Ferienkurs - Experimentalphysik 2

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1 Technische Universität München Department of Physics Ferienkurs - Experimentalphysik 2 Montag Daniel Jost Datum 20/08/202

2 Inhaltsverzeichnis Einleitung 2 Mathematische Grundlagen 3 Die Maxwellgleichungen im Vakuum 3 4 Elektrostatik 4 4. Feldgleichungen der Elektrostatik Das elektrostatische Potential Der Kondensator Dielektrika zwischen Kondensatorplatten Der elektrische Strom 9 5. Der elektrische Widerstand und das Ohmsche Gesetz Die Stromleistung Die Kirchhoffschen Regeln

3 2 Mathematische Grundlagen Einleitung Ziel dieses Ferienkurses ist in erster Linie die Wiederholung des Stoffes aus der Vorlesung Experimentalphysik 2 zur Vorbereitung auf die Zweitklausur. Es ist indes unmöglich jedes Detail dieser Vorlesung in angemessener epischer Breite binnen einer Woche gebührend zu würdigen, weswegen zu einem Großteil auf eine eher pragmatische Behandlung des Themengebietes Wert gelegt wird. 2 Mathematische Grundlagen Um in der Elektrodynamik vernünftig rechnen zu können, bedarf es einiger mathematischer Werkzeuge, insbesondere im Hinblick auf Vektoranalysis. Wir beschränken uns auf den dreidimensionalen euklidischen Vektorraum. Definition 2.. Ein Vektorfeld F ordnet jedem Punkt r R 3 einen Vektor F( r) R 3 im Raum zu, also F : { R 3 R 3 r F( r) Definition 2.2. Ein Skalarfed Φ ordnet jedem Punkt r R 3 im Raum ein Skalar λ R zu. { R 3 R Φ : r Φ( r) = λ Die Temperatur innerhalb eines Raumes, kann wunderbar durch ein Skalarfeld angegeben werden. Im Gegensatz zum Vektorfeld wird für jeden Punkt im Raum ein Skalar, sprich eine Zahl, und kein Vektor, also insbesondere keine Richtung angegeben. Um auch in höheren Dimensionen so etwas wie infinitesimale Änderungen in die Raumrichtungen zu verifizieren, bedarf es des Definition 2.3. Nablaoperator in drei Dimensionen, der definiert ist als = Der Nablaoperator ist erst ein Mal für sich genommen ziemlich hilflos und ergibt erst im Kontext Sinn. x y z

4 2 Mathematische Grundlagen Definition 2.4. Sei Φ ein skalares Feld, dann ist R R 3 grad : Φ( r) Φ = der Gradient des Skalarfeldes Φ. Der Gradient eines Skalarfeldes liefert offensichtlich ein Vektorfeld. Dieses Vektorfeld quantifiziert die Änderungsrate sowie die Richtung der größten Änderung des Skalarfeldes. Beispiel: Die Temperaturverteilung in einem Raum kann durch ein Skalarfeld angegeben werden. Der Gradient dieses Skalarfeldes zeigt in jedem Punkt im Raum in die Richtung, in der die größte Temperatur festzustellen ist. Die Änderungsrate gibt an, wie stark sich die Temperatur in Richtung dieses Punktes ändert. Φ x Φ y Definition 2.5. Sei F : R 3 R 3 ein Vektorfeld. Dann nennt man R 3 R div : x F x F( r) F y = F x x + F y y + F z z die Divergenz des Vektorfeldes F. y z Zur Veranschaulichung ein Beispiel: Ein Vektorfeld, das die Geschwindigkeit sich bewegender Luft wiedergibt. Falls sich die Luft in einem bestimmten Gebiet erhitzt, wird das Vektorfeld von diesem Punkt wegzeigen, da die Luft expandiert. Die Divergenz des Vektorfeldes in diesem Punkt ist dann ein positiver Skalar, weil das Gebiet eine Quelle ist. Kühlt sich die Luft hingegen in einem Gebiet ab, so kontrahiert sie und das Vektorfeld wird zu diesem Punkt zeigen. Die Divergenz ist in diesem Fall negativ. Ist die Divergenz eines Vektorfeldes an jeder Stelle Null, dann ist es quellen- und senkenfrei. Definition 2.6. Sei F : R 3 R 3 ein Vektorfeld. Dann nennt man R 3 R 3 F rot : x F z x y F( r) F y = F y z F x z F z x die Rotation des Vektorfeldes F. y z F z F z Φ z F y x F x y 2

