Physik für Studierende der Biologie und Chemie Universität Zürich, HS 2009, U. Straumann Version 26. April 2010

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1 Physik für Studierende der iologie und Chemie Universität Zürich, HS 2009, U Straumann Version 26 April 2010 nhaltsverzeichnis 54 Statische Magnetfelder Phänomenologie der statischen Magnetfelder Das Magnetfeld eines stationären Stromes: Ampere sches Gesetz Das Magnetfeld einer Spule: Das Magnetfeld eines Kreisstromes: Dipolfeld Die Lorentz - Kraft Das Zyklotron Massenspektrometer Kraft auf einen stromführenden Leiter Kräfte zwischen zwei parallelen Leitern Statische Magnetfelder 541 Phänomenologie der statischen Magnetfelder Wir beobachten die Existenz von Kräften zwischen magnetisierten Metallstücken (Magnete) Die magnetischen Kräfte scheinen zwei Pole zu kennen: Ungleiche Pole ziehen sich an, gleiche stossen sich ab Die Erde ist auch magnetisch: Kompassnadeln zeigen nach Norden Die Wirkung von Magneten auf Kompassnadeln wird durch ein magnetisches Feld beschrieben, das so aussieht, wie ein elektrisches Dipolfeld Das Erdmagnetfeld ist auch ein magnetisches Dipolfeld Aber magnetische Dipole lassen sich nicht trennen Es gibt keine magnetischen Ladungen (Monopole) Der Gauss sche Satz für Magnetfelder lautet demnach A V d A = 0 Der Fluss eines Magnetfeldes durch eine geschlossene Oberfläche ist immer null Dies ist die zweite Maxwellgleichung der Elektrodynamik Das Magnetfeld besitzt keine Quellen Deshalb kann eine magnetische Feldlinie nirgends anfangen oder aufhören Magnetfeldlinien müssen immer geschlossen sein 51

2 542 Das Magnetfeld eines stationären Stromes: Ampere sches Gesetz Wir beobachten, dass elektrische Ströme Magnetfelder erzeugen Abbildung 51 zeigt das Magnetfeld in der Nähe eines von einem elektrischen Strom (als bewegte Ladungen zu verstehen) durchflossenen Drahtes Sichtbar gemacht wird es durch Eisenfeilspäne, die wegen ihrer magnetischen Eigenschaften kleinen Kompassnadeln gleich sich entlang der magnetischen Feldlinien ausrichten Man beobachtet Feldlinien, die sich zu konzentrischen Kreisen mit dem Draht als Zentrum schliessen Abbildung 51: Magnetfeld eines stromdurchflossenen Drahtes; links: Schnitt in einer Ebene senkrecht zur Drahtachse, rechts: Schnitt in einer Ebene, die den Draht enthält Eine quantitative Analyse ergibt ausserdem, dass das Feld mit der Stromstärke zu, und dem Abstand abnimmt: bzw r 1 Die quantitativen Gesetze, die für ruhende Leiter formuliert wurden, sind aus den grundlegenden Arbeiten von Jean-aptiste iot ( ), Félix Savart ( ) und André Marie Ampère ( ) über die Kraftwirkung zwischen stationären Strömen hervorgegangen C Das Ampère sche Gesetz gilt für eine beliebige geschlossene Kurve C, die den Strom umschliesst Werden mehrere stromführende Leiter vom Weg C umschlossen, so sind die Stöme zu addieren: d r = µ 0 C m nebenstehenden eispiel sind nur 1 und 2, nicht aber 3 in der Summe zu berücksichtigen Die eiträge sind positiv zu zählen, wenn der Drehsinn der ntegration mit der Stromrichtung übereinstimmt, bzw negativ, wenn das Umgekehrte gilt i i 3 2 dr 1 dr θ ntegrationsrichtung Ein gerader Draht, in dem ein Strom fliesst, erzeugt demnach ein konzentrisches Magnetfeld Das Ampere sche Gesetz ergibt für einen Kreis mit Radius r um den Draht: 2πr = µ 0 = µ 0 2πr 52

