Physik 1 ET, WS 2012 Aufgaben mit Lösung 2. Übung (KW 44) Schräger Wurf ) Bootsfahrt )

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1 Physik ET, WS Aufaben mit Lösun. Übun (KW 44). Übun (KW 44) Aufabe (M.3 Schräer Wurf ) Ein Ball soll vom Punkt P (x, y ) (, ) aus unter einem Winkel α zur Horizontalen schrä nach oben eworfen werden. (a) Stellen Sie die Bahnleichun y(x) auf! (b) Wie roß muss die Abwurfeschwindikeit v sein, wenn der Punkt P (x, y ) erreicht werden soll? (c) Welchen Winkel α und welche Abwurfeschwindikeit v müssen ewählt werden, wenn der Ball in horizontaler Richtun in P einlaufen soll? x 6. m, y.5 m, α 45 Aufabe (M. Bootsfahrt ) Ein Fluss hat die Breite y. Er wird von einem Boot mit der Eieneschwindikeit v B überquert. Um welche Strecke x wird das Boot bis zum Erreichen des eenüberlieenden Ufers abetrieben, wenn es senkrecht darauf zusteuert (v B v y ) und die Strömunseschwindikeit des Flusses (v F v x ) (a) konstant ist oder (b) vom Uferabstand abhänt: v x cy(y y)? (c) Unter welchem Winkel zur Ufernormalen müsste das Boot im Fall (a) steuern, wenn es enau eenüber ankommen soll? y m, v B. m s, v F.8 m s, c.33 3 m s Aufabe 3 (M.7 Eisenbahnzu ) Ein Zu fährt auf einer Strecke mit dem Krümmunsradius r leichmäßi beschleunit an ( t t ). Nach der Zeit t hat er die Geschwindikeit v. Gesucht: Tanential-, Radial- und Gesamtbeschleuniun nach der Fahrzeit t. r m, t 9 s, t 5 s, v 54 km h Jens Patommel <patommel@xray-lens.de> Seite von

2 Physik ET, WS Aufaben mit Lösun. Übun (KW 44) Aufabe 4 (M. Pendel ) Die Ort-Zeit-Funktion eines Pendelkörpers ist für kleine Ausschläe s(t) s m cos(ωt). Man bestimme die Radialbeschleuniun a r und die Bahnbeschleuniun a s zu den Zeiten t und t! T ist die Schwinunsdauer des Pendels der Läne l: T π l, ω π T. l cm, s m. cm, t, t T 4 Aufabe 5 (M.4 Wasserspeier ) Aus einem Wasserspeier fließt Reenwasser mit der Geschwindikeit v unter einem Winkel α eenber der Vertikalen ab. Der Ausfluss befindet sich in der Höhe h über dem Erdboden und in der Entfernun x von der Gebäudewand. In welcher Entfernun x von der Gebäudewand trifft das Wasser am Erdboden auf? v 8 m s, α 6, h m, x.75 m Aufabe 6 (M.5 Erdrotation ) Wie roß ist die Radialbeschleuniun a r für einen auf der Erdoberfläche lieenden Körper am 5. Breitenrad infole der Erdumdrehun? Jens Patommel <patommel@xray-lens.de> Seite von