5 3 Die Maxwellgleichungen im Vakuum Wenn die Rotation eines Vektorfeldes verschwindet, so nennt man dieses Vektorfeld konservativ. Unter diesen Umständen findet man ein Potential Φ, für das gilt Φ = E () Definition 2.7. Sei F : R 3 R 3 ein Vektorfeld, V R 3 eine dreidimensionale Teilmenge des R 3. Dann gilt: (Satz von Gauß) V F dv = F n da (2) A= V In Worten sagt der Satz von Gauß, dass der Fluss durch eine geschlossene Oberfläche der Summe der Quellen und Senken innerhalb der Oberfläche entspricht. Wie zu erkennen ist, integriert man zunächst über ein Volumen. Die Divergenz im Integranden wandelt das Volumenintegral jedoch in ein Oberflächenintegral, gerade die Oberfläche des angegeben Volumens, um. Prinzipiell lässt sich der Satz auf jedes beliebige Volumen anwenden, kann dabei aber beliebig kompliziert werden. Im Zusammenhang mit der Elektrostatik, in der der Satz für uns am meisten Bedeutung haben wird, sind drei Geometrien nette Anordnung: kugelsymmetrische, zylindrische und planparallele Probleme. Sie sind alle in irgendeiner Art symmetrisch und vereinfachen damit die Berechnungen immens. Gerade planparallele Platten bei Kondensatoren sind durchaus geläufig. Definition 2.8. Sei F : R 3 R 3 ein Vektorfeld, A R 3 eine zweidimensionale Teilmenge des R 3. Dann gilt: (Satz von Stokes) A F d A = A F d s (3) Dieser Satz wird morgen noch ein Mal wichtig, sei aber an dieser Stelle schon ein Mal erwähnt. 3 Die Maxwellgleichungen im Vakuum Im Rahmen dieses Ferienkurses ist eine anderen Herangehensweise an das Thema der Elektrodynamik diskutiert worden. Während in der Vorlesung die Herleitung der An dieser Stelle sei auf Walter Lewin verwiesen courses/physics/8-02-electricity-and-magnetism-spring-2002/video-lectures/ lecture-3-electric-flux-and-gausss-law/, der einen sehr anschaulichen Einstieg für die Verwendung des Satzes von Gauß in der Elektrodynamik liefert. 3

6 4 Elektrostatik Maxwellgleichungen zunächst über die Bestimmung der Coloumbkraft zur Definition eines elektrischen Feldes und den Feldgleichungen der Elektrostatik führt usw., überlegen wir uns vom vollständigen Satz der Maxwellgleichungen, die wir als vom Himmel gefallen betrachten wollen, zunächst die statischen Fälle. Diese deduktive Herangehensweise soll einer größeren Übersichtlichkeit dienen. Definition 3.. Die Maxwellgleichungen im Vakuum lauten ρ( r, t) E( r, t) = B( r, t) E( r, t) = ɛ 0 t B( r, t) = 0 E( r, t) B( r, t) = µ0 j( r, t) + c 2 t (4) (5) Die Konstanten ɛ 0 und µ 0 sind mit der Lichtgeschwindigkeit durch c 2 = ɛ 0 µ 0 verknüpft. Die Größe j ist die Stromdichte, ρ die Raumladungsdichte. Zusätzlich zu diesen vier elementaren Grundgleichungen der Elektrodynamik findet man die Kraft, die auf ein Teilchen der Ladung q in einem elektromagnetischen Feld wirkt, als F = q ( E + v B) (6) Die Kontinutitätsgleichung ist eine weitere Folgerung aus den Maxwellgleichungen, die man erhält, wenn man die vierte Gleichung von links mit dem grad multipliziert. ρ t + j = 0 (7) In Worten bedeutet sie, dass Ladungen weder erzeugt noch vernichtet werden können. Diese sechs Gleichungen bilden die Grundlage der klassischen Elektrodynamik. Anfänglich interessant sind die stationären Fälle, also die Elektro- und Magnetostatik. Die Maxwellgleichungen sind lineare Differentialgleichungen erster Ordnung. Die Lösungen dieser Differentialgleichungen, also die elektrischen und magnetischen Feldern, unterliegen daher dem Superpositionsprinzip. Das gilt auch für alle linearen Zusammenhänge zwischen diesen Lösungen und anderen Größen. 4 Elektrostatik 4. Feldgleichungen der Elektrostatik Betrachtet man in 3. die Fälle, in denen die Ladungsdichte sowie die Stromdichte zeitlich konstant sind, also ρ( r, t) = ρ( r) ρ/ t = 0 und j( r, t) = j( r), entkoppeln sich elektrisches und magnetisches Feld, da deren Zeitableitungen verschwinden, und 4

