de pot = dm g h = ρ l g hdh E pot = h 0 ρ l g hdh + ρ (a x) h 0 g = h 0 l [ 1 ρ l g h ] h0 h 0 l + ρ (a + b l) h 0 g E pot = 1 ρ g ( h 0 h 0 + h 0 l l ) + ρgh 0 (a + b l) = 1 ρg ( l ) + ρgh 0 (a + b) E ges = E pot + E kin = 1 ρg ( l ) + 1 ρ (a + b) l + ρgh 0 (a + b) = const de dt = 0 = ρgl l + ρ (a + b) l l l (t) g L l (t) = 0 λ g L = 0 λ 1 = bis x = a, dann freier Fall 3. Gleichgewicht: grad E = 0 g L g λ = L l (t) = A e g L t + B e g L t l (0) = b = A + B A = B = b l (0) = 0 = A B l (t) = b ( g e L t + e ) ( ) g g L t = b cosh L t ( ( ) ) g x (t) = l (t) b = b cosh L t 1 a) k x grad E pot, 1 = k y k z de pot, 1 = kx = 0 dx = k d E pot, 1 dx x y z = k = 0 bei P = 0 k > 0 : stabil k < 0 : labil Übungsblatt vom und c University of Ulm, Othmar Marti

7 Übungsblatt 05 PHYS 1100 Grundkurs I WH b) grad E pot, = k 3x 4y 3 5z 4 = 0 bei r = 0 d E pot, dx = 3kx = 0 indifferent (.1) c) grad E pot, 3 = k 1 x 0 1+ x x 0 ( 1 y y 0 sin ( ) ( z sin z 0 cos y 0 ) r = 0 grad E pot, 3 = ) z z 0 1 z 0 k x kein Gleichgewicht d) grad E pot, 4 = k 4x 3 4y 3 4z 3 = 0 d E pot, 4 dx = 6kx = 0 indifferent 4. Die z-koordinate soll nach oben zeigen. Der Nullpunkt sei in der Aufhängung. Wir berechnen zuerst die potentielle Energie, dann die kinetische. a) Die x- und z-koordinaten der Massen m 1 und m sind x 1 = x x = l sin(φ) + x 1 = l sin(φ) + x z 1 = 0 z = l cos(φ) Die potentielle Energie ist E pot (x, φ, t) = m gz + m 1 gz 1 = m gl cos(φ) Übungsblatt vom und c University of Ulm, Othmar Marti

8 8 PHYS 1100 Grundkurs I WH Übungsblatt 05 b) Die Geschwindigkeiten sind durch v x, i = x i t v x, 1 = ẋ v x, = l cos(φ) φ + ẋ v z, 1 = 0 v z, = l sin(φ) φ und v z, i = z i t gegeben. Die kinetische Energie ist E kin (x, φ, t) = m 1 ( v x, 1 + vz, 1) m ( + v x, + vz, ) = m 1 ẋ + m ( ( ) l cos(φ) φ + ẋ) + l sin (φ) φ = m 1 ẋ + m (l cos (φ) φ + l cos(φ) φẋ + ẋ + l sin (φ) φ ) = m 1 ẋ + m (l φ + l cos(φ) φẋ ) + ẋ = m 1 + m ẋ + m ( l φ + l cos(φ) φẋ ) c) Die Gesamtenergie ist E ges (x, φ, t) = E kin (x, φ, t) + E pot (x, φ, t) = m gl cos(φ) + m 1 + m ẋ + m ( l φ + l cos(φ) φẋ ) 5. x = a (φ (t) + sin φ (t)) z = a (1 cos φ) ẋ = a φ + a cos φ φ ż = a sin φ φ E pot = m g a (1 cos φ) v (t) = ( ẋ + ż = a φ + a φ ) ( cos φ + a φ ) sin φ = a φ + a φ cos φ + a φ cos φ + a φ sin φ v (t) = a φ + a φ cos φ = a φ (1 + cos φ) E = E pot + E kin = mga (1 cos φ) + ma φ (1 + cos φ) de dt = 0 = g sin φ + a φ (1 + cos φ) a φ sin φ 0 = g sin φ + a φ (1 + cos φ) a φ sin φ Übungsblatt vom und c University of Ulm, Othmar Marti

