Elektrizitätslehre und Magnetismus

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1 Elektrizitätslehre und Magnetismus Othmar Marti Institut für Experimentelle Physik Physik, Wirtschaftsphysik und Lehramt Physik

2 Seite 2 Physik Klassische und Relativistische Mechanik Materie im elektrischen Feld Schematisches Bild eines Atoms mit seiner Elektronenhülle.

3 Seite 3 Physik Klassische und Relativistische Mechanik Induziertes Dipolmoment und damit p ind = Zex p ind = (Ze)2 E = αe k Dabei ist α die atomare Polarisierbarkeit (Einheit [α] = Fm 2 = Cm2 V = Asm2 V ).

4 Seite 4 Physik Klassische und Relativistische Mechanik Isolator im Dielektrikum Die Beziehung zwischen angelegter Spannung und dem elektrischen Feld ist E = U d unabhängig von den Eigenschaften des Isolationsmaterials. Andererseits ist D = ɛ 0 E = ɛ 0U d = ɛ 0Q Cd = ɛ 0Q ɛ 0 A d d = Q A abhängig von der gespeicherten Ladung. Am Kondensator können D und E unabhängig bestimmt werden.

5 Seite 5 Physik Klassische und Relativistische Mechanik Relative Dielektrizitätszahl ɛ In vielen Fällen sind D und E linear voneinander abhängig. D = ɛɛ 0 E = (1 + χ e ) ɛ 0 E mit ɛ 1 und χ e 0 ɛ heisst die Dielektrizitätskonstante, χ e die dielektrische Suszeptibilität. Im allgemeinen sind ɛ und χ e Tensoren.

6 Seite 6 Physik Klassische und Relativistische Mechanik Stetigkeitsbedingungen Gausssches Gesetz Ladungsfreier Raum divd = 0 Oberfläche A, die ein Stück A der Grenzfläche umschliesst D da = D 1 A + D 2 A = 0 A D 1 = D 2 Schlaufe s, die die Grenzfläche zweimal durchdringt s rote da = E ds = E 1 2 E s 2 2 = 0 A(s) s E 1 = E 2

7 Seite 7 Physik Klassische und Relativistische Mechanik Stetigkeitsbedingungen An der Grenzfläche zweier Dielektrika gilt die Komponente der dielektrischen Verschiebung senkrecht zur Grenzfläche und die Komponente des elektrischen Feldes parallel zur Grenzfläche sind stetig. Mit gradϕ = E = können diese Stetigkeitsbedingungen auch für das Potential ϕ umgeschrieben werden ϕ 1 = ϕ 2 ɛ 1 ϕ 1 n = ɛ 2 ϕ 2 n

8 Seite 8 Physik Klassische und Relativistische Mechanik Gesetz von Clausius und Mosotti E lokal : Dieses lokale Feld ist die Summe aus dem externen Feld E sowie dem Feld aller anderen Dipole am Beobachtungsort, E i. E lokal = E + E i Die Polarisation hängt vom lokalen Feld E lokal wie folgt ab: P = Np ind = NαE lokal wobei N die Dichte der induzierten Dipole ist.

9 Seite 9 Physik Klassische und Relativistische Mechanik Gesetz von Clausius-Mosotti Berechnung des Gesetzes von Clausius-Mosotti

10 Seite 10 Physik Klassische und Relativistische Mechanik Das Gesetz von Clausius und Mosotti Berechnung von E i : homogenes Dielektrikum mit ɛ, bei dem ein kugelförmiges kleines Volumen mit dem Radius R entfernt wurde. Das Dielektrikum erzeugt an der Oberfläche des Hohlraums eine Ladungsdichte σ(θ) = P n = P x cos Θ, analog wie eine Ladungsdichte und ein elektrisches Feld mit E = σ/ɛ 0 zusammenhängt. de i,r = σda 4πɛ 0 R 2 = P x cos Θ 4πɛ 0 R 2 da de i,x = P x cos 2 Θ 4πɛ 0 R 2 da

11 Seite 11 Physik Klassische und Relativistische Mechanik Das Gesetz von Clausius und Mosotti Wir integrieren über die ganze Kugel ρ el = σδ(r) da = r 2 sin ΘdΘdϕ cos 2 (Θ) sin(θ)dθ = 1 3 cos3 (Θ) E i,x = P π x 2π 4πɛ 0 0 cos 2 Θ sin ΘdΘ = 1 3ɛ 0 P x E i = 1 3ɛ 0 P