7 4 Elektrostatik man erhält die Feldgleichungen der entsprechenden statischen Spezialfälle. Für die Elektrostatik also insbesondere: E = ρ ɛ 0 E = 0 (8) In der Übung wird gezeigt werden, dass das elektrische Feld, das von einer Ladung q im Ursprung verursacht und nach 8 der Differentialgleichung gehorcht, mit V EdV = E( r) = V ρ ɛ 0 dv (9) q 4πɛ 0 r 2 e r (0) als Lösung der Differentialgleichung bestimmt ist. Dieses Resultat ergibt sich, durch geschickte Wahl des Gaußvolumens und der Anwendung des Satzes von Gauß in 9. Für die rechte Seite erhält man dann V ρ/ɛ 0dV = q/ɛ 0. Der Satz von Gauß liefert bereits einen Ausdruck für den Fluss durch eine Oberfläche. Man definiert im Zusammenhang mit elektrischen Feldern den elektrischen Fluss Φ el = E da () A Aus 0 ergibt sich dann die Coulombkraft für zwei Punktladung q,q 2 im Abstand r F( r) = q E(q2, r) = q q 2 4πɛ 0 r 2 e r Das ist nun eine eher heuristische Herleitung dieser Kraft, die im Prinzip der Argumentation aus der klassischen Mechanik folgt 2.Ferner gilt für die Coulombkraft das Superpositionsprinzip, das sich, wie bereits im vorherigen Abschnitt beschrieben, aus der Linearität der Maxwellgleichungen ergibt. Es gilt für das Gesamtfeld E am Punkt R, das von n Ladungen erzeugt wird, also E( R) = n k= Ek = 4.2 Das elektrostatische Potential n k= q k ( R rk ) (2) 4πɛ 0 R rk 3 Nach 8 ist die Rotation des E-Feldes Null. Das heißt nach dem im ersten Kapitel formulierten mathematischen Formalismus, dass ein Potential mit Φ = E (3) 2 F( r) = G Mm r 2 e r g = G M r 2 e r 5

8 4 Elektrostatik existiert. Einsetzen in die Feldgleichung liefert die Poissongleichung 2 Φ = ρ ɛ 0 (4) die zulässt aus einer Ladungsverteilung ρ das zugehörige Potential zu rekonstruieren. Für die Punktladung erhält man nun also mit 0 Φ( r) = E d r = Die Potentialdifferenz zwischen zwei Punkten U := Φ( R ) Φ( R2 ) = E dr = R2 q 4πɛ 0 r (5) R E( r) d r (6) wird Spannung genannt. Analog zur klassischen Mechanik, kann man mit dem elektrostatischen Potential die potentielle Energie berechnen, die eine Probeladung q am Punkt r besitzt bzw. bei konstantem Potential: 4.3 Der Kondensator dw pot = Φ dq (7) W pot = q Φ (8) In der Elektrostatik begegnet man sehr häufig Problemen mit Kondensatoren. Zunächst handelt es sich dabei um zwei entgegengesetzt geladene Leiterplatten, die in der Lage sind, Ladungen zu speichern. Auch wenn man sehr häufig Plattenkondensatoren begegnet, ist die Geometrie der Platten nicht darauf beschränkt. Der Zusammenhang Abbildung : Bsp.: Plattenkondensator zwischen diesen Größen kann durch die elektrische Kapazität 3 3 Kapazität von lat. capacitas = Fassungsvermögen 6