3 Physik ET, WS Aufaben mit Lösun. Übun (KW 44) Lösun zu Aufabe Wir verwenden ein kartesisches Koordinatensystem, dessen x-achse in die horizontale Richtun weist und dessen y-achse nach oben zeit. Aufrund der Erdanziehun wirkt entlan der y-achse die Beschleuniun (minus, da Beschleuniun in neative y-richtun zeit). Zu Beinn (t ) befindet sich der Ball im Punkt P (, ), so dass die Ort-Zeit-, Geschwindikeit-Zeit und Beschleuniun-Zeit-Funktionen für die beiden Komponenten wie folt lauten: x(t) v x t (.) v x (t) v x a x (t) y(t) v y t t (.) v y (t) v y t (.3) a y (t) t In Vektorschreibweise lassen sich diese Gleichunen auch wie folt notieren: s(t) x(t) e x + y(t) e y v x t e x + ( v y t t) e y (.4) v(t) v x (t) e x + v y (t) e y v x e x + (v y t) e y a(t) a x (t) e x + a y (t) e y t e y In diese Gleichunen ehen Koordinaten v x und v y der Anfanseschwindikeit v ein. Wir interessieren uns aber nicht für diese durch das Koordinatensystem voreebenen kartesischen Koordinaten, sondern für den Abwurfwinkel α und den Betra der Anfanseschwindikeit v v. Wir benötien also einen Zusammenhan zwischen (v x, v y ) einerseits und (α, v ) andererseits: Einsetzen in Gleichunen (.) und (.) eribt: bzw. in Vektorschreibweise: v x v cos(α ) (.5) v y v sin(α ). (.6) x(t) v cos(α ) t (.7) y(t) v sin(α ) t t (.8) r(t) v cos(α ) t e x + ( v sin(α ) t t) e y (a) Die Bahnkurve ermittelt man, indem man den Parameter t elimiert. Dazu lösen wir (.7) nach t auf und setzen dies in (.8) ein: (.7) t x v cos(α ) ( (.8) x y(x) v sin(α ) v cos(α ) x tan(α ) x v cos(α ) ) (.9) v cos (α ) x. (.) Die Flubahn des Balles ist also eine nach unten eöffnete Parabel. Jens Patommel <patommel@xray-lens.de> Seite 3 von

4 Physik ET, WS Aufaben mit Lösun. Übun (KW 44) (b) Der Ball soll den Punkt P (x, y ) erreichen, also muss P auf der durch (.) beschriebenen Kurve lieen: y(x ) y (.) x tan(α ) v cos (α ) x y v v cos (α ) ± x cos(α ) x x tan(α ) y (x tan(α ) y ) Da der Geschwindikeitsbetra niemals neativ werden kann, entfällt die neative Lösun und man erhält: x v (.) cos(α ) (x tan(α ) y ) 6 m 9.8 m/s cos 45 (6 m tan 45.5 m) m 9 s 8.9 m s (c) Der Ball soll den Punkt P in horizontaler Richtun erreichen, d. h. die Bahnkurve des Balles soll im Punkt P die Steiun Null haben: dy(x) dx x (.) tan(α ) x vo cos (α ) tan(α ) x (.) vo cos (α ) Wir schreiben Gleichun (.) in leicht modifizierter Form auf y x tan(α ) x [ x v cos (α ) und ersetzen den Ausdruck in eckien Klammern durch (.) y x tan(α ) x [ tan(α ) x tan(α ). tan(α ) y (.3) x Schließlich folt für den Abwurfwinkel: ( α arctan y ) ( ).5 m arctan 6.6. x 6. m Jens Patommel <patommel@xray-lens.de> Seite 4 von

5 Physik ET, WS Aufaben mit Lösun. Übun (KW 44) Nun fehlt noch der Geschwindikeitsbetra v. Diesen können wir mittels Gleichun (.) aus (b) berechnen, nur müssen wir anstelle des Winkels α den soeben berechneten Abwurfwinkel α einsetzen: (.) v x cos(α ) (x tan(α ) y ) (.4) Man könnte jetzt bereits den Zahlenwert α 6.6 einsetzen (in der Klausur durchaus erlaubt), aber wir wollen zur Übun erst noch ohne Zahlenwerte weiterrechnen. Wir stellen einen Zusammenhan zwischen cos(α ) und tan(α ) her, indem wir von sin (α ) + cos (α ) ausehen: [ sin sin (α ) + cos (α ) cos (α ) (α ) cos (α ) + cos (α ) [ tan (α ) + cos(α ) tan (α ) + Zusammen mit (.4) eribt dies: v x cos(α ) (x tan(α ) y ) x tan (α ) + (.3) x 4 y + x y (x x y ) 4y + x y ( ) x + y y 9.8 m/s 5 m. m s. 9.8 m/s ( (6 m).5 m +.5 m (x tan(α ) y ) ) Lösun zu Aufabe Wir betrachten zum Zeitpunkt t eine sehr kurze Zeitspanne dt. Während dieser Zeitspanne lee das Boot in x-richtun die Strecke dx und in y-richtun die Strecke dy zurück. Da sich das Boot in y-richtun mit der konstanten Geschwindikeit v B fortbewet, ilt dy v B dt. Wenn dt hinreichend klein ist, dann kann man annehmen, dass die Geschwindikeit v x (y(t)) während dieser Zeitspanne annähernd konstant ist, so dass dx v x (y)dt ilt. Wir haben also die beiden Beziehunen dx v x (y) dt dy v B dt. Wir eliminieren dt und erhalten dx v x(y) v B dy (.) Jens Patommel <patommel@xray-lens.de> Seite 5 von

