Physik 1 VNT Aufgabenblatt 8 5. Übung (50. KW)

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1 Physik 1 VNT Aufgabenblatt 8 5. Übung (5. KW) 5. Übung (5. KW) Aufgabe 1 (Achterbahn) Start v h 1 25 m h 2 2 m Ziel v 2? v 1 Welche Geschwindigkeit erreicht die Achterbahn in der Abbildung, wenn deren Reibung mit den Schienen vernachlässigbar ist, für die Fälle, a) dass die Startgeschwindigkeit v m s 1 und b) dass die Startgeschwindigkeit v 9 m s 1 beträgt. Aufgabe 3 (Handwagen) Eine Person zieht einen beladenen Handwagen mit konstanter Geschwindigkeit v m s 1 bergauf und benötigt dazu die Kraft F W 16 N. Sie wirkt in Richtung der Deichsel und schließt mit der Bewegungsrichtung den Winkel β 3 ein (siehe Skizze). a) Wie groß ist die dabei erbrachte Leistung P? m b) Welche Arbeit W wird verrichtet, wenn der Handwagen t s lang gezogen wird? Berechnen Sie diese Arbeit sowohl mit Hilfe der Leistung als auch mit Hilfe der zurückgelegten Strecke s 1. c) Es herrsche bei der Bewegung eine Rollreibung von F R 4 N. Wie lautet die Kräftebilanz entlang der Bewegungsrichtung, wenn die Straße einen Steigungswinkel von α 5. besitzt? Berücksichtigen Sie, dass v 1 konstant ist. Berechnen Sie daraus die Masse m des Handwagens. d) Welche Höhe h 1 wird auf der Strecke s 1 überwunden? Vergleichen Sie die für den Handwagen erreichte potenzielle Energie E pot (h 1 ) mit der aufgewendeten Arbeit W. Wie ist die Differenz zu erklären? Überprüfen Sie dies durch Rechnung. e) Stellen Sie die Kräftebilanz senkrecht zur Straße auf und berechnen Sie daraus den Rollreibungskoeffizienten µ R. 1

2 Physik 1 VNT Aufgabenblatt 8 5. Übung (5. KW) Lösung zu Aufgabe 1 Eine Möglichkeit, die Achterbahnaufgabe zu lösen, bestände darin, zu jedem Zeitpunkt t die von außen auf den Wagen einwirkende Gesamtkraft F ges (t) und daraus die Beschleunigung a(t) des Wagens zu berechnen. Durch Lösen der so entstehenden Bewegungsgleichung erhielte man die Geschwindigkeits-Zeit-Funktion v(t) und die Weg-Zeit-Funktion s(t), woraus sich schließlich die gesuchte Gesschwindigkeit v 2 v(t 2 ) des Wagens im Ziel ermitteln ließe. Erschwert wird die Rechnung durch die von der Steigung der Schiene abhängende Zwangskraft, welche von der Schiene auf die Räder des Wagens augesübt wird. Zum Glück ist es gar nicht nötig, die Bewegungsgleichung für alle Zeiten t zu lösen, um die Geschwindigkeit zu einem bestimmten Zeitpunkt t 2 zu bestimmen, denn man kann den Energieerhaltungssatz anwenden. Man berechnet dazu die Gesamtenergie E ges, am Start und die Gesamtenergie E ges,2 im Ziel und verlangt E ges, E ges,2 : E ges, E pot, + E kin, mgh mv2 E ges,2 E pot,2 + E kin,2 mg(h h 2 ) + t 1 2 mv2 2 mgh mgh 2 + t 1 2 mv2 2 mgh mv2 mgh mgh 2 + t 1 2 mv2 2 v 2 ± 2gh 2 + v 2 v 2 v 2 2gh 2 + v 2 Der Parameter h bestimmt dabei den Nullpunkt der potentiellen Energie. Wählt man zum Beispiel h, so befindet sich der Nullpukt der potentiellen Energie in der Höhe des Starts, wählt man hingegen h h 2, so liegt der Nullpunkt der potentiellen Energie in der Höhe des Ziels. Wie man anhand der obigen Rechnung sieht, hat die Wahl des Parameters h keinen Einfluss auf das Ergebnis, die berechnete Endgeschwindigkeit ist von der Wahl des Nullpunkts der potentiellen Energie unabhängig. Eine weitere wichtige Erkenntnis ist die Unabhängigkeit der Endgeschwindigkeit vom Verlauf der Schiene zwischen Start und Ziel. Die Endgeschwindigkeit hängt nur von der Höhendifferenz h 2, nicht jedoch von der genauen Form der Achterbahn ab. Man kann zum Beispiel die Mulde bei h 1 weglassen, ohne dass dies die Endgeschwindigkeit ändert. Obwohl die genaue Form der Bahn keinen Einfluss auf die Endgeschwindigkeit hat, gilt dies nicht für die Gesamtzeit zwischen Verlassen des Starts und Erreichen des Ziels. Um diese zu bestimmen, benötigt man die exakte Form der kompletten Achterbahn zwischen Start und Ziel. Ohne Mulde bei t 1 wäre zwar die Endgeschwindigkeit im Ziel dieselbe wie mit Mulde, die Zeitdauer wäre jedoch ohne Mulde eine andere als mit Mulde. Einerseits legt der Wagen mit Mulde einen längeren Weg als ohne Mulde zurück, andererseits ist die Durchschnittsgeschwindigkeit des Wagens mit Mulde höher als ohne Mulde. Diese beiden Effekte heben sich nicht notwendigerweise auf, sondern je nach Form der Mulde und je nach Anfangsgeschwindigkeit hat entweder der längere Weg oder die höhere Durchschnittsgeschwindigkeit den stärkeren Einfluss auf die Gesamtzeit. Für die beiden Fälle a) und b) erhält man die Ergebnisse a) v 2 2gh 2 + v m s 2 2 m + ( m s 1 ) m s 1, b) v 2 2gh 2 + v m s 2 2 m + (9 m s 1 ) m s 1. 2

