Zusammenfassung Theoretische Mechanik

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1 Zusammenfassung Theoretische Mechanik Grundlage: Skript von Dirk-Gunnar Welsch Mario Chemnitz 6. Juli Krummlinige Koordinatensysteme Definition kovariante Basisvektoren: Definition kontravariante Basisvektoren: Kronecker-Symbol: g i := r x i g i := x i g i g k = δ k i Schreibweise eines beliebigen Vektors q in den jeweiligen Koordinaten: q = q k g k = q k g k (mit q k als kontra- und q k als kovarinate Komponente von q) Skalarprodukt zweier Vektoren q und p q p = q i p i = q i p i q p = g ik q i p k = g ik q i p k g ik heißt metrische Fundamentaltensor. Dieser sieht für ein dreidimensionales Orthogonalsystem wie folgt aus: λ g ik = 0 λ λ 3 Änderung des Ortsvektors d r = g i dx i = λ i e i dx i = g i dx i 1

2 Bogenelement ds = d r d r = g ik dx i dx k = λ i dx i (gilt nur für Orthogonalsystem) Volumenelement dv = g 1 ( g g 3 ) }{{} ɛ 13...Levi Civita T ensor ɛ 13 = det g ik = g dv = g dx 1 dx dx 3 dx 1 dx dx 3 [ ɛ13 ɛ 13 = 1; g ik = g i g k ] Parallelität zwischen ko- und kontravarianten Basisvektoren gilt, wenn g i = λ i g i Einheitsvektoren Definition Geschwindigkeit e i = g i λ i = λ i g i r = ẋ i g i = ẋ i λ i e i Definition Beschleunigung Beispiel Zylinderkoordinaten r = ẋ i gi + ẍ i g [ ] i d = dt (ẋi λ i ) e i + ẋ i λ i ei x = ρ cos ϕ y = ρ sin ϕ z = z ds = dρ + ρ dϕ + dz = λ ρ = 1 λ ϕ = ρ λ z = 1 r = ρ e ρ + ϕρ e ϕ + ż e z r = ( ρ + ϕ ρ ) e ρ + ( ϕρ + ρ ϕ) e ϕ + z e z

3 Beispiel Kugelkoordinaten x = ρ cos ϕ sin ϑ y = ρ sin ϕ sin ϑ z = ρ cos ϑ ds = dρ + ρ dϑ + ρ sin ϑ dϕ = λ ρ = 1 λ ϑ = ρ λ ϕ = ρ sin ϑ r = ρ e ρ + ϑρ e ϑ + ϕρ sin ϑ e ϕ ( r = ρ ϑ ) ρ ϕ ρ sin ϑ e ρ ( 1 d [ ) + ϑρ ] ϕ ρ sin ϑ cos ϑ e ϑ ρ dt ( 1 d [ + ϕρ sin ϑ ]) e ϕ ϑ ρ sin ϑ dt. Newton sche Mechanik 1. Newton sches Axiom (Trägheitsgesetz) Jeder Körper beharrt im Zustand der Ruhe oder gleichförmig geradlinigen Bewegung, wenn er nicht durch einwirkende Kräfte gezwungen wird diesen Zustand zu ändern. F = 0 r = const. Newton sches Axiom (Grundgesetz der Dynamik) Die auf einen Massenpunkt (eines Körpers) wirkende Kraft ist gleich dem Produkt aus Masse und Beschleunigung des Massenpunkts. F = m r = p 3. Newton sches Axiom (Wechselwirkungsgesetz) (... für m = const) Die Wirkung ist stets der Gegenwirkung gleich, oder die Wirkungen zweier Körper aufeinander sind stets gleich und von entgegengesetzter Richtung. F 1 = F 1 4. Newton sches Axiom (Superpositionsprinzip) Die auf einen Massenpunkt einwirkende Kräfte lassen sich vektoriell addieren und somit zu einer einwirkenden Gesamtkraft zusammenfassen. F = i F i 3

