Übungsblatt 06. PHYS1100 Grundkurs I (Physik, Wirtschaftsphysik, Physik Lehramt) Othmar Marti,

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1 Übungsblatt 06 PHYS00 Grundkurs I Physik, Wirtschaftsphysik, Physik Lehramt) Othmar Marti, othmar.marti@uni-ulm.de) und Aufgaben. Ein Auto fährt auf 45 -Breite mit der Geschwindigkeit v = 30m/s auf einer horizontalen Ebene in die Kompassrichtung α beliebig). Berechnen Sie mit den Gleichungen für die Beschleunigung in Kugelkoordinaten die relevanten Beschleunigungen in die e r, e θ und die e φ -Richtung.. Nehmen Sie an, dass die Luftwiderstandskraft auf einen rasenden Fahrradfahrer F LW = bv ist. Gleichzeitig wirke eine geschwindigkeitsunabhängige Rollreibungskraft F RR. Leiten Sie eine Gleichung für die benötigte Leistung her, um eine Geschwindigkeit v aufrechtzuerhalten. Nehmen Sie vernünftige Werte für die Konstanten und die Leistungsfähigkeit der Fahrradfahrerin an und berechnen Sie die maximal mögliche Geschwindigkeit. Begründen sie Ihre Wahl! 3. Berechnen Sie die Lage des Schwerpunktes für einen Würfel mit Kanten entlang der positiven kartesischen Koordinatenachsen, der Kantenlänge a und einer Ecke bei a, a, a). eine symmetrische Pyramide mit einem Quadrat Seitenlänge a) als Grundfläche und der Höhe h. einer Hantel bestehend aus zwei Kugeln mit den Radien r und r im Abstand Kugelmittelpunkt zu Kugelmittelpunkt) von d > r + r. Die Verbindungsstange habe den Durchmesser D Alle Körper bestehen aus einem homogenen Material der Dichte ρ. 4. Zwei Massen m und m m bewegen sich entlang der x-achse mit den Geschwindigkeiten v und v. Berechnen Sie die Gesamtenergie und den Gesamtimpuls im Laborsystem und im Schwerpunktsystem. Berechnen Sie die Impulse nach dem Stoss im Schwerpunktsystem. Übungsblatt vom und c University of Ulm, Othmar Marti

2 PHYS 00 Grundkurs I WH Übungsblatt In einer Ebene stösst eine kreisförmige Masse m, Radius r) elastisch auf eine ruhende Masse m > m mit dem gleichen Radius r. Die bewegte Masse habe die Geschwindigkeit v. Der Abstand der beiden eingezeichneten Parallelen durch die jeweiligen Schwerpunkte s sei b. b heisst Stossparameter. a) Transformieren Sie das Experiment in das gemeinsame Schwerpunktsystem der beiden Teilchen. b) Berechnen Sie im Schwerpunktsystem die Streuwinkel der Massen m und m wenn v und v die Geschwindigkeitsvektoren der beiden Massen nach dem Stoss sind, sind die Streuwinkel θ i durch cos θ i = v v i) / v v i ) gegeben). c) Nehmen Sie an, dass viele Experimente gemacht werden, und dass jeder Streuparameter im Intervall r... r) gleich wahrscheinlich ist. Wie lautet dann die Winkelverteilung der gestreuten Massen m im Schwerpunktsystem? d) Transformieren Sie die Winkelverteilung zurück ins Laborsystem. 6. Nehmen Sie an, dass man um die Masse m T an Treibstoff in einer Rakete mitzuführen, die Masse m H = 0.m T braucht, um den Tank zu bauen. Die Rakete kann dabei die Nutzlast m N = m H zusätzlich befördern. Die Gase verlassen die Rakete mit einer Geschwindigkeit von 000m/s. a) Wie schnell kann die Rakete maximal werden? b) Wie könnte man die Endgeschwindigkeit erhöhen? c) Kann man jede mögliche Endgeschwindigkeit erreichen? 7. Eine Achterbahn mit Looping sieht wie in der Skizze aus. Übungsblatt vom und c University of Ulm, Othmar Marti

