Elektrizitätslehre 3. Elektromagnetische Felder Feldenergie und -kräfte

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1 Elektrizitätslehre 3 Elektromagnetische Felder Feldenergie und -kräfte Martin Schlup, Prof. 3. August 2015 Inhaltsverzeichnis 1. Einleitung 2 2. Feldenergie Energiedichte des elektrischen Felds Energiedichte des magnetischen Felds Feldkräfte Elektrische Feldkräfte Beispiele Allgemeiner Zusammenhang Magnetische Feldkräfte Beispiel Elektromagnet Allgemeiner Zusammenhang A. Analogien 13 B. Brechung der Feldlinien an Grenzschichten 16 B.1. Leitungsstromdichte B.2. Elektrostatische Felder B.3. Magnetostatische Felder

2 1. Einleitung 1. Einleitung Beim Aufbau von elektrischen und magnetischen Feldern wird Energie gebunden: Die Spannung über Kondensatoren oder die Stromstärke in Spulen können keine sprungartige Veränderungen machen, da dies mit dem Aufbau einer Ladung zusammen mit einem elektrischen Feld im einen und eines magnetischen Flusses mit einem magnetischen Feld im anderen Fall verbunden ist. Es ist daher naheliegend, nach der mit den Feldgrössen elektrische Feldstärke E und magnetische Flussdichte oder Induktion 1 B gekoppelten Energie, bzw. Energiedichte zu fragen. Es stellt sich dabei heraus, dass in diesem Zusammenhang auch Erkenntnisse über Feldkräfte gewonnen werden können. Solche Kräfte erscheinen an Materialgrenzen, z. B. zwischen Luft und einem Isolator oder an den Stirnseiten von Elektromagneten zwischen Eisen und Luft. Zusätzlich können in diesem Zusammenhang auch Brechungsgesetze für die Feldlinien angegeben werden. Es werden hier nur statische und quasistatische elektrische und magnetische Felder betrachtet, bei denen es nicht zu elektromagnetischer Abstrahlung kommt. 2. Feldenergie Als Ausgangslage für die folgenden Überlegungen wird der Energiestrom dw/dt an den Klemmen eines Zweipols (idealisierter Plattenkondensator oder Elektromagnet mit ferromagnetischem Kern) betrachtet. Dieser kann bei einem Verbraucherpfeilssystem aus der Klemmenspannung u(t) und der Klemmenstromstärke i(t) bestimmt werden: Die im infinitesimalen Zeitschritt dt durch den Zweipol aufgenommene infinitesimale Energiemenge beträgt dw = u(t) i(t) dt. Durch Ausdrücken dieses Energiestroms mit Feldgrössen und nach Integration kann der gesuchte Zusammenhang gefunden werden Energiedichte des elektrischen Felds Als grundlegende physikalische Feldgrösse wird hier die elektrische Feldstärke E betrachtet. Die Hilfsgrösse elektrische Erregung (auch Verschiebungsdichte genannt) D = ɛ E = ɛ r ɛ 0 E wird nur im Zusammenhang mit dem Satz von Gauß 2 aus Bequemlichkeitsgründen verwendet. Wird bei einem Kondensator bei gegebener Spannung u die Ladung um den infinitesimalen Betrag dq = i dt erhöht, so erhöht sich entsprechend die gespeicherte elektrische Energie im Volumen V des Elektrodenzwischenraums 3 des Kondensators um dw = u i dt = u dq. Dieses 1 Die Grössen E und B beschreiben die Stärke der jeweiligen Felder. Die üblicherweise als magnetische Feldstärke bezeichnete Grösse H beschreibt nicht die Stärke des magnetischen Felds und müsste korrekterweise magnetische Erregung heissen. 2 Fluss durch Hüllfläche: E da = Q tot/ɛ, bzw. D da = Q free, wobei Q free die freien Ladungen innerhalb der geschlossenen Fläche sind 3 Im Fall eines idealen Plattenkondensators der Fläche A und des Plattenabstandes l ergibt sich V = A l. 2