9 Übungsblatt 05 PHYS 1100 Grundkurs I WH Bogenlänge: ( ) ( ) dx dz s (φ) = + dφ dφ dp s (φ) = a (1 + cos φ) + a sin φdφ = a 1 + cos φ + cos φ + sin φdφ 1 = a + cos φdφ = a + cos φdφ = a 1 + cos φ φ sin dφ = a cos φ + φ cos dφ s (φ) = a cos φ dφ = 4a sin φ ( s ) φ (s) = arcsin 4a E kin = 1 mṡ E pot = mg z (φ) = mga (1 cos φ) ( = mga 1 cos φ + φ ) ( sin = mga cos φ + φ sin φ cos + φ ) sin = mga sin φ ( = mga sin arcsin s ) 4a ( s ) mgs = mga = 4a 8a E = 1 m s + mgs 8a = const de dt = 0 = s + g 4a s s + g 4a s = 0 g s + w s = 0 w = 4a a T = 4π g s (t) = A sin wt 4a sin φ g A = 4a, φ (t) = a t Übungsblatt vom und c University of Ulm, Othmar Marti

10 10 PHYS 1100 Grundkurs I WH Übungsblatt Wir legen das xz-koordinatensystem so, dass der Nullpunkt bei der Achse der Scheibe ist und dass die x-achse nach rechts und die z-achse nach oben zeigt. Wir berechnen wieder zuerst die potentielle und dann die kinetische Energie. a) x = r sin γ l sin ϕ = r sin(ωt) l sin ϕ z = r cos γ l cos ϕ = r cos(ωt) l cos ϕ E pot = mg (r cos(ωt) l cos ϕ) b) Die kinetische Energie ist E kin = m (ẋ + ż ) ẋ = rω cos(ωt) l cos(ϕ) ϕ ż = rω sin(ωt) + l sin(ϕ) ϕ Also E kin = m [ ( rω cos(ωt) l cos(ϕ) ϕ) + ( rω sin(ωt) + l sin(ϕ) ϕ) ] = m [ r ω cos (ωt) + l cos (ϕ) ϕ + rω cos(ωt)l cos(ϕ) ϕ + r ω sin (ωt) + l sin (ϕ) ϕ rω sin(ωt)l sin(ϕ) ϕ ] = m [ r ω + l ϕ + rωl ϕ (cos(ωt) cos(ϕ) sin(ωt) sin(ϕ)) ] Nun ist cos α cos β sin α sin β = cos(α + β). E kin = m [ r ω + l ϕ + rωl ϕ cos(ωt + ϕ) ] c) Die Gesamtenergie ist E tot =E pot + E kin =mg (r cos(ωt) l cos ϕ) + m [ r ω + l ϕ + rωl ϕ cos(ωt + ϕ) ] 7. F = dp dt = d(mv) dt = m dv dt + v dm dt m(t) = m L + m s rt = m 0 rt Übungsblatt vom und c University of Ulm, Othmar Marti

11 Übungsblatt 05 PHYS 1100 Grundkurs I WH Der LKW ist vollständig entladen für: rt 1 = m s Geschwindigkeit des LKW: v(t) t 1 = 00s Austrittsgeschwindigkeit der Ladung relativ zum LKW: allgemein: u = const hier: u = 0 Absolute Geschwindigkeit der austretenden Ladung: allgemein: v (t) = v(t) u hier: v (t) = v(t) Änderung des Gesamtimpulses = Änderung des Impulses des LKW + Änderung des Impulses der austretenden Ladung Impulsänderung in der Zeit dt: dp = dp LKW + dp Ladung = m dv + v dm + r dt v = m dv + v dm dm v = m dv + (v v ) dm = m dv + u dm d.i. Raketen-Gleichung hier: u = 0, also F = m(t) dv(t) dt F = m dv dt + u dm dt F = (m 0 rt) v(t) v(t) = v(t) dt = v(t) = F m 0 rt F m 0 rt dt = F r ln(m 0 rt) + c c aus Anfangsbedingung: v(0s) = 0 m s Übungsblatt vom und c University of Ulm, Othmar Marti