3 5421 Das Magnetfeld einer Spule: Eine lange Spule der Länge L mit N Windungen erzeugt im nnern, abgesehen von Randeffekten, ein homogenes Feld Abbildung 52 zeigt wie sich das Feld aus der Summe der Felder der einzelnen Wicklungen zusammensetzt Wählen wir für das Ampère sche Gesetz einen ntegrationsweg, wie er in Abbildung 52 dargestellt ist, so gilt, wenn das kleine Feld ausserhalb der Spule vernachlässigt wird, a d r = dx = a = µ 0 N a L 0 N ist die Anzahl Windungen für die ganze Spule der Länge L, Na/L der vom ntegrationsweg umschlossene Anteil des Stroms Es ergibt sich für das Magnetfeld im Zentrum der Spule: = µ 0N L x = 0 P 2 C x = a P 1 Abbildung 52: Magnetfeld einer Spule Die eiträge der einzelnen Windungen sind im linken ild noch erkennbar n der Nähe des Drahts findet man wie erwartet konzentrische Feldlinien m Zentrum addieren sich die Felder zu einem homogenen Feld parallel zur Spulenachse Auch diese Feldlinien schliessen sich über den Aussenbereich Die Feldliniendichte und damit die Feldstärke ist aber im Aussenbereich sehr klein An den Rändern der Spule beobachtet man sogenannte Streufelder m rechten ild ist für die erechnung des Spulenfelds ein geschlossener ntegrationsweg C markiert 5422 Das Magnetfeld eines Kreisstromes: Dipolfeld Denkt man sich eine ganz kurze Spule, sieht man, dass ein Kreisstrom ein magnetisches Dipolfeld erzeugt! 53

4 n der Tat werden alle statischen Magnetfelder durch elektrische Ströme, das heisst durch bewegte elektrische Ladung erzeugt Die Dipolfelder der anfangs beobachteten Magnete werden durch Ueberlagerung der Magnetfelder einer grossen Zahl mikroskopischer Kreisströme in den Atomen des Stabmagneten erzeugt 543 Die Lorentz - Kraft Wir haben bereits in der Mechanik bei der Diskussion der fundamentalen Kräfte die Lorentz- Kraft erwähnt, d h die elektromagnetische Kraft, die auf ein bewegtes geladenes Teilchen in einem Magnetfeld wirkt: F L = q[ v ] Diese eziehung kann man als Definition für die Feldgrösse benutzen Die strenge historische ezeichnung für lautet magnetische nduktion, im lockeren Sprachgebrauch spricht man von Magnetfeld Die Präsenz eines Magnetfelds kann also durch die Kraft auf eine bewegte Ladung nachgewiesen werden Die Lorentz-Kraft definiert auch die Einheit des Magnetfeldes im MKS- System: [] = N Vs = Tesla = T = Am m 2 = 104 Gauss = 10 4 G Das Magnetfeld der Erde ist typisch 05 G, das Feld eines Permanentmagneten typisch 100 G, ein starker Elektromagnet erreicht etwa 2 T, mit supraleitenden Spulen sind 5 15 T möglich Hohe Magnetfelder finden Anwendungen in Medizin und iologie beim eschleunigerbau für die Strahlentherapie, bei Kernspinresonanztomographen für die Diagnostik und bei Elektronenmikroskopen Schwache geomagnetische Felder dienen der Orientierung gewisser Lebewesen Da die Lorentz-Kraft auf ein bewegtes Teilchen immer normal zur Geschwindigkeit zeigt, bleibt der etrag der Kraft konstant Die Lorentz-Kraft leistet keine Arbeit Sie kann, im Gegensatz zur Coulomb-Kraft in einem elektrischen Feld E, die kinetische Energie nicht verändern ewegt sich ein Teilchen parallel zu einem Magnetfeld ( v = v ), so gilt für das Vektorprodukt: v = 0 Es wirkt keine Lorentz-Kraft, die Geschwindigkeit v ist konstant st hingegen die Geschwindigkeit senkrecht zum Magnetfeld, ( v = v ), so lautet die ewegungsgleichung ma = m v2 r = qv Das Teilchen bewegt sich auf einem Kreis mit Radius r senkrecht zum Feld Seine Umlaufsfrequenz ν, bzw Winkelgeschwindigkeit ω = 2πν ist daher gegeben durch 54

5 S 2πν = ω = v r = q m Diese sogenannte Zyklotronfrequenz ist unabhängig von der Geschwindigkeit, d h Teilchen mit verschiedenen Geschwindigkeiten v und verschiedenen ahnradien r = (mv )/(q), die gleichzeitig im Punkt S starten, gehen wie gezeichnet verschieden lange Wege, kommen aber nach der gleichen Zeit zum Punkt S zurück Das Magnetfeld zeigt senkrecht zur Papierebene r r r 5431 Das Zyklotron Wohl die bekannteste Maschine zur eschleunigung geladener Atomkerne ist das Zyklotron (siehe Abbildung 53) n der zylinderförmigen Vakuumkammer, die sich in einem axialen Magnetfeld befindet, wird zwischen zwei hohlen, D-förmigen Elektroden ( Dee ), eine elektrische Wechselspannung angelegt Kerne, die im Zentrum aus einer onenquelle stammen, werden im elektrischen Feld zwischen den Dees beschleunigt, und werden dann innerhalb des Dees, wo es kein elektrisches Feld gibt, durch die Lorentz-Kraft auf einer Kreisbahn gehalten Wird die Wechselspannung mit der Umlaufbewegung richtig synchronisiert, so wird jeweils nach einem halben Umlauf durch das elektrische Feld die kinetische Energie erhöht Mit steigender Energie nimmt der Radius der kreisförmigen Segmente zu Es resultiert eine spiralartige ahn Die maximale Energie wird am äusseren Rand im Abstand r 0 vom Zentrum erreicht, T max = p2 max 2m = (Zer 0) 2 2m Diese eziehung gilt für Geschwindigkeiten v << c, d h im nicht-relativistischen Grenzfall "Dee" "Dee" Strahl S Abbildung 53: Arbeitsprinzip eines Zyklotrons (siehe Text für weitere Details) Ablenkplatte Hochfrequenzgenerator 5432 Massenspektrometer 55