3 2. Feldenergie Ergebnis kann in Funktion der Feldgrössen D und E ausgedrückt werden: Spannung: u = E dl = E l Ladungserhaltung: i(t) = dq(t) i(t) dt = dq dt Fluss durch Hüllfläche (Gauß): q = D da q = D A dq = dd A Energiefluss: dw = u i dt = u dq = E l dd A = E ɛ de V bezogen auf das Volumen: dw el = dw/v = E dd = E ɛ r ɛ 0 de Die Energiedichte ergibt sich durch Addition (Integration) der Beiträge dw el w el = E dd (1) und für lineare Materialen bei denen die Permittivitätszahl ɛ r nicht von der Feldstärke abhängt w el = ɛ E de = ɛ r ɛ 0 2 E2 (2) Bemerkungen Die Energiedichte w el ist ein Skalarfeld (zu jedem Punkt des Raums gehört eine Zahl). Sie hängt von der elektrischen Feldstärke und von der Polarisation des Materials ab. Ihre Einheit ist [w el ] = J/m 3. Im Vakuum gilt ɛ r = 1 und somit w el = ɛ 0 2 E 2 Auch wenn hier die Überlegungen an Hand des Beispiels eines Kondensators gemacht wurden, es gilt allgemein: Jedes elektrische Feld trägt Energie mit der Dichte gemäss den Gleichungen (1) und (2). Für anisotrope Medien 4 muss für die Energiedichte folgende allgemeingültige Formel verwendet werden (Skalarprodukt der Feldgrössen): w el = Beispiel: Energiegehalt eines Kondensators E 0 E dd Der Vergleich der Feldenergie eines Plattenkondensators nach Gleichung (2) mit der Energieformel zeigt, dass in einem geladenen Kondensator die gespeicherte Energie im Feld steckt: ɛ W el = w el dv = 2 E2 dv = ɛ 2 E2 V = ɛ 2 E2 A l W kond = 1 2 q u = 1 2 Cu2 = 1 2 ɛa l (E l) 2 = ɛ 2 E2 A l 4 bei denen die Richtungen der Feldvektoren E und D nicht übereinstimmen 3

4 2. Feldenergie 2.2. Energiedichte des magnetischen Felds Als grundlegende physikalische Feldgrösse wird hier die magnetische Flussdichte oder Induktion B betrachtet. Die Hilfsgrösse magnetische Erregung 5 H (es gilt: µ H = µ r µ 0 H = B) wird nur im Zusammenhang mit dem Durchflutungsgesetz 6 aus Bequemlichkeitsgründen verwendet. Die Energiedichte eines magnetischen Felds kann analog zu den Betrachtungen beim elektrischen Feld bestimmt werden, wobei hier insbesondere das nichtlineare Verhalten von ferromagnetischen Materialien berücksichtigt werden muss. Unter der Annahme, dass der Zweipol die zugeführte Energie mit dem magnetischen (Verkettungs)-Fluss ψ = N φ in einem Volumen bestehend aus einem ferromagnetischen Material (V F e = A l F e ) und einem Luftspalt (V L = A l L ) speichert, kann mit den folgenden Gesetzen die Energiedichte bestimmt werden: Induktionsgesetz: u = dψ dt = N dφ dt = N A db dt H l F e + H L l L Durchflutungsgesetz: H dl = N i i = N dw = u i dt = i dψ dw = H db A l F e + H L db A l L = H db V F e + B µ 0 db V L Integration: W = W F e + W L = V F e H db + V L B 2 Für die Energiedichte ergibt sich in Luft (µ r = 1) oder im Vakuum 2 µ 0 w mag = 1 2 µ 0 B 2 (3) und für ferromagnetische Materialien (µ r von der Stärke des Felds abhängig): w mag = H db (4) Das Integral (4) kann nur mit Kenntnis der Magnetisierungs- oder Hysteresekurve des Materials bestimmt werden. Im Fall der einmaligen Ummagnetisierung eines ferromagnetischen Kerns entspricht das geschlossene Integral H db der Fläche innerhalb der Hystereseschleife (siehe Beispiel 2). Bemerkungen Die Energiedichte w mag ist ein Skalarfeld (zu jedem Punkt des Raums gehört eine Zahl). Sie hängt von der Stärke des magnetischen Felds und von der Magnetisierung des Materials ab. Ihre Einheit ist [w mag ] = J/m 3. Träger der gesamten in einem magnetischen Kreis gespeicherten Energie ist offenbar das magnetische Feld: Jedes magnetische Feld trägt Energie mit der Dichte gemäss den Gleichungen (3) oder (4). 5 auch inkorrekterweise magnetische Feldstärke genannt 6 Umlaufintegral: B ds = µ 0 I tot, bzw. H ds = I, wobei I tot sämtliche Stromstärken, d. h. inklusive die Molekularströme, welche für die Magnetisierung des Materials verantwortlich sind, und I die Summe der Leitungs- und Verschiebungsstromstärken durch die geschlossene schleife sind 4

