DIE FILES DÜRFEN NUR FÜR DEN EIGENEN GEBRAUCH BENUTZT WERDEN. DAS COPYRIGHT LIEGT BEIM JEWEILIGEN AUTOR.

Transkript

1 Weitere Files findest du auf DIE FILES DÜRFEN NUR FÜR DEN EIGENEN GEBRAUCH BENUTZT WERDEN. DAS COPYRIGHT LIEGT BEIM JEWEILIGEN AUTOR.

2 Energie E= 1 Q r 4 r 2 r F = E q W 12 =Q E ds U 12 = E ds U 12 =E 12 /Q Verbraucherzählpfeilsystem Spannungspfeil von + nach hat einen positiven Zahlenwert. Verbraucher erhält Energie. (offizielle Konvention in der Elektrotechnik) Widerstand R/ Leitwert G / Stromdichte S R= l / A G=1/ R S= I / A (A=Kontrollfläche) = 2 [1 2 ] (Tabelle siehe Skript S.34) =1/ (el. Leitfähigkeit) Einige Werte: Cu = Al = Rückleitung berücksichtigen! Bei einem Spannungsteiler (siehe Rechts) beträgt der Innenwiderstand bzgl. des Ausgangs Ua R i = R 2 R 1 Ue := Spannung/Strom I =dq /dt (Stromrichtung = Richtung der positiven Ionen) Spannungsquellen dürfen nicht parallel, (ideale) Stromquellen nicht in Serie geschaltet werden! Eine Stromquelle muss immer eine Mindestbelastung haben ( U ), Kurzschluss möglich (U=) Quellenumwandlung I + paralleler Widerstand = U + serieller Widerstand I q = U q / R i Spannungsteiler U i unbelastet: = R i U tot R 1 R 2 belastet: U 2 ' = R ' 2 U tot R 1 R 2 ' ( R 2 '=R 2 R Last ) S.62 Leistung/Arbeit P=dW /dt=u I=R I 2 Max. Leistung an Last: R i = R L Reale Spannungsquelle: Leistung der idealen Spannungsquelle= P =P i P L Wirkungsgrad: = P nutz P gesamt Linearisierung/Ersatzschaltung Ersatzschema eines linearisierten Kurvenabschnitts U I =U q I R i (Ersatzwiderstand kann auch negativ sein) Diode Shockley-Modell: I D =I S e U D e ' k T 1 (S=Sperr, D=Durchlass, k=1.387*1-23 VAs/K, e'=1.622*1-19 As, T=Temperatur) andere Darstellung: I D =I S e U D/ U T 1 ZENER-Diode (S.75): ab einer bestimmten Spannung U Z in Sperrrichtung wird die Diode leitend. (Ersatzschaltbild: siehe Linearisierung, R Z = U Z I Z max U z I Z max ) mmueri@ee.ethz.ch V 1.4 1/7

3 Bsp: Schutz vor falscher Polarität: Metalloxid-Ableiter (Varistor) spannungsabhäniger Widerstand (ähnlich ZENER-Diode, allerdings im -Punkt symmetrisch) Bipolartransistor I C =B I B I E = B 1 I B Ersatzschaltbild & Beispiele siehe S Ersatzschaltbild: R B Ist U early gross, so gilt G CE = u T B*I B Kondensator Strom: I C =C U C Energie: W C =1/ 2C U C 2 Ladung: Q=C U C =R C U C = A B e t / RC I C =D e t / RC t= U C =A B I C =D t= U C = A I C = Serieschaltung: I =I 1 = I 2 =...=I n, U =U 1 U 2... U n, 1/C=1/C /C n Parallelschaltung: I =I 1 I 2... I n, U =U 1 =U 2 =...=U n, C=C 1 C 2... C n Bei Umladungen mit Q=CU=c rechnen! Beim CRC-Kreis hängt die verlorene Energie nicht von R ab! t / U C =U C U C U C e I C =C U U C C e t / Zeitkonstante: R aus Sicht des Kondensators/Spule zusammenfassen! Spule Spannung: U L = L I L Energie: W L =1 /2 L I L 2 I L = A B e t R/ L U L = D e t R / L t= I L = A B U L =D t= I L = A U L = Serieschaltung: I =I 1 = I 2 =...=I n, U =U 1 U 2... U n, L=L 1 L 2... L n Parallelschaltung: I =I 1 I 2... I n, U =U 1 =U 2 =...=U n, 1/ L=1/ L / L n Ein Ladevorgang gilt als abgeschlossen, wenn der Fehler < 1% ist. Momentanleistung: p= W t = L I 2 L 2 t T=RC (t ist die Zeit, zu der der Vorgang als abgeschlossen gilt) =L / R mmueri@ee.ethz.ch V 1.4 2/7

4 RL-Kreis U q -U L -U R = I L = U q R 1 e t / (Lösung der inhomogenen Diff-Gl. siehe S.98ff) Operationsverstärker (OpAmp) v= U e = I e = Invertierer: U A U E = R 2 R 1 U e U E U A Nichtinvertierender OpAmp Addierer: U A = R 2 U i R i Spannungsfolger: U A=U E (S.18) Differenzverstärker: U A = R 2 R 1 U E2 U E1 Es muss gelten R 1 =R 3 und R 2 =R 4 U E1 U E2 Integrierer: U A = 1 C R U E U A (U A=Anfangsspannung des Kondensators) Differenzierer: U a = C R U e mmueri@ee.ethz.ch V 1.4 3/7

