= g = 50u. n = 1 a 3 = = = 2.02Å. 2 a. k G = Die Dispersionsfunktion hat an der Brillouinzonengrenze ein Maximum; dort gilt also

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1 Aufgabe 1 Ein reines Material habe sc-struktur und eine Dichte von 10 g/cm ; in (1,1,1) Richtung messen Sie eine Schallgeschwindigkeit (für große Wellenlängen) von 000 m/s. Außerdem messen Sie bei nicht zu tiefen Temperaturen eine Wärmekapazität von 5 J K 1 cm a) Wie groß ist das Atomgewicht? b) Wie groß ist die Kantenlänge der kubischen Einheitszelle? c) Wie groß ist die Phononenfrequenz ω an der Brillouinzonengrenze in (1,1,1)-Richtung? (es sei angenommen, dass die Phononendispersion der der linearen Kette entspricht, ω = ω 0 sin(kl) ) a) Es ist (spezifische Wärmekapazität, pro Volumen!): c = nk B = k B ρ also b) Es ist = k Bρ c = g = 50u n = 1 a = ρ a = ρ = = 2.02Å c) Die Brillouinzonengrenze in (1,1,1)-Richtung liegt bei k G = 2 a Die Dispersionsfunktion hat an der Brillouinzonengrenze ein Maximum; dort gilt also d.h. und damit l = sin(k G l) = 1 k G l = π 2 π 2k G = 1 2 a Die Schallgruppengeschwindigkeit bei kleinen k ist v = d dk ω(k) = ω 0l cos(k G l) ω 0 l (gilt genauso für die Phasengeschwindigkeit). Damit ist die Phononenfrequenz an der Brillouinzonengrenze ω(k G ) = ω 0 sin(k G l) = v l = 2 v a = /s

2 Aufgabe 2 Das Diamantgitter besteht aus zwei fcc-gittern, die um einen Vektor (1/4,1/4,1/4) a gegeneinander verschoben sind (a: Kantenlänge der kubischen Einheitszelle). a) wie groß ist der Füllfaktor des Materials (d.h. wenn man die Atome durch Kugeln ersetzt, deren Radius so groß ist, dass sich Kugeln berühren, aber sich keine durchdringen, wie groß ist dann das relative Volumen der Kugeln?) b) wie groß sind die Ebenenabstände in (1,1,1)-Richtung? (es gibt zwei verschiedene! Es sollen hier durch sämtliche Atome des Gitters Ebenen senkrecht zur (1,1,1)-Richtung gelegt werden c) führt man ein Beugungsexperiment an einem solchen Gitter durch, sieht man dann mehr oder weniger Reflexe als bei einem einfachen fcc-gitter? (einfache Erklärung geben!) a) Kugelradius: r = 8 a Es gibt 8 Kugeln pro Einheitszelle; damit ist der Füllfaktor: f = 1 a 84π r = π 16 = 0.4 b) Im fcc-gitter ist der Ebenenabstand der (1,1,1)-Ebene: d = a Der Abstand der gegeneinander verschobenen fcc-gitter und damit ein Ebenenabstand ist: Der zweite Ebenenabstand ist damit: d 1 = 4 a = 0.4a d 2 = d d 1 = ( 1 4 )a = a 4 = 0.144a c) Die beiden verschobenen fcc-gitter ergeben identische Beugungsmuster, allerdings mit unterschiedlichen Phasen der Beugungsreflexe. Damit kann es zu destruktiver Interferenz kommen: es gibt weniger Reflexe.

3 Aufgabe Ein fcc Kristall mit einer Kantenlänge a=5å der kubischen Einheitszelle wird mit Röntgenlicht der Wellenlänge λ=4å bestrahlt. a) Nennen Sie alle reziproken Gittervektoren, die (bei entsprechender Orientierung des Kristalls) zur elastischen Beugung beitragen können. b) Wählen Sie einen dieser Vektoren aus, und geben Sie ein Paar von Wellenvektoren und an, welches für dieses die Beugungsbedingung erfüllt. c) Unter welchem Ablenkwinkel findet Beugung an den (1,1,1)-Ebenen statt? a) Es gilt G 2 k also a h2 + k 2 + l 2 2 λ h 2 + k 2 + l 2 4( a λ )2 = 6.25 Das reziproke Gitter des fcc-gitters ist ein bcc-gitter (nur gerade oder ungerade Indizes); damit gilt die Bedingung für G a = (0, 0, 0), (2, 0, 0), ( 2, 0, 0), (0, 2, 0), (0, 2, 0), (0, 0, 2), (0, 0, 2), (1, 1, 1), ( 1, 1, 1), (1, 1, 1), (1, 1, 1), ( 1, 1, 1), ( 1, 1, 1), (1, 1, 1), ( 1, 1, 1) b) Für G = a (2, 0, 0) ist z.b. möglich (es muss k = /λ gelten!): k = a ( 1, (a/λ) 2 1, 0) ; k = a (1, (a/λ) 2 1, 0) (hier gab es einen Fehler in der Lösung der Testklausur, das bitte ich zu entschuldigen) c) Es ist θ = 2 arcsin( λ h2 + k 2a 2 + l 2 ) = 87.7 Aufgabe 4 Wir betrachten die elektronische Bandstruktur eines fcc-gitters mit Kantenlänge a der kubischen Einheitszelle bei verschwindender Wechselwirkung zwischen Elektronen und Gitter (also freie Elektronen). Zu Erinnerung: die Bandstruktur sind die Energien der Blochfunktionen, aufgetragen gegen den Blochindex k. a) berechnen Sie die Energien der drei niedrigsten Zustände am Ursprung des k-raums (dem Γ-Punkt). Es sind drei verschiedene Energien gemeint. b) Wie hoch ist die Entartung dieser Zustände? c) Wie groß ist die Energie des untersten Zustands an der Brillouinzonengrenze in (1,1,1)- Richtung?