5 2. Feldenergie Für anisotrope Medien 7 muss für die Energiedichte folgende allgemeingültige Formel verwendet werden (Skalarprodukt der Feldgrössen): w mag = Beispiel 1: Energiegehalt einer linearen Spule B 0 H db Der Vergleich der Feldenergie einer linearen (eisenlosen) Spule nach Gleichung (3) mit der Energieformel zeigt, dass in einer stromdurchflossenen, zylindrischen Spule die gespeicherte Energie im Magnetfeld steckt 8 : 1 W mag = w mag dv = B 2 dv = 1 B 2 V = 1 B 2 A l 2µ 0 2µ 0 2µ 0 W spule = 1 2 ψ i = 1 2 Li2 = 1 µ 0 N 2 ( ) A H l 2 = 1 ( ) B 2 2 l N 2 µ 0A l = 1 B 2 A l 2µ 0 Beispiel 2: Ummagnetisierungsenergie, Hystereseverluste Für den magnetischen Kreis aus Abb. 1 wechselt bei einem Wechselstromverlauf der Stromstärke i(t) die magnetische Erregung H(t) periodisch zwischen zwei Extremwerten. Dabei verhält sich das resultierende magnetische Feld B(t) im Kernmaterial bei zunehmendem H(t) nicht gleich wie bei abnehmendem, es ergibt sich die Hysterese aus Abb. 2. µ 0 Abbildung 1: Magnetischer Kreis ohne Luftspalt Die im Material aufgenommene Energie beim Verlauf vom Punkt (1) zum Punkt (2) der Hysteresekurve entspricht gemäss der Formel (4) für die Energiedichte folgendem Wert: W 12 = A F e l F e B(2) B (1) H db > 0 Letzteres Integral entspricht der Fläche des Dreiecks (1 2 2 ). Wird nun H wieder abgebaut, Hysterese von (2) nach (3), so ergibt sich für die zurückgewonnene Energie, entsprechend der Fläche des Dreiecks (2 2 3): W 23 = A F e l F e B(3) B (2) H db < 0 (wegen db < 0) 7 bei denen die Richtungen der Feldvektoren B und H nicht übereinstimmen 8 Es wird dabei angenommen, dass das Feld innerhalb des Spulenvolumens V = A l homogen ist und ausserhalb verschwindet. A ist dabei die Spulenquerschnittfläche und l deren Länge. 5

6 2. Feldenergie Die Ummagnetisierungsenergie für eine halbe Periodendauer kann somit durch folgende Beziehung bestimmt werden. A F e l F e (W 12 + W 23 ) Abbildung 2: Gemessene Hysteresekurve des magnetischen Kreises nach Abb. 1 Schnittbandkern aus TRAFOPERM N2, nach DIN 41309: SG 108/19 Blechdicke: 0.33 mm, Kreislänge: l F e = 25.9 cm, Eisenquerschnittfläche: A F e = 2.87 cm 2, Windungszahl: N = 100 Für eine ganze Periode, d. h. einen vollständigen Umlauf der Hysteresekurve, wird also der Hysterese- oder Ummagnetisierungsverlust W H = A F e l F e H db (5) Das Integral kann hier einfach durch Bestimmen der Fläche innerhalb der Hysteresekurve bestimmt werden. Letztere hat die Einheit einer Energiedichte: [w mag ] = VAs/m 3. Wird die Magnetisierung eines ferromagnetischen Materials bis zur Sättigung betrieben, so ist diese Fläche ein Mass für die Ummagnetisierungsenergie der Elementarmagnete dieses Materials. 6