5 Netzwerke Graph: Baum: (keine Maschen) Äste z B =k 1 Sehnen s=m= z z B Netzwerkanalyse Maschenstromverfahren 1. Quellenumwandlung Alle Strom- in Spannungsquellen umwandeln 2. Baum festlegen Baum, Äste & Sehnen definieren Maschen = Sehnen = Zweige Knoten + 1 Äste = Zweige - Sehnen 3. Zweige definieren Zweige nummerieren & Stromrichtung festlegen Umlaufrichtung einer Masche = Stromrichtung in der Sehne 4. Zweigimpedanzmatrix Z z Diagonalmatrix mit Widerständen aller Zweige 5. Zweig-Sehnen-Inzidenzmatrix A Ströme durch Maschenströme (Bsp: I 1, I 5 ) ausdrücken [I 1 I Bsp: 2 n]=[ I......] [ I 1 I 5] 6. Maschenimpedanzmatrix Z m Z m=a T *Z z*a 7. eingeprägte Maschenspannungen U qm 8. Maschenströme I m Z m*i m=u qm I m =Z m -1 *U qm 9. Zweigströme I z I z =A*I m 1. Zweigspannungen U Z total U Z total =Z z I z +U qz U qm=-a T *U qz =[ Zweigspannungsquellen U qz U q1 U q1 Bsp: U q z U q3 U q2]=[ ] U I 1 R 4 U q2 q m=[ U q1 U q2 I 1 R 4] mmueri@ee.ethz.ch V 1.4 4/7

6 Knotenpotentialverfahren Netzwerk enthält nur spannungsgesteuerte Quellen 1. Quellenumwandlung Alle Spannungs- in Stromquellen umwandeln 2. gerichteter Graph -Knoten definieren, Quellen weglassen, Zweige nummerieren 3. Admittanzmatrix G Diagonalmatrix mit Leitwerten (G n=1/r n) der Zweige 4. Zweigknoteninzidenzmatrix A Zweige & zugehörige Knoten (ohne Referenz ) Bsp: A=[ 1 1 ] Zweig 1: Knoten 1-2 Zweig 2: Knoten 2-3 Zweig 3: Knoten Knotenadmittanzmatrix Y Y=A*G*A T Bsp: Y =[G 1 G 4 G 1 G 1 G 1 G 2 G 5 G 2 G 2 G 2 G 3] 6. Knotenpotentiale V V=Knotenpotentiale, I kq = Knotenströme von Quellen Bsp: positiv: in den Knoten I I kq hineingehend =[ q 4 I q 3 U q 2 / R 2] Achtung: U q 2 / R 2 = I q 2 I kq =Y V V =Y 1 I kq kommt eine ideale Stromquelle vor, kann ein paralleler Widerstand R eingeführt werden. Wenn Y aufgestellt wurde, lässt man R (e.g. G ) und erhält so das Resultat. Kurzes Knotenpotentialverfahren Direktes Aufstellen der Knotenadmittanzmatrix Y: Die Hauptdiagonalelemente y i i sind die Summe der am Knoten i angeschlossenen Leitwerte Jedes Nicht-Diagonal-Element y i k ist der negative Leitwert zwischen den beiden Knoten i und k mmueri@ee.ethz.ch V 1.4 5/7

7 Erweitertes Knotenpotentialverfahren Netzwerk enthält auch nicht-spannungsgesteuerte Quellen, BJT's, etc. Y r B T Y C e r =A r G A r D V I e = I kq A r enthält nur resistive Zweige B enthält alle Ströme mit anderen Strom-Spannungsbeziehungen C enthält Beziehungen zwischen Knotenpotentialen V und Quellenspannungen e D enthält alle restlichen Beziehungen I e enthält gesteuerte und unbestimmte Ströme I kq ist der Stromquellenvektor e ist der Spannungsquellenvektor zwischen 2 Knoten befindet sich immer ein Netzwerkelement Bsp: Schaltung mit einem BJT-Transistor resistive Zweige: Zweig 5&6 enthalten ideale Spannungsquellen (Strom einführen), I 7 =K I 6 I 1 =G 1 V 1 I 2 =G 2 V 2 I 3 =G 3 V 3 G 3 V 2 I 4 =G 4 V 3 G 4 V 4 Matrixschreibweise: 1 1 G1 G 2 G 3 G 3 1 G 3 G 3 G 4 G 4 1 G 4 G 4 1 V 1 V 2 V 3 V 4 I 5 I 6 I 7 = Ströme in Knoten 1 Ströme in Knoten 2 Y r B V I e T = I kq zusätzliche GL: V 3 =U q5 V 1 V 2 =U q6 K I 6 I 7 = K 1 V I e = U q5 U q6 Gleichungssystem: C D V I e T =e 1 G1 1 G 2 G 3 G 3 1 V 2 G 3 G 3 G 4 G 4 1 V 3 G 4 G 4 1 V 4 1 I U q U q6 K 1 V I 6 I 7 = mmueri@ee.ethz.ch V 1.4 6/7

8 Schwingkreis U =U L U C U R C u=lc ï RC i i die partikuläre Lösung ist abhängig von u(t) homogene Lösung: 1, 2 = R 2 L ± R 2 2 L 1 L C det(chp(λ)) > i t =A e 1t B e 2t det(chp(λ)) = i t = A B t e t det(chp(λ)) < i t = Acos t B sin t e D t Allgemeines Vorgehen bei der Berechnung eines Schwingkreises 1. Aufstellen der Elementgleichungen für jedes Element im Netzwerk 2. Maschen- & Knotengleichungen aufstellen 3. Aufstellen der Differentialgleichungen (Substitutionen durchführen) 4. Lösen der Differentialgleichung (homogene Lösung, partikuläre Lösung, Anfangsbedingungen) mmueri@ee.ethz.ch V 1.4 7/7