4 Konservative Kräfte Kraft ist genau dann konservativ, wenn gilt: 3. Bewegte Bezugssysteme rot F = F z Fy y z F x Fz z x F y Fx x y = 0 In Σ : In Σ : Ortsvektor r = r(t) Ortsvektor r = r(t) d r dt }{{} v r = r 0 + r = d r dt }{{} v + d r 0 }{{} dt v 0 + ω r } {{ } v F v... Absolutgeschwindigkeit v... Relativgeschwindigkeit v 0... T ranslationsgeschwindigkeit v F... F ührungsgeschwindigkeit (für v = 0) d v = d v dt dt + d v 0 d ω + }{{} dt dt r + ω ( ω r) + }{{}} ω {{ v } a z a cor a } 0 {{} a F a 0... T ranslationsbeschleunigung a z... Zentrifugalbeschleunigung a cor... Coriolisbeschleunigung a F... F ührungsbeschleunigung (für v = 0; zeitl. Ableitung der F ührungsgeschwindigkeit) Grundgleichung der Dynamik m r = F m r0 m ω r m ω ( ω r) m ω r 4

5 4. Erhaltungssätze 1. Impulsbilanz Die zeitliche Änderung des Impulses ist gleich der einwirkenden Gesamtkraft. d p dt = F Aus der Impulsbilanz folgt für F = 0 der Impulserhaltungssatz: d p dt = 0 p = const. Energiebilanz m r = F r m r r = d ( 1 ) dt m r = F r =: P Die zeitliche Änderung der kinetischen Energie ist gleich der Leistung der einwirkenden Gesamtkraft. dt dt = P Unter der Einbeziehung eines Potentials U (konservative Kraft) folgt: Hieraus folgt der Energieerhaltungssatz: P = F r = U r = U dx i x i dt = du dt d (T + U) = 0 T + U = E = const dt Berechnung des Potentials einer konservativen Kraft F = gradu 1. Möglichkeit U = F d r 5

6 . Möglichkeit F x = U x F y = U y F z = U z U = U = U = F x dx + f 1 (y, z) F y dy + f (x, z) F z dz + f 3 (x, y) Für ein Massenpunktsystem gilt: Die gesamte kinetische Energie des MP-Systems ergibt sich aus der Summe der kin. Energie des Gesamtkörpers (Energie des Massenmittelpunktes) und der kin. Energien aller MPs in demselben Körper. T = 1 mṙ c + 1 m ν r ν Die gesamte potentielle Energie des MP-Systems ergibt sich aus der Summe der auf jeden einzelnen Massenpunkt wirkenden externe pot. Energie (bspw. Erdanziehung) und aller pot. Energien die zwischen den Massenpunkten wirken (bspw. Anziehungskräfte). U = 1 U νµ (r νµ ) + U ν (r ν ) ν,µ=1 3. Drehimpulsbilanz r m r = F m r r = d dt ( r r ) = r F =: M Die zeitliche Änderung des Drehimpulses ist gleich dem einwirkenden Gesamtdrehmoment. d L dt = M Aus der Drehimpulsbilanz folgt für M = 0 der Drehimpulserhaltungssatz: d L dt = 0 L = const 6

7 Für Massenpunktsysteme gilt: Die zeitliche Änderung des Gesamtdrehimpulses eines MP-Systems ist gleich dem Gesamtdrehmoment der äußeren Kräfte, sofern die inneren Zentralkräfte sind. d L dt = M ext 4. Massenmittelpunktsatz (Schwerpunktsatz) Dieser Satz findet nur in Massenpunktsystemen Anwendung. In solchen gilt (. N.A. für N Körper): F ν = m ν rν = F ν ext + F νµ Summation über die N Bewegungsgleichungen ergibt: m ν rν = = Mit p = d p dt F ext ν + F ext ν p ν = = F ext µ=1 µ=1 F νµ }{{} =0 weil F νµ= F µν = F ext m ν rν folgt : Die zeitliche Änderung des Gesamtimpulses eines MP-Systems ist gleich der Resultante der auf das System einwirkenden äußeren Kräfte Aus r c = 1 m mν r ν und m = m ν ergibt sich für den Gesamtimpuls und somit für den Schwerpunktsatz: p = m ν rν = m r c m r c = F ext Der Massenmittelpunkt eines MP-Systems bewegt sich so, als ob in ihm die gesamte Masse des Systems konzentriert wäre und an ihm die Resultante aller äußeren Kräfte wirkte. 7