7 3. Feldkräfte 3. Feldkräfte Feldkräfte können mit Hilfe von Energiebetrachtungen relativ einfach bestimmt werden (Prinzip der virtuellen Arbeit). Dabei wird angenommen, dass eine infinitesimale Verschiebung δx gegen die gesuchte Kraft eine entsprechende Arbeit bewirkt. Diese kann durch eine Energiebilanz bestimmt werden. Das erstaunliche an diesem Verfahren ist, dass keine detaillierte Kenntnis über das Zustandekommen der resultierenden Kraft notwendig ist Elektrische Feldkräfte Beispiele Beispiel 1: Plattenkondensator mit konstanter Ladung (ohne Dielektrikum) Um die Kondensatorplatten der Abb. 3 auseinander zu ziehen, muss die Arbeit δw mech = F δx gegen die anziehende Kraft zwischen den geladenen Elektroden geleistet werden. Abbildung 3: Plattenkondensator mit konstanter Ladung Da die Ladungen auf den Elektroden aber konstant bleiben, verändert sich auch die elektrische Feldstärke E zwischen den Platten nicht (Satz von Gauß). Dabei erhöht sich die Feldenergie um δw el = w el δv = w el A δx. Die Energiebilanz liefert durch Gleichsetzen der beiden Energieterme: δw mech = F δx = δw el = w el δv = ɛ 0 2 E2 A δx F = ɛ 0 2 E2 A Der elektrostatische Druck, bzw. die Kraft bezogen auf die Elektrodenfläche beträgt also: p el = F A = ɛ 0 2 E2 = w el (6) Der elektrostatische Druck entspricht formelmässig der Energiedichte des elektrischen Felds! 9 Zum Beispiel könnte die resultierende Kraft durch Superposition der einzelnen Anziehungskräfte unter den Ladungsträgern auf den Elektroden bestimmt werden. 7

8 3. Feldkräfte Beispiel 2: Plattenkondensator an konstanter Spannung (ohne Dielektrikum) Die selbe Überlegung kann bei einem an einer Spannungsquelle angeschlossenen Kondensator gemacht werden. Abbildung 4: Plattenkondensator mit konstanter Spannung Hier allerdings bleibt die Spannung U konstant; dafür nimmt die Feldstärke E infinitesimal um δe, die Kapazität C um δc und damit auch die Ladung Q um δq ab: δc = dc dx δx = ɛ A x 2 δx = C δx x δq = U δc = C U x δx = Q x δx Für die Energiebilanz sind hier drei Anteile zu berücksichtigen: die geleistete (virtuelle) Arbeit δw mech = F δx, die reduzierte Feldenergie im Kondensator, δw kond = 1 2 U 2 δc = 1 2U δq und die von der Quelle aufgenommene Energie δw Q = U δq. Die Gleichspannungsquelle nimmt also hier die geleistete mechanische Energie und die vom Kondensator abgegebene Feldenergie auf. Beide Anteile sind interessanterweise gleich gross. Damit ergibt sich für die Energiebilanz: δw Q = U δq = δw mech + δw el = F δx U δq F = 1 2 U δq δx = 1 2 U Q x = 1 2 E ɛ 0E A = ɛ 0 2 E2 A Der elektrostatische Druck, bzw. die Kraft bezogen auf die Elektrodenfläche beträgt also: Das Ergebnis ist identisch mit Gleichung (6) des 1. Beispiels. p el = F A = ɛ 0 2 E2 (7) 8