3 Physik 1 VNT Aufgabenblatt 8 5. Übung (5. KW) Lösung zu Aufgabe 3 a) Die Leistung P (t) ist als Zeitableitung der Arbeit W (t) und diese wiederum als Wegintegral definiert: r(t) P (t) d dt W (t) d FW ( s) d s dt r d dt t t FW ( s(t)) v dt F W ( s(t)) v F W v F W v 1 cos β 16 N 1.1 m s 1 cos W. Die zeitlich konstante Leistung beträgt also P W. b) Die Arbeit errechnet man durch zeitliches Integrieren der Leistung: W 1 P (t) dt P dt P Alternativ kann man auch das Wegintegral berechnen: W 1 r(t 1 ) r FW ( s) d s r 1 dt P [ t ] t 1 P t W 125 s 19.1 kj. F W ( s) cos β ds F W cos β [ s ] r 1 F W cos β r 1 F W cos β v 1 t 1 F W v 1 cos β t 1 P t kj. c) Auf den Handwagen wirken zunächst zwei äußere Kräfte ein, die Gravitations- ~F Z ~e? ~ek ~e z ~e x? k ~F R ~F gk m ~F g ~F g? kraft F g und die an der Deichsel angreifende Kraft F W, mit der der Wagen gezogen wird. Ohne den Erdboden betrüge die von außen an den Wagen angreifende Gesamtkraft F ges F g + F W, womit der Wagen mit a 1 m F ges beschleunigt würde. Dies wird jedoch durch den Erdboden verhindert, denn dieser übt auf die Räder des Handwagens eine Zwangkraft F Z aus, die genau senkrecht zum Erdboden gerichtet 3