3 Übungsblatt 06 PHYS 00 Grundkurs I WH Der Looping habe den Radius r, Die Anfangshöhe sei h. Die Anlaufstrecke sei mit 45 geneigt. Vom Anfang bis zum Fusspunkt des Loopings sei die Bahnlänge h + b. Über diese Bahn bewege sich eine homogene Masse m mit der Dicke d. a) Berechnen Sie die Bahnlänge vom Anfang bis zum Scheitelpunkt des Loopings. b) Berechnen Sie die Bahnlänge des Schwerpunktes der Masse vom Anfang bis zum Scheitelpunkt des Loopings. c) Berechnen Sie die minimale Geschwindigkeit der Masse m im Scheitelpunkt, damit sie die Bahn nicht verlässt, wenn wir die Bewegung als reibungsfrei annehmen. d) Berechnen Sie daraus die Anfangshöhe. e) Die Masse werde nun durch Reibungskräfte Gleitreibungskoeffizient µ GR ) gebremst. Um wieviel muss die Anlaufstrecke erhöht werden, damit die Masse den Looping durchlaufen kann? f) Gibt es für µ GR eine obere Schranke, bei deren Überschreitung der Looping nie mehr durchlaufen werden kann. Wenn es eine obere Schranke gibt, wie gross ist sie? Zur Berechnung dieser Aufgabe benötigen Sie eine Näherung. g) Wenn die gleiche Anlage auf dem Mond aufgebaut würde, wäre sie dann sicherer in dem Sinne, dass die Geschwindigkeitsreserve im Scheitelpunkt des Loopings grösser wäre? 8. In der Vorlesung wurde die Geschwindigkeit einer Gewehrkugel mit einem ballistischen Pendel bestimmt. Leiten Sie die Bestimmungsgleichung für die Geschwindigkeit der Kugel her. 9. Fünf identische metallische Billard-Kugeln liegen in einer Linie und so, dass sie sich berühren. Eine sechste identische Kugel trifft auf die erste der Billard-Kugeln mit der Geschwindigkeit v auf die Kugeln v ist entlang der die Schwerpunkte der ersten fünf Kugeln verbindenden Geraden. a) Beschreiben Sie den weiteren Verlauf des Experimentes. b) Geben Sie die Nebenbedingungen an und erläutern Sie, mit welcher Zeitverzögerung die letzte Kugel sich zu bewegen beginnt unter Ihren Nebenbedingungen. 0. Kann man Billard-Kugeln so platzieren, dass man eine Kugel anstossen kann, die dann mit der nächsten stösst, und so weiter, so dass die letzte Kugel wieder auf den Billard-Spieler zuläuft?. Öltanker mit einer Wasserverdrängung von BRT werden typischerweise mit Motoren der Leistungsklasse 40000P S angetrieben. Wie lang ist die Bremsstrecke aus der typischen Reisegeschwindigkeit von 5Knoten wenn Sie die Reibung des Wassers vernachlässigen? Übungsblatt vom und c University of Ulm, Othmar Marti

4 4 PHYS 00 Grundkurs I WH Übungsblatt 06. Eine Stahlbrücke sieht wie in der Skizze aus. Die Segmente a, b und c seien jeweils mit Gelenken untereinander und mit den fest verankerten Widerlagern d verbunden. In der Mitte sei eine punktförmige Masse mit der Gewichtskraft F g auf der Verbindung der beiden Segmente c mit dem Segment a platziert. Berechnen Sie in den Segmenten a, b und c die Kräfte, wenn die Länge der Segmente b 30% grösser ist als die Länge der Segmente c und die Masse der Segmente vernachlässigt wird. Übungsblatt vom und c University of Ulm, Othmar Marti