9 3. Feldkräfte Beispiel 3: Plattenkondensator mit konstanter Ladung und beweglichem Dielektrikum Das Prinzip der virtuellen Arbeit erlaubt es eine resultierende Kraft korrekt zu bestimmen ohne nach ihrer Ursache zu suchen. Dies kann am Beispiel eines Kondensators mit beweglichem Dielektrikum illustriert werden, wo gezeigt werden kann, dass z. B. flüssige Dielektrikum zwischen die Kondensatorplatten hineingezogen wird. Die Kapazität der in Abb. 5 dargestellten Abbildung 5: Plattenkondensator mit konstanter Ladung und beweglichem Dielektrikum Anordnung beträgt l x C(x) = ɛ r ɛ 0 d + ɛ l (l 0 x) 0 d Die Symbole d und l bezeichnen dabei der Plattenabstand und die Plattenbreite senkrecht zur Zeichnungsebene. Für die Plattenfläche ergibt sich: A = l l 0. Damit kann die Änderung der Kapazität infolge (virtueller) Verschiebung des Dielektrikums bestimmt werden: ( l l ɛ r ɛ 0 δc = dc dx δx = d ɛ 0 d ) δx = (ɛ r 1) ɛ 0 l d δx Bei konstant gehaltenen Ladungen auf den Plattenelektroden verändert sich auch die Spannung δu = du d(q/c) δc = dc dc dc dx δx = Q C 2 (ɛ l r 1) ɛ 0 d δx und damit ergibt sich für die Feldenergieänderung δw el = d(uq/2) δu = 1 ( ) Q 2 du 2 Q δu = 1 l (ɛ r 1) ɛ 0 2 C d δx = 1 2 U 2 l (ɛ r 1) ɛ 0 d δx = 1 2 E2 d 2 l (ɛ r 1) ɛ 0 d δx = 1 2 E2 (ɛ r 1) ɛ 0 l d δx Die Energiebilanz liefert für die Kraft F auf das Dielektrikum: δw mech = F δx = δw el = 1 2 E2 (ɛ r 1) ɛ 0 l d δx F = (ɛ r 1) ɛ 0 2 E2 l d 9

10 3. Feldkräfte Der elektrostatische Druck auf die Stirnseite des Dielektrikums beträgt also: p el = F l d = (ɛ r 1) ɛ 0 2 E2 (8) Das Dielektrikum wird in den Zwischenraum hineingezogen. Das selbe Ergebnis erhält man auch bei konstant gehaltener Spannung. Die Beziehung (8) ist aber verschieden von den Gleichungen (6) und (7), da hier die Kraftrichtung senkrecht zu den Feldlinien und nicht patallel dazu verläuft Allgemeiner Zusammenhang Für den elektrostatischen Druck (oder Zugspannung) an der Materialgrenze (siehe Anhang B, Brechungsgesetz 11) zwischen zwei Dielektrika mit den Permittivitätszahlen ɛ 1 und ɛ 2 lässt sich folgende allgemeingültige Formel herleiten: p eln = df n da = ɛ 2 ɛ 1 E 1 E 2 = ɛ 2 ɛ ( E1t 2 + ɛ ) 1 E1n 2 ɛ 2 E 1t und E 1n sind dabei bezüglich der Materialgrenze die Tangential- (Quer-) und Normal- Komponenten des Vektors der elektrischen Feldstärke E 1 im Medium 1. Die Kraft steht senkrecht auf der Materialgrenze und ist vom Medium mit der grösseren zum Medium mit der kleineren Permittivität gerichtet. Für den Sonderfall der Grenzfläche zwischen einem Isolator (ɛ 2 = ɛ 0 ɛ r ) und Luft (ɛ 1 = ɛ 0 ) ergibt sich p eln = df n da = ɛ 0 (ɛ r 1) ( ɛr Et 2 + E 2 ) n 2 ɛ r wenn E t und E n die Komponenten der elektrischen Feldstärke im Luftraum bezeichnen. Sind die Feldlinien senkrecht zur Grenzfläche (E t = 0), so ergibt sich für die Oberfläche einer Elektrode (ɛ 2 ) das Ergebnis von Gleichung (6): p eln = ɛ 0 2 E2 n Sind die Feldlinien parallel zur Grenzfläche (E n = 0), so ergibt sich das Ergebnis von Gleichung (8): p eln = ɛ 0 2 (ɛ r 1)E 2 t 10

