Experimentalphysik I: Lösung Übungsklausur

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1 Experimentalphysik I: Lösung Übungsklausur 3. Januar 1 1 (5 Punkte) Eine Punktmasse, welche sich zum Zeitpunkt t = am Koordinatenursprung befindet, bewegt sich mit der Geschwindigkeit v = α cos t δ βt sin t δ γe t ϕ a) Berechnen Sie Beschleunigung a (t) und Ort r (t) in Abhängigkeit von der Zeit! a (t) = d v α δ sin t δ dt = β sin t δ + β t δ cos t δ γ ϕ e t ϕ r (t) = v (t) dt = αδ sin t δ β ( δt cos t δ + ) δ sin t δ γϕe t ϕ b) Berechnen Sie a, v und r zum Zeitpunkt t = 7,85 s! (α = 1 m/s, β = 1 m/s, γ = 1 m/s, δ = 1 s, ϕ = 7,85 s) a (t) = 1 1 e/(5π) m/s (,5) v (t) = r (t) = 5π/ e 1 1 5πe/() m/s (,5) m (,5) 1

2 c) Berechnen Sie a, v und r zum Zeitpunkt t = 7,85 s! a = 1, 4559 m/s (,5) v = 8, 3111 m/s (,5) r = 1, 3961 m (,5) (4 Punkte) Um einen Esel vorwärts zu bewegen zieht eine Person mit einer Kraft von 1 N im Winkel von α = 3 nach links, eine andere Person mit 8 N im Winkel von β = 15 nach rechts. Welche Kraft und unter welchem Winkel wird auf den Esel ausgeübt? Welche Kraft (Betrag, Richtung) muss der Esel aufbringen um stehen zu bleiben? F 1 = F 1 sin α cos α F = F F R = F 1 F R = sin β cos β sin α cos α + F sin β cos β = F R,x F R,y = 39,9 N 181, N FR,x + F R,y = 185,41 N γ = arctan F R,x F R,y = 1,4 also nach links Der Esel muss mit F R ziehen, also mit 185,41 N um 1,4 nach rechts hinten 3 (4 Punkte) An einem Fadenpendel der Länge l = 1 m hängt eine Kugel der Masse m = 8 g. Sie wird um s = 5 cm horizontal ausgelenkt und prallt elastisch auf eine Wand. Die Berührungsdauer wird elektronisch zu t = µs gemessen. Wie groß ist der Impuls der Kugel kurz vor dem Stoß und die mittlere Stoßkraft während der Berührung auf die Wand?

3 p = t mittlere Stoßkraft: t 1 F dt = mv = F t F = mv/ t = p/ t es gilt (x = Höhe): für s x: damit: (l x) + s = l = l xl + x + s l xl + s l x s /l p = mv = mgt = mg x/g = m gx =.15 kgm/s F = p/ t = 153 N 4 (4 Punkte) Der Science Fiction Autor Robert Heinlein bemerkte einmal über den Raumflug: Wenn man bis in eine Umlaufbahn kommt, hat man schon die Hälfte geschafft.. Zeigen Sie, dass dieser Satz weitaus mehr als nur ein Körnchen Wahrheit enthält. Vergleichen Sie dazu die kinetische Energie, mit der man einen Satelliten in eine niedrige Umlaufbahn (mit h = 4 km) bringen kann, mit der kinetischen Energie, die nötig ist, um denselben Satelliten vollständig aus der Erdanziehung zu befreien! Wegen der Energieerhaltung gilt für den Satelliten E kin,e E kin,a + E pot,e E pot,a = Wir setzen die potentielle Energie der Gravitation im Unendlichen gleich Null. Daher ist E pot,e = E kin,e = und somit E kin,a E pot,a = Mit der Masse m des Satelliten gilt also für seine kinetische Energie E kin,f, mit der er dem Gravitationsfeld entfliehen kann: 3

4 E kin,f = E pot,a = Gm Em r E Gemäß dem zweiten Newton schen Axiom gilt bei einer Umlaufbahn mit dem Radius r für die Beträge der radialen Kräfte Gm E m r E = mv r E (,5) In einer sehr erdnahen Umlaufbahn (mit r r E ) ist die kinetische Energie des Satelliten daher gegeben durch E kin,re = 1 mv = Gm Em r E (,5) Damit ist der Quotient der Energie in dieser Umlaufbahn und der Energie, die zum Entfliehen aus dem Gravitationfeld nötig ist: E kin,re E kin,f = Gm Em/ (r E ) Gm E m/r E = 1 (,5) 5 (3 Punkte) Ein m langer Stab (Masse m =, kg) steht senkrecht auf dem Boden, ehe er umfällt. Mit welcher Geschwindigkeit schlägt das obere Stabende auf dem Boden auf, wenn das untere Stabende nicht von seinem anfänglichen Standort wegrutscht? Trägheitsmoment eines Stabes (Rotation um Fußpunkt): I Stab = 1 1 ml Steiner: I A = I Sp + SpA = 1 1 ml + m(l/) = 1 3 ml E pot = E rot mgh = 1 Iω (h = l/, ω = v/r, r = l) mgl/ = 1 1 v ml 3 l v = 3gl = 7.8m/s 4