5 Übungsblatt 06 PHYS 00 Grundkurs I WH Lösungen. v NS U T T = U = πr θ = v NS R U mit ω = π v NS T w = πv NS U = v 0w = πr β) T T = πr β) v 0w daraus folgt durch Integration: ω = π T = v 0w r β) = θ = v NS R v 0w ϕ = R cos β ṙ = 0 θ = v 0w R cos β = ϕ v cos α = R v sin α = R cos β v cos α R t θ 0 }{{} =45 v sin α ϕ = R cos β t + ϕ 0 r = R Jetzt einsetzen in: a t) = r r θ ) r sin θ ϕ e r + θ r θ + ṙ θ ) r sin θ cos θ ϕ e + r sin θ ϕ + sin θṙ ϕ + r cos θ θ ) ϕ e ϕ. F LW = bv = ρac W v ) F RR = µ RR F G p = ω t = F s = F v = F LW + F RR ) v v = t p F LW + R RR = p ρac W + µ v RR F Übungsblatt vom und c University of Ulm, Othmar Marti

6 6 PHYS 00 Grundkurs I WH Übungsblatt 06 Konstanten: ρ Luft, 0 =.04 kg m 3 µ RR, Asphalt = P Radfarerin, kontinuierlich = 50W F G, F hrad+f ahrer = mg = 5kg + 60kg) 9.8 m s = 93N c w A = m zum Vergleich: c w A Auto 0.6m ) im Winter ca. 40 % mehr als im Sommer wegen der Kleidung) ρc ωav 3 + µ RR F ges P = 0 Numerische Lösung mit obigen Konstanten liefert: v = 7.6 m s = 7.4 km h 3. Schwerpunkt: r s = M rdm = M rρ r) dv mit M = ρr)dv. x s = M xρdv a) Würfel: dv = a dx x s = ρ M a 0 = a ρa3 M = a xa dx = ρa M a analog: y s = z s = a b) Pyramide: Spitze bei x = y = 0, symmetrisch um x-achse y x) = a h x xa ) dv = y) dx = dx h x s = ρ h xdv = ρ h a ) x 3 dx M M h 0 = ρ M 4 a h 0 Volumen der Pyramide: V = 3 a h Übungsblatt vom und c University of Ulm, Othmar Marti

7 Übungsblatt 06 PHYS 00 Grundkurs I WH analog oder aus Symmetriegründen x s = ρ M 3 a h 3 4 h = 3 4 h y s = z s = a falls Pyramidenecke bei 0, 0, 0) c) Hantel: Mittelpunkt erster Kugel bei x = r Mittelpunkt zweiter Kugel bei x = r + d Aus Symmetriegründen y s = z s = 0 x s = mi x i M = ρ 4 M 3 πr4 + ρπ = ρπ M 4 3 r4 + D 4 d r r ) r = r : x s = r + d ) D d r r ) r + d ) ) + ρ 4 3 πr3 r + d) r + d ) + 4 ) 3 r3 r + d) 4. Laborsystem: E ges = m v + m v ) p ges = m v + m v Schwerpunktsystem: E ges = m u + m u ) = m v v s ) + m v v s ) ) = m m v v ) p ges = m u + m u = m v v s ) + m v v s ) = m v + m v v s ) = 0 Impulse nach dem Stoss: Skript S Übungsblatt vom und c University of Ulm, Othmar Marti

8 8 PHYS 00 Grundkurs I WH Übungsblatt sin ϕ = b r ϕ = arcsin cos ϕ = cos = = ) b r b arcsin r sin arcsin ) b r )) )) b r a) Schwerpunktsystem vor dem Stoss: ˆp = p m p = ˆp = 0 m p = ˆp m p b) nach dem Stoss: ˆp =p m p =p cos ϕ m m e + p sin ϕe m p e x =p cos ϕ m m cos ϕe x sin ϕe y ) + p sin ϕ sin ϕe x + cos ϕe y ) m p e x Übungsblatt vom und c University of Ulm, Othmar Marti

9 Übungsblatt 06 PHYS 00 Grundkurs I WH ˆp ˆp = m p e x m + m [ p cos ϕ m m cos ϕe x sin ϕe y ) +p sin ϕ sin ϕe x + cos ϕe y ) m p e x m = m p cos ϕ m m + p sin ϕ m m ) p =p m m m m ) ) cos ϕ + cos ϕ ) m ) m ) ) ) ) =p cos m m m m m m ϕ ) + m ) m m ) ) =p m ) m ) cos ϕ = p m cos ) ϕ ) = p m cos ϕ ) ] ˆp = [ p cos ϕ m m + p sin ϕ m ) p + p cos ϕ sin ϕ m ) ] m + p sin ϕ cos ϕ =p [ cos ϕ m m + cos ϕ m ) ] + cos ϕ sin m ϕ [ =p ˆp =p ) m + cos ϕ m ) ) + m [ cos ϕ ) + 4 cos ϕ 4 cos 4 ϕ m [ =p 4 cos ϕ + 4 cos 4 ϕ + 4 cos ϕ 4 cos 4 ϕ ] =p m ) ] ) cos ϕ sin ϕ m ) ] Übungsblatt vom und c University of Ulm, Othmar Marti