11 3. Feldkräfte 3.2. Magnetische Feldkräfte Beispiel Elektromagnet Abbildung 6: Anziehungskraft eines Elektromagneten Das resultierende magnetische Feld B im Kernmaterial kann auch bei Änderung der Luftspaltbreite l L durch entsprechende Nachführung von i(t) konstant gehalten werden. Da dies ein Gedankenexperiment ist, spielt die technische Realisierbarkeit dieser Regelung hier keine Rolle. Die gesamte im magnetischen Kreis gespeicherte Energie beträgt gemäss Gleichung (4) und der Berücksichtigung der unterschiedlichen Verhältnissen im Eisen und im Luftspalt B 1 W mag = V F e H db + V L db = A l F e H db + A l L B 2 µ 0 2µ 0 Fe L Dabei entspricht das Integral der Fläche des Dreiecks (1 2 2 ) in der Abb. 2. Nach einer virtuellen Verschiebung des Ankers um δx ändert sich die Energie um folgenden Anteil δw mag = dw mag dx δx = dw mag dl L dl L dx δx = A 1 B 2 2 δx 2µ 0 Da durch die Regelung der Stromstärke i(t) die Induktion B im ganzen Magnetkreis konstant bleibt, kann auch keine Energie mit der Quelle ausgetauscht werden 10. Die Energie im Eisen verändert sich daher auch nicht, sie nimmt nur im Luftspalt zu. Die Energiebilanz liefert also folgenden Zusammenhang: δw mech = F δx = δw mag = A 1 2µ 0 B 2 2 δx F = 2 A 1 2µ 0 B 2 Der magnetostatische Druck, bzw. die Kraft bezogen auf die Luftspaltfläche 2A beträgt also: Fe p mag = F 2A = 1 2 µ 0 B Am Vs B2 (9) 10 Ohne Flussänderung bleibt gemäss Induktionsgesetz die Spannung u(t) = 0. 11

12 3. Feldkräfte Bemerkung Ohne die Regelung, welche dafür sorgt, dass die Induktion im Kreis konstant bleibt, verteilt sich die mechanisch zugeführte Energie zwischen Kernmaterial und Luftspalt. Die Induktion nimmt dabei mit zunehmender Luftspaltbreite ab. Dies gilt demzufolge auch für die magnetische Anziehungskraft, welche maximal bei verschwindendem Luftspalt ist Allgemeiner Zusammenhang Für den magnetostatischen Druck (oder Zugspannung) an der Materialgrenze (siehe Anhang B, Brechungsgesetz 12) zwischen zwei isotropen magnetischen Stoffen mit den Permeabilitätszahlen µ 1 und µ 2 lässt sich folgende allgemeingültige Formel herleiten: p eln = df n da = µ 2 µ 1 2 H 1 H 2 = µ 2 µ 1 2µ 1 µ 2 B 1 B 2 = µ 2 µ 1 2µ 1 µ 2 ( µ2 µ 1 B 2 1t + B 2 1n B 1t und B 1n sind dabei bezüglich der Materialgrenze die Tangential- (Quer-) und Normal- Komponenten des Vektors der magnetischen Flussdichte B 1 im Medium 1. Die Kraft steht senkrecht auf der Materialgrenze und ist vom Medium mit der grösseren zum Medium mit der kleineren Permeabilität gerichtet. Für den Sonderfall der Grenzfläche zwischen einem ferromagnetischen Material (µ 2 = µ 0 µ r ) und Luft (µ 1 = µ 0 ) ergibt sich p eln = df n da = 1 (µ r 1) ( µr Bt 2 + B 2 ) n 2µ 0 µ r wenn B t und B n die Komponenten der magnetischen Flussdichte im Luftraum bezeichnen. Sind ausserdem die Feldlinien senkrecht zur Grenzfläche (B t = 0), so ergibt sich für die Oberfläche des ferromagnetischen Materials: p magn = 1 2µ 0 (µ r 1) µ r B 2 n 1 2µ 0 B 2 n Der Unterschied zum Ergebnis gemäss Gleichung (9) ist für grosse Werte von µ r vernachlässigbar und hängt von den vereinfachenden Annahmen bei dessen Herleitung ab. ) 12

