Klassische und Relativistische Mechanik

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1 Klassische und Relativistische Mechanik Othmar Marti Institut für Experimentelle Physik Physik, Wirtschaftsphysik und Lehramt Physik

2 Seite 2 Physik Klassische und Relativistische Mechanik Studieren im Ausland Erasmustag 18. November 2008, im Forum Webseite Erasmus-Koordinator für Physik und Wirtschaftsphysik Othmar Marti

3 Seite 3 Physik Klassische und Relativistische Mechanik Exkursion zum Technorama Winterthur am

4 Seite 4 Physik Klassische und Relativistische Mechanik Konservatives Kraftfeld Ein Kraftfeld ist konservativ, wenn für alle geschlossenen Wege Weg r(s) F (r(s)) ds = 0 gilt. Hier ist Weg r(s) F (r(s)) ds = x+dx/2 F x (x, y dy/2)dx x dx/2 y+dy/2 + F y (x + dx/2, y)dy y dy/2 x dx/2 + F x (x, y + dy/2)dy x+dx/2 y dy/2 + F y (x dx/2, y)dy y+dy/2

5 Seite 5 Physik Klassische und Relativistische Mechanik Vorgriff: Rotation als Mittel ein konservatives Kraftfeld zu erkennen Das Quadrat dreht sich, wenn R z,y ) = (F y (x + dx 2, y) Fy (x dx 2, y) /dx R z,y = (F x (x, y dy 2 ) Fx (x, y + dy ) 2 ) /dy nicht null ist. Fy (x, y) Fx (x, y) R z = x y Analoge Überlegungen gelten für die xz- und die yz-ebenen. Also rot F = x y z F 0 F ist konservativ

6 Seite 6 Physik Klassische und Relativistische Mechanik Teilchensysteme Skizze der Koordinaten in einem Teilchensystem

7 Seite 7 Physik Klassische und Relativistische Mechanik Äussere und innere Energie E kin = 1 2 m i v i v i i = 1 2 m i (v s + u i ) (v s + u i ) i = 1 [ ] 2 m i v 2 s + v su i + u i v s + u 2 i i = 1 2 v 2 s m i v s m i 2u i + 1 m i u 2 i 2 i i i = 1 2 mv 2 s + v s m i u i + i i }{{} Nach Definition des Massenmittelpunktes =0 1 2 m i u 2 i = 1 2 mv 2 s mi u 2 i = E kin + E kin, innen

8 Seite 8 Physik Klassische und Relativistische Mechanik Stösse mit zwei Massen Bei beliebigen Stössen mit zwei Massen haben die beiden Massen im Massenmittelpunktssystem immer entgegengesetzt gleich grosse Impulse, sowohl vor dem Stoss wie nachher. Diese Eigenschaft erleichtert Berechnungen wesentlich!

9 Seite 9 Physik Klassische und Relativistische Mechanik Stösse Stoss zweier Massen Die Massenmittelpunktsgeschwindigkeit ist durch v s = m 1 v 1 + m 2 v 2 m 1 + m 2 gegeben. Da der Gesamtimpuls gleich dem Massenmittelpunktsimpuls ist und erhalten wird, ändert sich die Massenmittelpunktsgeschwindigkeit v s bei einem beliebigen Stoss nicht. Die Massen m 1 und m 2 haben im Massenmittelpunktssystem die Geschwindigkeiten u 1 = v 1 v s = m 2(v 1 v 2 ) m 1 +m 2 u 2 = v 2 v s = m 1(v 2 v 1 ) m 1 +m 2

10 Seite 10 Physik Klassische und Relativistische Mechanik Stösse Entsprechend sind die Massenmittelpunktsimpulse p s, 1 = m 1 u 1 = m 1 m 2 (v 1 v 2 ) m 1 +m 2 p s, 2 = m 2 u 2 = m 2 m 1 (v 2 v 1 ) = p m 1 +m s, 1 2 Die kinetische Energie des Massenmittelpunktes ist E kin, s = 1 2 (m 1 + m 2 ) v 2 s ( ) = 1 2 (m m1 v 1 + m 2 ) 1 +m 2 v 2 2 m 1 +m 2 = 1 (m 1 v 1 +m 2 v 2 ) 2 2 m 1 +m 2 Die kinetischen Energien der beiden Massen im Massenmittelpunktssystem sind ( ) E kin, s, 1 = 1 2 m 1u1 2 = 1 2 m m2 (v 1 v 2 ) 2 1 m 1 +m 2 = m 1 m 2 2(m 1 +m 2 ) 2 m 2 (v 1 v 2 ) 2 E kin, s, 2 = 1 2 m 2u 2 2 = 1 2 m 2 ( ) m1 (v 2 v 1 ) 2 m 1 +m 2 = m 1 m 2 2(m 1 +m 2 ) 2 m 1 (v 2 v 1 ) 2