9 4 Elektrostatik C = Q U (9) ausgedrückt werden. Ein sehr einfacher und häufig behandelter Fall ist der Plattenkondensator. An eine Spannungsquelle werden zwei parallel ausgerichtete Platten mit dem Abstand d der Fläche A angeschlossen. Die Kapazität ergibt sich zu C = ɛ 0 A d (20) Dieses Ergebnis wird in der Übung anhand eines Beispiels mittels Satz von Gauß berechnet. Für die Kapazität C von Kondensatoren gilt insbesondere in Parallelschaltung und in Reihenschaltung C = C k k C = k Die Energie, die im elektrischen Feld zwischen den Kondensatorplatten gespeichert ist, kann man berechnen, indem man sich überlegt, wie groß die Arbeit ist, die man benötigt, um die Ladung einer Platte vollständig zu entnehmen, also mit 7 C k dw = U dq Einsetzen von 9 liefert E = Q Q2 dq = C 2C = 2 CU2 = QU (2) Dielektrika zwischen Kondensatorplatten Ein Dielektrikum ist ein Material, das elektrisch nichtleitend ist, das heißt, ein Material, bei dem potentielle Ladungsträger (Elektronen) an die Atomrümpfe stark gebunden sind und sich nicht innerhalb des Dielektrikums frei bewegen könne. Das ist hilfreich, da man es zwischen Kondensatorplatten schieben kann, ohne einen Kurzen zu riskieren. Was passiert nun aber mit dem elektrischen Feld? Nach 6 übt es in jedem Fall eine Kraft auf die Elektronen aus. Da sie sich aber nicht hinreichend frei bewegen können, werden sie sich innerhalb des Atoms vermehrt auf einer Seite aufhalten, es bilden sich kleine Dipole innerhalb des Dielektrikums, (betrachte Abbildung 2), die sich energetisch günstig ausrichten. Dadurch wird ein elektrisches Feld induziert, das dem angelegten äußeren Feld entgegengesetzt ist. Das Feld im Dielektrikum ED reduziert also das 7

10 4 Elektrostatik Abbildung 2: Dielektrika äußere Feld E0. Durch einigen (großen) Rechenaufwand findet man schließlich, dass das elektrische Feld um E0 = ɛ r ED reduziert wird. Die materialspezifische Konstante ɛ r ist die relative Dielektrizitätskonstante oder dielektrische Leitfähigkeit. Das Gleichheitszeichen gilt im Vakuum. Die Kapazität eines Kondensators ändert sich um C = ɛ r Q U (22) Falls man mehrere Dielektrika parallel in einen Kondensator schiebt, verhält sich der Kondensator, als schaltete man mehrere Kondensatoren mit je einem Dielektrikum parallel. Für die Reihenschaltung mehrere Dielektrika in einem Kondensator, ist die Kapazität gerade, als schaltete man mehrere Kondensatoren mit je einem Dielektrikum in Reihe. Abbildung 3: Dielektrika parallel und in Reihe geschaltet 8