4 a),b) Es ist Am Γ-Punkt also einfach ( k 2 + G 2 ) G 2 Damit ergibt sich (nur Vektoren des bcc-gitters sind erlaubt!): c) Die Brillouinzonengrenze liegt bei G Energie Entartung (0, 0, 0) 0 1 a (1, 1, 1) h 2 ( a a )2 8 (2, 0, 0) h 2 ( a a )2 4 6 kg = a (1 2, 1 2, 1 2 ) Die Energie ist damit Aufgabe 5 k 2 G = h2 ( a )2 4 Natrium hat bei Raumtemperatur eine Elektronendichte von 2.5*10 28 m ; kühlt man es auf 100 K ab, steigt die Dichte aufgrund der thermischen Kontraktion auf etwa 2.64*10 28 m a) wie groß ist das chemische Potential bei beiden Temperaturen? (die thermische Verschmierung der Fermi-Dirac-Verteilungs sei vernachlässigt, d.h. man verwendet die gleichen Formeln für das chemische Potential wie für die Fermi-Energie) b) wie groß ist die Gesamtenergie aller Valenzelektronen in 1 cm bei beiden Temperaturen? (auch hier sei angenommen, bis zum chemischen Potential seien alle Zustände besetzt, darüber unbesetzt) c) wie groß ist die maximale Gruppen-Geschwindigkeit der Elektronen bei beiden Temperaturen? (dito) a) Mit E F = h2 k 2 F = h2 (π2 n) 2/ ergibt sich µ = J =.14 ev für 00 K und µ = J =.2 ev für 100 K b) Mit E tot = 5 NE F = 5 nv E F erhält man E tot = ev= 765 J für 00 K und E tot = ev= 8186 J c) Es ist v max = h m k F = h m (π2 n) 1/ und damit v=1.05*10 6 m/s für 00 K und v=1.06*10 6 m/s für 100 K.

5 Aufgabe 6 Wir betrachten einen fiktiven Halbleiter mit einer direkten Bandlücke von 1 ev, nichtentartetem Valenz- und Leitungsband (also jeweils nur ein Band), und einer effektiven Masse der Elektronen von 0.5 me und der Löcher von 0.1 m e. a) Wie groß ist die kinetische Energie eines Elektronzustands im Leitungsband und eines Lochzustands im Valenzband mit einem Wellenvektor von k=1*10 9 m 1? b) Wieviele Zustände pro cm gibt es in dem Halbleiter innerhalb eines Energieintervalls von 0.1 ev im Valenz- und Leitungsband? (d.h. zwischen der Unterkante des Leitungsbands EL und EL+0.1 ev, bzw. zwischen EV und EV-0.1 ev) c) Liegt bei diesem Halbleiter bei endlicher Temperatur das chemische Potential näher am Valenzband oder näher am Leitungsband? (kurze Begründung, keine Formel) a) Es ist k2 und damit E=1.2*10 20 J = ev für das Elektron und E=6*10 20 J = 0.75 ev für das Loch b) Die Zustandsdichte ist D(E) = V Herleitung war nicht nötig, nur zur Ergänzung: ρ(k) = 2 4πk2 (/L) D(E) = ρ(k(e)) dk de = 2 π 2 h E 4π E (/L) h 2 h E Damit ist die Zahl der Zustände im Leitungsband (V=1cm = 10 6 m ): N = Im Valenzband: N = EL + E E L = EV E V E = D(E E L )de = V D(E V E)dE = V π 2 h π 2 h E 0 E 0 EdE = V π 2 h 2 E/2 EdE = V π 2 h 2 E/2 c) Die Zustandsdichte im Valenzband ist kleiner, daher muss der Wendepunkt der Fermi-Dirac- Verteilung (das chemische Potential) näher am Valenzband liegen, um zu gewährleisten, dass die Zahl der Löcher im Valenzband der Zahl der Elektronen im Leitungsband entspricht.