13 A. Analogien A. Analogien Die Analogien in der Tabelle 1 sind nicht physikalischer, sondern rein mathematischer Natur (z. B. die magnetische Spannung mit Einheit Ampère hat nichts gemeinsam mit der elektrischen mit Einheit Volt). Ausserdem gelten sie nur unter bestimmten Bedingungen: das Durchflutungsgesetz ist nur bei verschwindender Durchflutung (Θ = I k = 0) mit dem Maschensatz und der Satz von Gauß ist nur für Hüllflächen, welche keine freie Ladungen Q enthalten, mit dem Knotensatz vergleichbar. Abgesehen von der Strukturverwandtschaft des magnetostatischen Feldes mit der Gleichstromlehre, welche die (nichtlineare, graphische) Behandlung magnetostatischer Kreise erlaubt (I Φ, U U m, G Λ), werden diese Analogien zur Bestimmung der Feldverläufe in der Praxis kaum mehr benutzt 11, bieten aber den Vorteil der Anschaulichkeit. Stationäre und quasistationäre Strömungsfelder beschreiben den Fluss von Ladungsträgern (Driftgeschwindigkeit, Stromdichte) unter dem Einfluss der elektrischen Feldstärke. Tabelle 1: Analogien zwischen stationärem oder quasistationärem Strömungsfeld, elektrostatischen und magnetostatischen Feldern stationäres & quasistat. elektrostatisches magnetostatisches Strömungsfeld Feld Feld el. Feldstärke E el. Feldstärke E magn. Feldstärke H (magnetische Erregung) el. Leitfähigkeit γ Permittivität ɛ Permeabilität µ Stromdichte j = γe Verschiebungsdichte D = ɛe magn. Flussdichte B = µh (elektrische Erregung) Spannung U = E ds Spannung U = E ds magn. Spannung U m = H ds Maschensatz: E ds = 0 Maschensatz: E ds = 0 Durchflutungsgesetz: H ds = Θ Stromstärke I = j da Versch.-Fluss Φ D = D da magn. Fluss Φ = B da Knotensatz: j da = 0 Satz von Gauß: D da = Q Quellenfreiheit: B da = 0 Leitwert G = I U Kapazität C = Q U magn. Leitwert Λ = Φ U m Dank der Analogien, können Eigenschaften des Strömungsfelds auf die anderen Felder übertragen werden: Planparallele 3-dimensionale Feldbilder 12 können als 2-dimensionale Strömungsfelder durch Messung der Äquipotentiallinein am Modell (Kohleschichtpapier oder Wassertank) 11 Die Feldbestimmung geschieht heute vorwiegend mit numerischen Methoden (finite Elemente). 12 solche die bei einer Verschiebung senkrecht zur Darstellungsebene ihre Gestalt nicht verändern 13

14 A. Analogien graphisch einfach bestimmt werden, wie z. B. die Brechung der Feldlinien an einer Materialgrenze (siehe Abb. 7), der Streufluss des magnetischen Felds im Luftspalt eines Elektromotors, die Durchschlagsfestigkeit einer Hochspannungsleitung, die Kapazität einer Elektrodenanordnung (siehe Abb. 8) oder die magnetische Anziehungskraft zwischen den Kontaktzungen eines Reed-Relais. Abbildung 7: Brechung der Feldlinien an Materialgrenze horizontal: Feldlinien der Stromdichte, vertikal: Äquipotentialflächen 14

15 A. Analogien Abbildung 8: Elektrostatisches Feldbild an Rand eines Plattenkondensators Bermerkung: Dort wo die Anstände zwischen den Äquipotentiallinien am kleinsten sind (an den Kanten der Elektroden), ist auch die elektrische Feldstärke am höchsten. Die Gesamtkapazität des Kondensators kann hier durch Serie- und Parallelschalten der Kapazitäten der einzlenen Quadrate welche alle dieselbe Kapazität C Q = ɛ r ɛ 0 l aufweisen (l ist dabei die Länge des Kondensators senkrecht zur Zeichnungsebene), unabhängig von ihrer Grösse: C = C Q m/n (hier ist m = 2 24 die Anzahl Stromröhren zwischen den Elektroden und n = 10 die Anzahl Äquipotentiallinien) 15