5 6 (7 Punkte) In einem Förderkorb, der in einen senkrechten Schacht einfährt, hängt an einer Federwaage eine Masse von 1 kg. Vom Beginn der Einfahrt an zeigt die Federwaage innerhalb der ersten s ein Gewicht von 4 N, anschließend 11 s lang ein Gewicht von 9,81 N und schließlich bis zum Moment des Stillstands ein Gewicht von 1 N an. a) Wie weit ist der Förderkorb eingefahren? b) Bestimmen Sie die maximale Sinkgeschwindigkeit! c) Nach welcher Zeit hat der Korb sein Ziel erreicht? 1.Phase:.Phase: 3.Phase: Weg: F eff = F G F A = mg ma 1 (,5) a 1 = g F eff /m = 5.81m/s (,5) a = (,5) F eff = F G + F A = mg + ma (,5) a 3 = F eff /m g =.19m/s (,5) s 1 = a 1 t 1 = 11.6m (,5) s = v t = a 1 t 1 t = 17.87m (,5) s 3 = a 3 t 3 = a ( ) 3 v = (a 1 t 1 ) = 3.83m a 3 a 3 s ges = 17.7m (,5) Maximalgeschw.: v max = a 1 t 1 = 11.6m/s Gesamtdauer: t ges = t 1 + t + t 3 = t 1 + t + v max a 3 = s + 11s s = 18.31s 5

6 7 (6 Punkte) Ein Draht von ursprünglich 1 m Länge ist an einem Ende befestigt und wird am anderen Ende durch eine Kraft von 196, N in Längsrichtung gespannt, wobei er eine Längenänderung von 4 mm erfährt. Der E-Modul des Drahtes sei 1,96*1 11 N/m und der Schermodul betrage 7,3575*1 1 N/m. a) Bestimmen Sie den ursprünglichen Durchmesser des Drahtes! b) Welche Poisonsche Konstante ergibt sich aus den elastischen Moduli des Materials? c) Welche Durchmesserverringerung folgt aus der Drahtverlängerung durch Zug? d) Um welchen relativen Betrag ändert sich die Massendichte des Materials? Durchmesser: σ = F/A = Eɛ = E l l A = lf E l = (1/4)πd 4lF d = πe l = m Poisson-Zahl: E G = 1 + µ µ = E 1 = 1/3 G Durchmesseränderung: µ = d/d l/l d = µ l l d = m Dichteänderung: ρ ρ = ρ ρ 1 ρ = V 1 V V = V V V 1 V 1 l l (1 µ) = 1 + l = l (1 µ) 6

7 8 (3 Punkte) Ein dünnwandiges Rohr (Durchmesser d 1 = 9 mm) wird senkrecht ins Wasser eingetaucht. Am unteren Ende befindet sich eine Scheibe (Durchmesser d = 1 mm, Dicke s = 5 mm, Dichte ρ = 7,8 g/cm 3 ), welche nur durch das Wasser an das Rohr gedrückt wird. Wie tief muss das Rohr mindestens ins Wasser getaucht werden, damit sich die Scheibe nicht vom Rohr löst? Gravitation (F G ) zieht nach unten und von oben drückt Wasser auf den überstehenden Rand der Scheibe (F o ). Von unten drückt Wasser auf ganze Scheibe (F u ) nach oben. F G + F o = F u ( ) ( (d d ρπ sg + ρ HOπ ρd ( s + ρ HO d d 1 ( ρ HO d d 1 d 1ρ HOt = (ρ HO ρ) d s t = (ρ ρ H O) d s d 1 ρ H O ) ( ) ) d1 tg = ρ HOπ ) t = ρhod t + ρ HOd s ) t ρhod t = ρ HOd s ρd s ( ) d (t + s) g t = 4,1975 cm alternativer Ansatz mit Volumen des verdrängten Wassers (Scheibe und Rohr): F G = F A ρπ ( ) d sg = ρ HOπ ρd s = ρ HOd s + ρ HOd 1t t = (ρ ρ H O) d s ρ HOd 1 ( ) d sg + ρ HOπ ( ) d1 tg 9 (3 Punkte) Kleine kugelförmige Teilchen erfahren bei langsamer Bewegung in einem Fluid eine Widerstandskraft, die durch das Stokes sche Gesetz F W = 6πηrv gegeben ist. Dabei ist r der Radius des Teilchens, v seine Geschwindigkeit und η die Viskosität des fluiden Mediums. 7

8 a) Schätzen Sie in Luft (η = 1,8 1 5 Ns/m ) die Endgeschwindigkeit eines kugelförmigen Schadstoffteilchens mit dem Radius m und der Dichte kg/m 3 ab. b) Schätzen Sie, wie lange ein solches Teilchen braucht, um bei Windstille 1 m tief zu fallen. Nehmen Sie an, dass die Endgeschwindigkeit instantan erreicht wird. Lösung a) Die positive y-richtung soll nach unten zeigen. Es gilt das. N.A.: Fi,y = ma y. Bei der Endgeschwindigkeit gilt a y = : = mg 6πηrv E v E = mg 6πηr Masse: m = ρv = ρ(4/3)πr 3 Damit gilt: v E = mg 6πηr = r ρg =.4 cm/s 9η b) Endgeschwindigkeit wird nach einigen µs erreicht, also: t = s v E = s = 1.15 h 8