11 5 Der elektrische Strom 5 Der elektrische Strom Der elektrische Strom ist in erster Linie definiert als I = dq dt Darüber hinaus formuliert man die Stromdichte, die (23) j = n q vd (24) mit n als Teilchendichte der Ladungsträger, der Ladung q und der Driftgeschwindigkeit v D. Die Stromdichte bezeichnet den Strom, der durch eine Querschnittsflächeneinheit senkrecht zu j fließt. Für den Gesamtstrom durch eine geschlossene Oberfläche findet man dann I = j da (25) A Beispiel: Ein Leiter mit kreisförmigem Querschnitt, Innenradius r und der Stromdichte j = j en, wobei e n der Einheitsvektor senkrecht auf der Querschnittsfläche ist, durchfließt der Strom 2π r I = j da = dϕ dr r j = 2π r2 A j = πr2 j (26) Das Integral wird also über die gesamte Querschnittsfläche berechnet. Interessiert man sich nur für die Stromstärke in einem Teilbereich und nicht im gesamten Leiter, so passt man die Integrationsgrenzen entsprechend an. Die Leitergeometrie ist bei den meisten Aufgaben so simpel, dass man sich für gewöhnlich keine großen Gedanken um den Normalenvektor machen muss, sprich wie d A und j zueinander stehen. 5. Der elektrische Widerstand und das Ohmsche Gesetz Betrachtet man Ladungsträger, die sich durch einen Leiter bewegen, so besitzen sie aufgrund thermischer Energie bereits eine Geschwindigkeit, was eigentlich dafür spräche, dass damit auch eine Stromdichte einherginge. Jedoch kommt es über die Zeit zu Stößen zwischen den Ladungsträgern, sodass die mittlere Geschwindigkeit gleich Null ist. Durch das Anlegen einer Spannung, also eines elektrischen Feldes, werden die Ladungsträger hingegen gleichmäßig in eine Richtung beschleunigt-, wobei sie nach einer Zeit τ s mit einem Ladungsträger kollidieren, abgebremst und wieder beschleunigt werden. Die Geschwindigkeit zuckelt gewissermaßen hin und her und die Ladungsträger driften durch den Leiter (vgl. Abbildung 4). Es gilt also m a = q E m a = q E 9

12 5 Der elektrische Strom Abbildung 4: Driftgeschwindigkeit bei Anlegen eines äußeren Feldes und mit einmaliger Integration sowie Auswertung zum Zeitpunkt t = τ s Für die Stromdichte gilt demnach v D = q E m τ s j = nq vd = nq2 τ s m E = σ el E (27) wobei σ el = nq 2 τ s /m identifiziert wird als die materialspezifische elektrische Leitfähigkeit. Betrachtet man nun einen homogenen Leiter mit dem Querschnitt A und der Länge L, so findet man U = EdL = E L und für den Strom I = jd A = j A Zusammenfassend also gerade das Ohmsche Gesetz in bekannter Form L U = R I (28) mit R = σ el A. Für Widerstände, die hintereinander oder nebeneinander geschalten werden, ergeben sich ähnliche Rechenregeln wie beim Kondensator. Für die Reihenschaltung findet man und für die Parallelschaltung R = R k k R = k R k 0

13 Literatur 5.2 Die Stromleistung Beim Transport von elektrischen Ladungen wird nach W = q(φ(r ) φ(r 2 )) = q U Arbeit verrichtet. Die elektrische Leistung ist bei konstanten U und I P = dw dt = d dq (Q U) = U dt dt = U I (29) 5.3 Die Kirchhoffschen Regeln Zur Berechnung von Strömen und Spannungen in einem Spannungsnetzwerk, verwendet man die Kirchhoffschen Regeln.. Die Maschenregel besagt, dass die Summe aller Spannungen im gesamten Stromkreis und insbesondere in jeder Masche gleich Null sein muss. U k = 0 (30) k 2. Die Knotenregel: Die Summe der einlaufenden Ströme in einen Knoten muss gleich der Summe der auslaufenden Ströme sein. Nützlich sind noch folgende Zusatzregeln (a) Spannungsquellen werden von nach positiv gezählt. k I k = 0 (3) (b) Widerstände, die in Stromrichtung durchlaufen werden, werden als Spannungsabfall betrachtet und somit negativ gezählt. Literatur [] The Feynman Lectures on Physics - Feynman/Leighton/Sands [2] Experimentalphysik 2 - Wolfgang Demtröder