12 1 PHYS 1100 Grundkurs I WH Übungsblatt 05 F r ln m 0 + c = 0 also: c = F r ln m 0 v(t) = F r ln(m 0 rt) + F r ln m 0 Ort des LKW durch Integration: s(t) = v(t) dt = F r ln(m 0 rt) + F r ln m 0 dt = F ln( m 0 rt ) dt r m 0 = F r (m 0 rt m 0 = F m 0 r m0 rt m 0 ln( m 0 rt ) m 0 rt ) ( m 0 m 0 m 0 r ) + c (ln( m 0 rt m 0 ) 1) + c c aus Anfangsbedingung: s(0s) = 0 m F m 0 r 1 (0 1) + c = 0 also: s(t) = F m 0 r c = F m 0 r ( m 0 rt m 0 (ln( m 0 rt m 0 ) 1) + 1) E kin = 1 m(t) (v(t)) p(t) = m(t) v(t) Für erhält man: t 1 = 00s s(t 1 ) = 4506,9 m v(t 1 ) = 54,9 m s Übungsblatt vom und c University of Ulm, Othmar Marti

13 Übungsblatt 05 PHYS 1100 Grundkurs I WH a(t 1 ) = 0,5 m s 8. Schnur reisst zuerst. 9. Flaschenzug Energieerhaltung: F 1 ds = F ds ds = n ds F = F 1 n F 1 ds = n F ds 10. µ HR = 0.15 µ GR = 0.1 F R = µ g F G cos α = µ G m g cos α min. Winkel: F H = m g sin α = F R = µ H m g cos α sin α = µ H cos α µ H = tan α α = 8.53 Übungsblatt vom und c University of Ulm, Othmar Marti

14 14 PHYS 1100 Grundkurs I WH Übungsblatt 05 Beschleunigung E pot = m g h sin α = h 0 h (t) x (t) = m g (h 0 x sin α) E kin = 1 mẋ Q = F R x = µ G mg cos α x E Ges = mgh 0 mg sin α x (t) + 1 mẋ (t) + mgµ G cos α x (t) de dt = 0 = g sin α + ẍ (t) + gµ G cos a ẍ (t) = g (sin α µ G cos α) Geschwindigkeit: x (t) = v (t) = g (sin α µ G cos α) t Ort: x (t) = 1 g (sin α µ G cos α) t Impuls: p = m v = mg (sin α µ G cos α) t 4. t 11. E kin = 1 mv v = ω r = 1 m ω r m = ρ V = ω ρ V r = 1 ρω V r Kreisring: V = πr d dr R R E kin = ρω πr 3 d dr = ρ d ω π r 3 dr 0 = π 4 ρdr4 ω V = πr d 0 = 1 4 ρr V ω 1 Iω = 181.8J Trägheitsmoment: I = 1 ρ V R = π ρ d R4 Übungsblatt vom und c University of Ulm, Othmar Marti

15 Übungsblatt 05 PHYS 1100 Grundkurs I WH E kin = 1 mv = E th m = 1g m = 1g E = 1J E v = m < v >= m < E > dv de = 1 ( ) 1 E m m = 1 m ( ) 1 dv E dm = 1 m σ σ <v> = <E> me + < E >= J σ <v> = 3,3458 m s σ E =,5878J σ <E> = 1 7 σ E = 0.498J m 1 E = E 1 m = E m me m E = E m 3 ( m) E > σ <E>! E m 3 < v > = m s Übungsblatt vom und c University of Ulm, Othmar Marti