8 5. Virialsatz Der zeitliche Mittelwert der kinetischen Energie ist gleich dem halben Virial des MP-Systems. T = 1 mν ṙ ν = 1 rν ν U 5. Das D Alembert sche Prinzip Arten von Nebenbedingungen: Holonome NB sind Zwangsbedingungen, die als Gleichungen formulierbar sind. Sie sind weiter unterteilt in: Skleronome (starre) Zwangsbedingungen, wenn diese nicht explizit von der Zeit abhängen. Rheonome (fließende) Zwangsbedingungen, wenn diese explizit von der Zeit abhängen. 3 f k f k ( x, t) = 0 df k = dx i + f k x i t dt = 0 Anholonome NB sind Zwangsbedingungen, die nicht in dieser Form formulierbar sind, z.b. Ungleichungen. Bspw.: Beschränkung des Massenpunktes auf einen Raumbereich Abhängigkeit der Beschränkungen von der Geschwindigkeit D.h. es existiert keine Funktion f k, sodass gilt df k = 3 f ki ( x, t)dx i + f k0 ( x, t)dt = 0 Virtuelle Verrückungen Unter einer virt. Verrückung δ r i verstehen wir eine gedachte Ortsveränderung der i-ten Punktmasse, die folgende Bedingungen erfüllt: 1. δ r i ist infinitisimal klein,. δ r i ist mir den Nebenbedingungen vereinbar, 3. δ r i ist nur für δt = 0 definiert, d.h. Verrückung erfolgt zu einem festen Zeitpunkt. 8

9 D Alembert sches Prinzip Zwangskräfte leisten bei virtuellen Verrückungen keine Arbeit. 3 F i x i = 3 (m i ẍ i F i ) x i = 0 Gleichgewichtsfall (ẍ i = 0) Prinzip der virtuellen Arbeit Ein MP-System ist nur dann im Gleichgewicht, wenn die gesamte virtuelle Arbeit der am System angreifenden eingeprägten Kräfte verschwindet bzw. nicht positiv ist. 3 F i x i 0 Die Erhaltungsstze bleiben weiterhin gültig, wenn unter den einwirkenden Kräften alle wirkenden Kräfte verstanden werden. F ν = F ext ν + µ F νµ 6. Lagrange sche Mechanik Lagrange sche Gleichungen I. Art Aus dem D Alembert schen Prinzip und anholonomen Bedingungen 3 f ki dx i + f k0 dt = 0 (k = 1,,..., r) folgt mit δt = 0 und nach einem Durchmultiplizieren mit einem Lagrange schen Multiplikator λ k : ( ) 3 r m i ẍ i F i λ k f ki x i = 0 (3N r = f) k=1 Lagrange-Gleichung I.Art: r m i ẍ i = F i + λ k f ki (i = 1,,..., 3N) k=1 9

10 Für die Zwangskräfte gilt: F i = Speziell für holonome Bedingungen gilt: Lagrange sche Gleichungen II. Art F i = r λ k f ki k=1 r k=1 λ k f k x i d L L = 0 (i = 1,,..., f) dt q i q i Mit L = T U Zyklische Koordinaten... sind generalisierte Koordinaten, von den die Lagrange-Funktion nicht abhängt. Sie geben Anlass zu Erhaltungssätzen: L q i = 0 7. Hamilton sche Mechanik L q i = const Hamilton sche Prinzip (Prinzip der kleinsten Wirkung) d L = 0 dt q i Die von einem MP-System (im Konfigurationsraum) tatsächlich durchlaufene Bahnkurve zeichnet sich gegenüber den zugelassenen Vergleichsbahnen dadurch aus, dass für sie die Wirkung einen Extremwert - meist ein Minimum - annimmt. ( S = 0) Zugelassene Vergleichsbahnen sind in ihrem Verlauf nur in ihren Endpunkten invariant zur eigentlichen Bahn, und diese entsprechen auch den Endpunkten der tatsächlichen Bahn. Wikipedia: Das Prinzip besagt, dass für ein physikalisches System mit einer Lagrange-Funktion L das Wirkungsintegral S(q) = L dt 10

11 minimal (oder stationär) sein muss. Die Integration erfolgt dabei über einen festen Zeitbereich und für genau eine formell mögliche Realisierung des Systems, q genannt. Von allen möglichen Realisierungen q finden in der Natur nach dem Prinzip der stationären Wirkung genau solche q stat statt, bei denen S(q stat ) stationär ist. Hamilton-Funktion H = f p i q i L Die in Aufgaben gesuchte Hamilton-Funktion hängt in der Regel nur von q i, p i und t ab. Somit ist ein Weg zu finden um q i zu ersetzen und die Hamilton-Funktion neu aufzuschreiben. Hängt die Hamilton-Funktion nicht explizit von der Zeit ab, ist diese gerade die Energie des Systems. H t = 0 dh dt = 0 H = T + U = const Kanonische Gleichungen ṗ i = H q i, q i = H p i Andere nützliche Gleichungen H t = L t, p i = L q i 11