6 Für die analytische Chemie ist es oft wichtig, die Masse von Molekülen oder deren estandteilen bestimmen zu können Dazu dient das Massenspektrometer Die Moleküle werden zunächst in einer onenquelle in geladene onen verwandelt, und dann in einem elektrischen Feld beschleunigt Durchläuft das on (Ladung Ze) eine Spannungsdifferenz V, so hat es anschliessend eine kinetische Energie von m 2 v2 = Ze Ed r = ZeV Die beschleunigten onen passieren dann ein homogenes Magnetfeld, das normal zu v steht Misst man den Krümmungsradius der ahn so kann man, falls Ladung, V und bekannt sind, die Masse bestimmen: r = mv Ze, m = 2 Zer2 2V Magnetfeld + _ konz NaCl-Lösung =0 Stabmagnet V + _ + onenstrom _ F L Schiffchen (a) (b) (c) Abbildung 54: Zwei Vorlesungsversuche, die den Einfluss der Lorentz-Kraft auf stromführende Leiter zeigen sollen Links: Die von einem Strom durchflossenen Metallstreifen werden je nach Stromrichtung im Feld eines Stabmagneten verschieden abgelenkt Rechts: Die Lorentz-Kraft wirkt auch auf den onenstrom in der Kochsalzlösung Der schwimmende Ring (Schiffchen mit Fähnchen) ändert den Drehsinn beim Umpolen der Stromrichtung 5433 Kraft auf einen stromführenden Leiter Die von einem Magnetfeld erzeugte Lorentz-Kraft wirkt auch auf Ladungen, die sich in einem Leiter bewegen (Abbildung 54) Die Stärke der Kraft lässt sich aus der Stromstärke und dem Magnetfeld berechnen m Linienelement d l des gezeichneten Leiterstücks befinden sich dq = ρdv = ρadl Ladungen, wenn ρ die als über den Leiterquerschnitt A als konstant angenommene Ladungsdichte ist dq lässt sich über die Stromdichte j und deren Zusammenhang mit der Ladungsdichte (v ist die Geschwindigkeit der Ladungen) mit dem Strom in Verbindung bringen: 56

7 = ja = ρva, dq = va Adl = v dl Der eitrag d F von d l zur Lorentz-Kraft ist dann df ( = dq v ) = ( v dl v d ) l dl ( = d l ) 1 v dl 2 Für das gesamte Leiterstück zwischen den Punkten 1 und 2 ergibt sich dann durch ntegration F L = 2 1 ( d l ) 5434 Kräfte zwischen zwei parallelen Leitern Ein stromführender Leiter erzeugt ein Magnetfeld Durch dieses Magnetfeld wirkt eine Lorentz- Kraft auf einen zweiten stromführenden Leiter Dessen Magnetfeld führt ebenfalls zu einer gleichgerichteten Lorentz-Kraft auf den ersten Leiter Die magnetische nduktion des Stroms 1 am Ort des Leiters 2 (im Abstand d) ist 1 = µ 0 1 2πd Die dazugehörige Kraft auf ein Leiterelement d l 2 ist d F L2 = 2 ( d l 2 1 ), df L2 = 2 dl 2 1 = µ dl 2 2πd d l d 2 df L Die Kraft pro Längeneinheit des zweiten Leiters ist df L2 dl 2 = µ πd Vertauschen der Rolle von Leiter 1 und 2 ergibt für die Kraft pro Längeneinheit des ersten Leiters df L1 = µ 0 l 2 dl 1 2πd Für parallele Ströme finden wir anziehende Kräfte, für antiparallele Ströme abstossende Die gesetzliche Definition der asiseinheit für den elektrischen Strom, Ampère, und damit auch derjenigen für die Ladung, Coulomb, beruht auf dieser eziehung Für zwei gleiche Ströme l = 2 = 1 A und einen Abstand von d = 1 m berechnen wir eine Kraft pro Längeneinheit von N/m, wie dies die Definition (Abschnitt 151) erfordert Die Wahl dieses Systems von Einheiten legt die nduktionskonstante auf den oben angegebenen Wert µ 0 = 4π 10 7 (Vs)(Am) fest Elektrische Kräfte treten nicht auf, da die Leiter nicht geladen sind 57