10 0 PHYS 00 Grundkurs I WH Übungsblatt 06 ˆp ˆp ˆp ˆp = p m m +m ) cos ϕ) m m +m ) ) p = cos ϕ = cos θ c) ) b θ = π ϕ = π arcsin r θ = π ) ) b b arcsin = arccos r r ) b θ = arccos r Es gilt: π arcsin x = arccos x d) Übungsblatt vom und c University of Ulm, Othmar Marti

11 Übungsblatt 06 PHYS 00 Grundkurs I WH Alternative Rechnung im Laborsystem. Dies funktioniert nur bei einfachen Problemen! Zerlege p in Komponente und zur Berührungsebene p = p und p = p = 0 Impulserhaltung: p + p = p }{{} + p p + p = p + p = p }{{} =0 =0 Energieerhaltung p m = p m + p m p = p + p + p p p = p + m m p gleichsetzen p = m m p p = m p ausserdem: p = p cos ϕ, p = p sin ϕ Laborsystem vor dem Stoss: p = p + p p = 0 Übungsblatt vom und c University of Ulm, Othmar Marti

12 PHYS 00 Grundkurs I WH Übungsblatt 06 nach dem Stoss: p = p }{{} e =p m m m +m + p e }{{} =p = p cos ϕ m m e + p sin ϕe p = p e + p m e = p cos ϕe + 0 e }{{} =0 e = cos ϕe x sin ϕe y e = cos p = p e x π cos θ = p p p p ϕ e x + sin π ϕ e y = sin ϕe x + cos ϕe y p p = p e x m p cos ϕ = p m cos ϕ p p = p m cos θ = cos ϕ θ = ϕ = arcsin p cos ϕ b r cos ϕe x sin ϕe y = p m cos ϕ cos θ = p p p p p p = p e x p cos ϕ m m cos ϕe x sin ϕe y + p sin ϕ sin ϕe x + cos ϕe y p p = p cos ϕ m m + p sin ϕ = p + cos ϕ m m = p m cos ϕ p p = p p cos ϕ m m + p sin ϕ) = p p cos m m ϕ + sin ϕ [ = p cos ϕ m m + ) ] ) cos ϕ = p 4m m ) cos ϕ cos θ = m cos ϕ m +m 4m m m +m ) cos ϕ θ = arccos m m +m b r 4m m m +m ) b r 6. Treibstoff: m T Tank: m H = 0.m T Nutzlast:m N = m H = 0.m T Austrittsgeschwindigkeit der Gase relativ zur Rakete: u = 000 m s Übungsblatt vom und c University of Ulm, Othmar Marti

13 Übungsblatt 06 PHYS 00 Grundkurs I WH Formel aus Aufgabe 7 Blatt 05) F = m dv dt + udm dt m t) = m 0 r t m 0 = m T + m H + m N = m T + 0.m T + 0.m T =.m T Brenndauer des Triebwerks: T = m T r a) Annahme: F = 0z. B. Umlaufbahn) t 0 m dv dt = udm dt dv dt = u dm m dt v dt = u t 0 ṁ m dt v t) = u [ln m t) ln m 0)] = +u ln m 0) m t) m 0 = u ln m 0 rt m 0 v t) = u ln m 0 rt Maximale Geschwindigkeit der Rakete für t = T : allgemein: m 0 v T ) = u ln m 0 r T.m T = u ln.m T m T = u ln.m T 0.m T = u ln 6 = 000 m s ln 6 = m s v T ) = u ln m T + m H + m N m H + m N ) m T v T ) = u ln + m H + m N Übungsblatt vom und c University of Ulm, Othmar Marti