16 B. Brechung der Feldlinien an Grenzschichten B. Brechung der Feldlinien an Grenzschichten An Grenzschichten werden die elektromagnetischen Feldlinien wegen einiger Kontinuitätsbedingungen gebrochen (siehe Abb. 7). Dies soll hier für stationäre 13 und quasistationäre 14 Stromdichten in Leitern, sowie für elektro- und magnetostatische Felder gezeigt werden. B.1. Leitungsstromdichte Trifft ein Stromdichtefeld auf die Kontaktgrenzschicht von zwei Leitern mit verschiedenen Leitfähigkeiten γ 1 und γ 2, so werden die Feldlinien der Stromdichte j und des entsprechenden elektrischen Feldes (wegen j = γe) an der Trennfläche gebrochen. Dies kann mit folgenden zwei Betrachtungen gezeigt werden: 1. Auf der Kontaktgrenzschicht (Trennschicht) zweier Leiter können sich keine Ladungen ansammeln. Gemäss dem Knotensatz, muss also der Fluss der Leitungsstromdichte j durch jede beliebige, die Trennschicht enthaltende Hüllfläche verschwinden (siehe Abb. 9). j da = j 1 da 1 + j 2 da 2 = j 1n A + j 2n A = 0 Die Normalkomponenten (senkrecht zur Trennschicht) j 1n und j 2n der Stromdichten müssen auf beiden Seiten gleich sein (siehe Abb. 10). Für die entsprechenden Normalkomponenten der elektrischen Feldstärke gilt daher folgende Beziehung: E 1n = γ 2 E 2n γ 1 2. Der Maschensatz entlang des Pfades auf beiden Seiten der Trennschicht (siehe Abb. 9) liefert für das Umlaufintegral: E ds = E ds 12 + E ds 23 + E ds 34 + E ds 41 = E 1t s 12 + U 23 + E 2t s 34 + U 41 = 0 Die Spannungen über der Trennschicht verschwinden (U 23 = U 41 = 0), da die Strecken s 23 und s 41 zur Überquerung der Trennschicht beliebig klein gewählt werden können. Da die Wegstrecken s 12 und s 34 betragsmässig gleich lang sind ( s 34 = s 12 ), müssen die Tangentialkomponenten (parallel zur Trennschicht) E 1t und E 2t des elektrischen Feldes auch gleich sein (siehe Abb. 11). 13 Bei stationären Verhältnissen sind alle Grössen zeitlich konstant (Gleichstrom). 14 Quasistationäre Verhältnisse herrschen bei Wechselstrom (sinusförmiger Verlauf der Grössen, niedrige Frequenzen). 16

17 B. Brechung der Feldlinien an Grenzschichten Abbildung 9: Grenzfläche zwischen zwei Medien Je nach Betrachtung (Strömungs-, elektrostatisches oder magnetostatisches Feld) handelt es sich bei diesen Medien um leiter, Isolatoren, Vakuum oder ferromagnetische Materialien. Abbildung 10: Identische Normalkomponenten der Feldvektoren gilt für Leitungsstromdichte j, Verschiebungsdichte D und magnetische Flussdichte B 17

18 B. Brechung der Feldlinien an Grenzschichten Abbildung 11: Identische Tangentialkomponenten der Feldvektoren gilt für elekrische Feldstärke E und magnetische Feldstärke (magn. Erregung) H Dies bedeutet, dass für die entsprechenden Tangentialkomponenten der Leitungsstromdichte folgende Beziehung gilt: j 1t = γ 1 j 2t γ 2 Mit den Winkeln ϕ k (k = 1, 2) zwischen der Grenzflächennormalen und den Feldlinien in den entsprechenden Medien, erhält man folgende Beziehungen (siehe Abb. 10 und 11): tan ϕ 1 = j 1t j 1n = E 1t E 1n tan ϕ 2 = j 2t j 2n = E 2t E 2n Damit ergibt sich für die Feldlinien der Strömungs- und des elektrostatischen Feldes folgendes Brechungsgesetz für leitende Materialien: B.2. Elektrostatische Felder tan ϕ 1 tan ϕ 2 = γ 1 γ 2 (10) Auf Grund der Analogie zwischen der Stromdichte j mit der Verschiebungsdichte D gilt das Brechungsgesetz nach Gleichung (10) für elektrostatische Felder genau gleich wie für Strömungsfelder. Dabei muss selbstverständlich anstelle der Leitfähigkeit die Permittivität eingesetzt werden: tan ϕ 1 = ɛ 1 = ɛ r1 (11) tan ϕ 2 ɛ 2 ɛ r2 B.3. Magnetostatische Felder Auf Grund der Analogie zwischen der Stromdichte j mit der magnetischen Flussdichte oder Induktion B gilt das Brechungsgesetz analog für magnetostatische Felder: tan ϕ 1 tan ϕ 2 = µ 1 µ 2 = µ r1 µ r2 (12) 18