12 Seite 12 Physik Klassische und Relativistische Mechanik Das Gesetz von Clausius und Mosotti P = (ɛ 1) ɛ 0 E = χ e ɛ 0 E χ e χ e + 3 = ɛ 1 ɛ + 2 = Nα 3ɛ 0 P P = (ɛ 1)ɛ 0 E E = (ɛ 1)ɛ 0 P = NαE lokal E lokal = P Nα P E lokal = E + E i Nα = P + P (ɛ 1)ɛ 0 3ɛ 0 1 Nα = 1 (ɛ 1)ɛ ɛ 0 = 1 ( 1 ɛ 0 (ɛ 1) + 1 ) 3 = 1 ɛ 0 ( 3+ɛ 1 3(ɛ 1) ) = 1 ɛ 0 ( 2 + ɛ 3(ɛ 1) )

13 Seite 13 Physik Klassische und Relativistische Mechanik Dielektrische Flüssigkeit im Kondensator Links eine dielektrische Flüssigkeit im Kondensator ohne angelegtes Feld. Rechts mit angelegtem Feld.

14 Seite 14 Physik Klassische und Relativistische Mechanik Dielektrische Flüssigkeit im Kondensator w el = 1 2 D E Kondensator an Batterie Kondensator isoliert Spannung U konstant Ladung Q konstant E = D/(ɛ ɛ 0 ) konstant D = ɛ ɛ 0 E konstant Flüssigkeit steigt im Kondensator E pot steigt E pot steigt w el = 1 2 D E steigt w el = ɛ ɛ 0 2 E2 steigt w el = 1 2 D E sinkt w el = 1 2ɛ ɛ 0 D 2 sinkt Batterie muss die Energie liefern Energiebilanz ist ausgeglichen

15 Seite 15 Physik Klassische und Relativistische Mechanik Dielektrische Flüssigkeit im Kondensator Skizze der Änderungen beim Anlegen einer Spannung

16 Seite 16 Physik Klassische und Relativistische Mechanik Dielektrische Flüssigkeit im Kondensator 1. Mechanische Arbeit: dw mech = Fdx 2. Elektrostatische Energie im Volumen a b dx: Die Spannung U wird konstant gehalten, und damit auch E = U a ( dw el = 12 ɛɛ 0 E ɛ 0E 2) abdx = 1 2 (ɛ 1) ɛ U 2 0 a 2 abdx = 1 2 (ɛ 1) ɛ 0U 2 b a dx 3. Die Batterie liefert elektrische Energie, da die Ladungsmenge sich ändert. Die Kapazität ändert sich um bdx dc = ɛɛ bdx 0 ɛ bdx a 0 = (ɛ 1) ɛ a 0 a Die Spannung U 0 wird aufrecht erhalten und die Ladung dq transportiert ( E pot = qu ) 4. Die Energiebilanz ist dw Batt = UdQ = U UdC = (ɛ 1) ɛ 0 U 2 bdx dw mech + dw el = dw Batt a Fdx (ɛ 1) ɛ 0U 2 b a dx = (ɛ 1) ɛ 0U 2 b a dx F = 1 2 (ɛ 1) ɛ 0 b a U2

17 Seite 17 Physik Klassische und Relativistische Mechanik Kräfte auf Ladungen in Leitern Kräfte auf Ladungen in einem Leiter

18 Seite 18 Physik Klassische und Relativistische Mechanik Stromrichtung Der elektrische Strom I beschreibt den Fluss von Ladung. Deshalb fliesst der Strom von + nach -. Der elektrische Strom I darf nicht mit dem Massenstrom ṁ verwechselt werden. Bei positiver Ladung ist die Geschwindigkeit des die Ladung tragenden Masseteilchens parallel zur Stromrichtung. Bei negativer Ladung ist die Geschwindigkeit des die Ladung tragenden Masseteilchens antiparallel zur Stromrichtung.

19 Seite 19 Physik Klassische und Relativistische Mechanik Berechnung des Stroms Berechnung des Stromes in einem Medium

20 Seite 20 Physik Klassische und Relativistische Mechanik Stromfluss im Kondensator Stromfluss in einem Kondensator