4 Physik 1 VNT Aufgabenblatt 8 5. Übung (5. KW) ist und die gerade so groß ist, dass die Gesamtkraft in senkrechter Richung exakt Null ist: F ges F g + F W + F Z. (1) Damit gewährleistet die Zwangskraft, dass der Wagen weder in den Boden einsinkt noch vom Boden abhebt, d. h. die Bewegung findet ausschließlich in der um den Winkel α geneigten Ebene statt. Parallel zu dieser Ebene wirken die Parallelkomponente der Gravitationskraft F g, die Parallelkomponente der Zugkraft F W und die Rollreibung F R : F ges F g + F W + F R. (2) Gemäß dem zweiten Newtonschen Gesetz wird der Wagen mit a 1 m F ges entlang der schiefen Ebene beschleunigt. Da laut Aufgabenstellung die Geschwindigkeit des Wagens konstant ist, muss nicht nur die senkrechte Komponente der Gesamtkraft Null sein, sondern auch ihre parallele Komponente: F ges (2) F g + F W + F R. (3) Die Kräfte lauten im Einzelnen F g mg e z [ mg cos α] e } {{ + [ mg sin α] e }, } {{ } F g F g F W [F W sin β] e } {{ + [F } W cos β] e, } {{ } F W F W F Z F Z e, F R F R e, so dass aus (3) die Gleichung A { }} { [ mg sin α] e + [F W cos β] e + [ F R ] e [ mg sin α + F W cos β F R ] e folgt. Ganz links steht der Nullvektor und ganz rechts das Produkt aus dem Skalar A und dem Einheitsvektor e. Somit muss der Ausdruck A Null sein und es folgt mg sin α + F W cos β F R m F W cos β F R g sin α 16 N cos 3 4 N kg m s m s 2 sin m s kg. d) Die zurückgelegte Streckte s 1 und die dabei überwundene Höhe h 1 bilden die s 1 h 1 Hypotenuse und die Gegenkathete eines rechtwinkligen Dreiecks, so dass diese beiden Großen über den Sinus zusammenhängen: sin α h 1 s 1 h 1 s 1 sin α v 1 t 1 sin α 1.1 m s s sin m. 4

5 Physik 1 VNT Aufgabenblatt 8 5. Übung (5. KW) Die potentielle Energie des Handwagens im Schwerefeld der Erde ändert sich dabei um W pot (h 1 ) mgh 1 mgs 1 sin α mgv 1 t 1 sin α kg 9.81 m s m s s sin sin 5 kg m s 2 m s 1 s kg m 2 s kj < 19.1 kj W 1. Die Arbeit W 1, die beim Ziehen des Handwagens verrichtet wird, ist größer als die Zunahme W pot (h 1 ) der potentiellen Energie des Wagens im Gravitationsfeld der Erde. Es wird also nicht die komplette Arbeit in potentielle Energie umgesetzt, sondern ein Teil der Arbeit wird in andere Energieformen umgewandelt. Zum Beispiel könnte ein Teil der Arbeit in kinetische Energie des Wagens umgesetzt worden sein. Dies können wir jedoch ausschließen, denn die Geschwindigkeit des Wagens bleibt ja die ganze Zeit über konstant. Die restliche Arbeit ist vielmehr durch die Reibungskraft F R in Wärmeenergie W R umgewandelt worden: W R F F R ( s) d s R ds F R (s) ds F Rconst F R 4 N 1.1 m s s 55 N m 5.5 kj. ds F R s 1 F R v 1 t 1 Offensichtilich entsprechen die 5.5 kj der Differenz zwischen verrichteter Arbeit W 1 und Zunahme an potentieller Energie W pot (h 1 ): 19.1 kj W 1 W pot (h 1 ) + W R 13.6 kj kj. e) In Teilaufgabe c) haben wir bereits festgestellt, dass die äußere Gesamtkraft, die senkrecht zur Straße auf den Wagen einwirkt, genau Null ist, siehe Gleichung (1): F ges F g + F W + F Z. Die Kräfte F g und F W sind bekannt und betragen mg cos α e bzw. F W sin β e. Durch Umstellen nach F Z lässt sich die Zwangskraft bestimmen, die die Straße auf die Räder des Wagens ausübt: F Z F g F W mg cos α e F W sin β e [mg cos α F W sin β] e F Z mg cos α F W sin β. (4) Die Reibungskraft F R wird durch die Normalkraft F N verursacht, wobei der Zusammenhang F R µ F N gilt. Die Normalkraft entspricht der Zwangskraft mit entgegengesetztem Vorzeichen, F N F Z, somit haben sie denselben Betrag und es folgt µ F R F N F R F Z (4) F R mg cos α F W sin β 4 N kg 9.81 m s 2 cos 5 16 N sin