6 Physik ET, WS Aufaben mit Lösun. Übun (KW 44) Um die Position in x-richtun zu bestimmen, führen wir das Interal aus: x(y) x(y) dx (.) y dy v x(y) v B v B y dy v x (y). (.) Gleichun (.) verrät uns, wie weit das Boot in x-richtun abdriftet, wenn es in y-richtun den We y zurücklet. (a) Die Strömunseschwindikeit des Flusses ist vom Uferabstand unabhäni: x x(y ) v x (y) v F (.) v F vb y dy v F vb y.8 m s m 8 m.. m s (b) Die Strömunseschwindikeit des Flusses nimmt zur Mitte hin zu: x x(y ) v x (y) cy(y y) (.) c v B y dy y(y y) c v B y dy (y y y ) [ c y v B y y3 y ( c ) 3 v B y3 3 y3 c y 3 6 v B.33 3 m s ( m) 3 55 m. 6. m s (c) Wenn das Boot zur Ufernormalen einen Winkel von α einschlät, so lässt sich der Geschwindikeitsvektor des Bootes folenderweise zerleen: v B v Bx e x + v By e y v B sin(α) e x + v B cos(α) e y. (.3) Damit das Boot nicht abdriftet, muss die x-komponente der Bootseschwindikeit denselben Betra haben wie die Strömunseschwindikeit v F des Wassers, also v F v B cos(α) α arcsin ( ) ( v F vb arcsin ).8 m s. m s 53. Lösun zu Aufabe 3 Der Zu bewet sich leichmäßi beschleunit, d. h. dessen Tanentialeschwindikeitsbetra verhält sich im Verlaufe der Zeit emäß v t (t) v + a t t. Die beiden Parameter v und a werden durch die Randbedinunen festelet, nämlich dass die v(t)-kurve durch die beiden Punkte P (, v ) und P (t, v ) verläuft: v t () v + a t v v t (t ) v v + a t t v a t v v v t v t. Jens Patommel <patommel@xray-lens.de> Seite 6 von

7 Physik ET, WS Aufaben mit Lösun. Übun (KW 44) Die Tanentialbeschleuniun beträt also a t (t) a t e t (t) v t e t (t). Für die Radialbeschleuniun benötien wir die Momentaneschwindikeit: v t (t) v + a t t v t t, welche wir in die entsprechende Formel einsetzen: Somit folt für die Radialbeschleuniun: a r (t) v t (t) v t. r r t a r (t) a r (t) e r (t) v t e r t r (t). Die Gesamtbeschleuniun ist die Summe aus Tanential- und Radialbeschleuniun: a es (t) a t (t) + a r (t) v t e t (t) + v t e r t r (t) a es (t ) v t e t (t ) + v t r e t r (t ) 54 km h e 9 s t (t ) + (54 km h ) (5 s) e m (9 s) r (t ).7 m s e t (t ) +.5 m s e r (t ). Zu uter Letzt berechnen wir noch den Betra der Gesamtbeschleuniun: a es (t ) a es (t ) a es(t ) ( a t (t) + a r (t)) (a t e t (t ) + a r e r (t )) a t e t e t }{{} +a r e r e }{{} r +a t a r e t e r }{{} a t + a r v t + v t 4 r t.55 m s, wobei wir davon Gebrauch emacht haben, dass die Einheitsvektoren e t senkrecht aufeinander stehen und den Betra haben. und e r Lösun zu Aufabe 4 Wir berechnen die Bahneschwindikeit und die Bahnbeschleuniun: s(t) s m cos(ωt) v s (t) s m ω sin(ωt) a s (t) s m ω cos(ωt) Jens Patommel <patommel@xray-lens.de> Seite 7 von