11 Seite 11 Physik Klassische und Relativistische Mechanik Stösse Die Summe der drei kinetischen Energien ist E kin, tot = E kin, s + E kin, s, 1 + E kin, s, 2 = = = = = = 1 2(m 1 +m 2 ) 2 [(m 1 + m 2 ) (m 1 v 1 + m 2 v 2 ) 2 + m 1 m2 2 (v 1 v 2 ) 2 + m1 2m 2 (v 1 v 2 ) 2] 1 [(m 2(m 1 +m 2 ) 1 v 1 + m 2 v 2 ) 2 + m 1 m 2 (v 1 v 2 ) 2] [ 1 2(m 1 +m 2 ) m 2 1 v1 2 + m2 2 v m ( 1 m 2 v 1 v 2 + m 1 m 2 v 2 1 2v 1 v 2 + v2 2 )] [ 1 2(m 1 +m 2 ) m 2 1 v1 2 + m2 2 v m 1m 2 v1 2 + m 1m 2 v2 2 ] [ 1 m1 (m 2(m 1 +m 2 ) 1 + m 2 ) v1 2 + m 2 (m 1 + m 2 ) v2 2 ] 1 2 m 1v m 2v 2 2 Die kinetische Energie kann also in eine kinetische Energie der Massenmittelpunktsbewegung und in die kinetische Energie der Teilchen im Massenmittelpunktssystem aufgeteilt werden.

12 Seite 12 Physik Klassische und Relativistische Mechanik Stösse Die kinetische Energie der Massenmittelpunktsbewegung wird bei jedem Stoss erhalten. Die Summe der kinetischen Energie der Teilchen im Massenmittelpunktssystem wird bei elastischen Stössen erhalten und bei plastischen Stössen vollständig in Deformation oder Wärme umgewandelt. Bei teilelastischen Stössen wird ein Teil der Energie umgewandelt. Der Faktor 0 α 1 gibt an, welcher Bruchteil der Summe der kinetischen Energien im Massenmittelpunktssystem umgewandelt wird. α = 0 bedeutet einen elastischen Stoss, α = 1 einen vollständig plastischen Stoss. Da die Impulse im Massenmittelpunktssystem entgegengesetzt gleich sind, werden die Massenmittelpunktsgeschwindigkeiten mit dem Faktor 1 α multipliziert.

13 Seite 13 Physik Klassische und Relativistische Mechanik Stösse Der Rechenaufwand zur Behandlung von Stössen und insbesondere von teilelastischen Stössen im Massenmittelpunktssystem ist viel geringer, als wenn man im Laborsystem rechnet. Da bei einem elastischen Stoss im Massenmittelpunktssystem sich die Impulse und, da die Massen erhalten bleiben, die Geschwindigkeiten ihr Vorzeichen wechseln, ist die Relativgeschwindigkeit nach dem Stoss gleich gross wie vorher. Wir haben also Nach dem Stoss haben wir v 1 v 2 v 1 v 2 = u 1 + v s = u 2 + v s = u 1 + v s = u 2 + v s

14 Seite 14 Physik Klassische und Relativistische Mechanik Stösse Das bedeutet, dass bei einer Frontalkollision von einem Auto (v 1 = 36km/h = 10m/s) mit einem Fussgänger (v 2 = 3.6km/h = 1m/s) die Relativgeschwindigkeit vorher (v 1 v 2 = 9m/s) gleich dem negativen der Relativgeschwindigkeit nach dem Stoss ist. Da das Auto aber (siehe unten) nur unwesentlich abgebremst wird, fliegt der Fussgänger nach dem Stoss mit v 2 = 19m/s = 68.4km/h durch die Gegend. Die Grösse µ = m 1m 2 heisst auch die reduzierte Masse. Mit ihr können m 1 +m 2 Zweikörper-Probleme im Massenmittelpunktssystem einfacher gelöst werden.

15 Seite 15 Physik Klassische und Relativistische Mechanik Nicht-zentraler Stoss Stoss in einer Ebene

16 Seite 16 Physik Klassische und Relativistische Mechanik Stossparameter Definition des Stossparameters b