14 4 PHYS 00 Grundkurs I WH Übungsblatt 06 b) Erhöhung der Endgeschwindigkeit bei gleichem Treibstoff) durch mehrstufige Rakete Grössere Austrittsgeschwindigkeit u c) Mit den gegebenen Massenverhältnissen gilt v T ) = u ln 6 mehr Treibstoff hilft nicht Treibstoffmenge begrenzt evtl. relativistische Rechnung hilft aber auch nicht!) 7. a) Bahnlänge: l = h + b + π r b) Dicke der Masse: d Schwerpunkt bewegt sich immer d oberhalb der Bahn Annahme: b = b s = h + b + πr = h + b + π r d ) c) Es muss gelten: F z F a mv r d m g v g v r d ) r d ) g d) W = W m g h = mg r d ) + mv h = r d ) + r d ) h = 5 r 3 4 d h ist Starthöhe des Schwerpunktes h = h x Übungsblatt vom und c University of Ulm, Othmar Marti

15 Übungsblatt 06 PHYS 00 Grundkurs I WH Auslenkwinkel α : cos α = L h h = L cos α) L Steighöhe des Pendels Impulserhaltung: P vor! = P A = P x = d h = h x = 5 r 3 4 d d = 5 r 3 + d 4 Verhältnis der kinetischen Energien vor und direkt nach dem Stoss: E kin, vor = P vor = P = m m m v PA E kin, A = ) = P ) m E kin, A = E kin, vor ) m E kin, A = ) m v Es gilt E kin, A! = E pot, B = ) gh m m +m ) v = g h = g L cos α) Geschwindigkeit der Kugel: v = m g L cos α) 9. a) Impulsübertrag auf Kugel mit m j = m µ µ, 0 p v 6 = p n Kugel bewegt sich danach mit v. b) Schallgeschwindigkeit im Metall c c ergibt die Verzögerung für den Impulsübertrag von 6 5 Kugeln Distanz D x = 5 D t = x c Übungsblatt vom und c University of Ulm, Othmar Marti

16 6 PHYS 00 Grundkurs I WH Übungsblatt eine nichttriviale Lösung es gibt bei einer reibungsfreien Bewegung unendlich viele!): jede Kugel mit 60 3 Kugeln + weiss ϕ = arcsin ) b r b = r sin ϕ b = r 60 85% Ja: trivial: Kugel + weiss + Bande. P = 40000P S = KW m v = BRT m Ladung = m v + m Ladung v 0 = 5kn = 5.85 km = 5.85 m h 3.6 s P = F v = F t) v t) F t) = P bremst! vt) mit F = a a! = P vt) dv dt = P vt) vdv = P dt vt) v 0 vdv = v vt) v 0 v t) = t 0 v t) v 0 = p P dt ) t t 0 = P t v 0 P t oder die Differtialgleichung: dv dt = P vt) dv + P = 0 dt v mit v 0) = v 0 v t) = v0 P t s t) = t 0 v t) dt = 3P ) 3 v0 P t Bremszeit aus v t)! = 0 t 0 = mges P v 0 Bremsweg s t 0 ) = mges 3P v3 0 t 0 = 3P ) 3 v0 P t + 3P v3 0 Übungsblatt vom und c University of Ulm, Othmar Marti

17 Übungsblatt 06 PHYS 00 Grundkurs I WH Aus Symmetriegründen ist die Kraft in den Segmenten c null sie stehen senkrecht auf F G. Deshalb muss die ganze Kraft F G durch das Segment a als Druckkraft aufgenommen werden. Wir verwenden, dass b =.3c ist. Also gilt nach Pythagoras oder und und.3c) = a + c 0.69c = a c = b = Der Winkel zwischen c und b sei α mit cos α = c b = 0.69 a a a 0.69 =.69 a.69 = Aus Symmetriegründen ist die Projektion der Zugkräfte in den Segmenten c auf das Segment a gleich F G /. Die gesamte Zugkraft ist dann und F c = F G sin α = F G cos α) = F G.69 F c =.69F G.69 ) =.5F G Übungsblatt vom und c University of Ulm, Othmar Marti