8 Physik ET, WS Aufaben mit Lösun. Übun (KW 44) und setzen die Zeitpunkte t und t 4 T π ω ein: v s v(t ) s m ω sin(ωt ) s m ω sin() v s v(t ) s m ω sin(ωt ) s m ω sin(ω π ) s ω mω s m l a s a s (t ) s m ω cos(ωt ) s m ω cos() s m ω sm l a s a s (t ) s m ω cos(ωt ) s m ω cos(ω π ω ) Die esuchten Bahnbeschleuniunen lauten nach Einsetzen der Werte: a s cm 9.8 m s cm. m s a s Die Radialbeschleuniunen berechnen wir über a r v /r: a r v s l a r v s l s m l 3.9 mm s ( cm) 9.8 m s ( cm) Lösun zu Aufabe 5 Die Anfanseschwindikeit v des Wassers zerleen wir in einen horizontalen und einen vertikalen Anteil: v v x e x + v y e y v sin(α) e x v cos(α) e y Das Wasser wird von der Erdanziehunskraft in vertikaler Richtun bechleunit; den Einfluss der Luftreibun vernachlässien wir: a(t) e y dt v(t) v t e y v sin(α) e x v cos(α) e y t e y v sin(α) e x [v cos(α) + t e y dt s(t) s + v t sin(α) e x [ v t cos(α) + t e [ y x e x + h e y +v t sin(α) e x v t cos(α) + } {{ } e y s [x + v t sin(α) e x + [ h v t cos(α) } {{ } e y } {{ } (5.) s x(t) s y(t) Jens Patommel <patommel@xray-lens.de> Seite 8 von

9 Physik ET, WS Aufaben mit Lösun. Übun (KW 44) Das Auftreffen des Wasser auf dem Boden bedeutet, dass die y-komponente des Ortsvectors Null wird. Die Fallzeit t errechnen wir also durch Nullsetzen der y- Koordinate: s y (t ) h v t cos(α) t t + v t cos(α) h ( ) t + v cos(α) h + v cos (α) ( t v v cos(α) ± cos (α) [ t v h cos(α) ± + v cos (α) [ t > t v cos(α) + h + v cos (α) ) h + v cos (α) (5.) Damit sind wir nun in der Lae, den Auftreffort x des Wassers auf dem Boden zu ermitteln: [ x s x (t ) (6.) h x + v t sin(α) + + v cos (α) [ (6.) x + v h sin(α) cos(α) + + v cos (α) x + v [ sin(α) h + + v cos (α) [.75 m + (8 m s ) 9.8 m s sin( 6 ) + m m s (8 m s ) cos (6 ) [.75 m m m Lösun zu Aufabe 6 Um die Radialbeschleuniun des Körpers zu ermitteln, benötien wir dessen Abstand r von der Rotationsachse der Erde sowie seine Bahneschwindikeit v. Am 5. Breitenrad beträt die Entfernun des Geenstandes von der Rotationsachse r R cos(5 ), (6.) wobei R die Läne des Erdradius bezeichnet. Die Bahneschwindikeit erhält man aus der Dauer T eines Taes und dem Umfan u der Erde: Die Radialbeschleuniun beträt somit: a r v r ( πr T ) R cos(5 ) 4π R T cos(5 ) v u T πr T. (6.) 4π 637 m (4 6 6 s) cos(5 ).7 5 m s. Jens Patommel <patommel@xray-lens.de> Seite 9 von

10 Physik ET, WS Aufaben mit Lösun. Übun (KW 44) Um ein Gefühl für die Größenordnun zu erhalten, erweitern wir das Erebnis mit der Erdbeschleuniun : a r.6 5 m s.6 5 m s 9.8 m s.7 6. Die Radialbeschleuniun des Körpers ist also über eine Million mal kleiner als die Erdbeschleuniun! Der Einfluss der Erdrotation auf die Gewichtskraft ist in uter Näherun vernachlässibar. Quellen Die Aufaben sind entnommen aus: Peter Müller, Hilmar Heinemann, Heinz Krämer, Hellmut Zimmer, Übunsbuch Physik, Hanser Fachbuch, ISBN: Die Übuns- und Lösunsblätter ibt es unter ET Die Homepae zur Vorlesun findet sich unter Jens Patommel <patommel@xray-lens.de>