Teil 8 Teilchensysteme Impuls

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1 Tipler-Mosca 8. Teilchensysteme und die Erhaltung des linearen Impulses (Systems of particles and conservation of linear momentum) 8.1 Der Massenmittelpunkt (The center of mass) 8. Bestimmung des Massenmittelpunkts durch Integration (Finding the center of mass by integration) 8.3 Bewegung des Massenmittelpunkts (Motion of the center of mass) 8.4 Impulserhaltung (Conservation of linear momentum) 8.5 Kinetische Energie eines Systems von Teilchen (Kinetic energy of a system) 8.6 Stöße (Collisions) 8.7 Das Massenmittelpunktsystem als Bezugssystem (The center-of-mass reference frame) 8.8 Systeme mit veränderlicher Masse: der Strahlantrieb (Systems with continuosly varying mass: rocket propulsion) In jedem System gibt es einen Punkt, der sich so bewegt, als wäre die gesamte Masse des Systems in diesem Punkt vereint und als würden alle äußeren Kräfte auf das System auschschließlich in diesem Punkt angreifen Massenmittelpunkt Universität Salzburg Seite

2 Dubbel Universität Salzburg Seite

3 8.1 Der Massenmittelpunkt (The center of mass) Massenmittelpunkt bei m = m 1 Massenmittelpunkt bei m m 1 Praktische Vorgangsweise bei Berechnungen des Massenmittelpunktes (center of mass CM) Universität Salzburg Seite

4 Beispiel 8.1: Das Massenmittelpunkt des Wassermoleküls Wassermolekül: Sauerstoffatom: m = 16 amu Wasserstoff: m = 1 amu m 18 amu r O-H CM = 96 pm θ = H-0-H O mx i i my i i i i aus xcm = ycm = m m mx + mx + mx my + my + my x = y = H H,1 H H, O O H H,1 H H, O CM mho mho θh-0-h θh-0-h mit xo = 0 yo = 0 x = r cos sin = x y = r y = θh-0-h mr H O-Hcos xcm = ycm = 0 mho r = x e + y e CM CM x CM H O H O = H,1 O-H H, H,1 O-H H, y Universität Salzburg Seite

5 Beispiel 8.: Massenmittelpunkt einer Sperrholzplatte Den Massenmittelpunkt komplizierter Systeme kann man berechnen, indem man zunächst den Massenmittelpunkt für jeden Bestandteil des Systems bestimmt. Dann behandelt man das System so, als bestehe es nur aus Punktmassen am Ort der Teilmassenpunkten. Sperrholzplatte: besteht aus zwei symmetrische Teile: Teil 1 und Teil m Massen beider Teile proportional zu den Flächen = konst A m A m A m A + A aus mx = m x + m x und my = m y CM 1 CM,1 CM, CM 1 CM,1 CM, A1 A A1 A xcm = xcm,1 + xcm, ycm = ycm,1 + ycm, A A A A mit x = 0.4 m y = 0. m x = 0.7 m y = 0.5 m und CM,1 CM,1 CM, CM, A = 0.3 m A = 0.04 m A= 0.36 m 1 x = ( 0.4 m) + ( 0.7 m ) y = ( 0. m) + ( 0.5 m ) CM CM + my Universität Salzburg Seite

6 Potentielle Gravitationsenergie eines Systems im Massenmittelpunkt unterstützt Die potentielle Gravitationsenergie E eines Systems von Teilchen in einem konstanten Gravitationsfeld ist dieselbe, wie wenn die Gesamtmasse im Massenmittelpunkt vereinigt wäre. pot an einem anderen Punkt unterstützt Bestimmung des Massenmittelpunktes durch Aufhängen Universität Salzburg Seite

7 8. Bestimmung des Massenmittelpunkts durch Integration (Finding the center of mass by integration) Stab mit gleichmäßiger Massenverteilung Halbring mit gleichmäßiger Massenverteilung Massenelement d m der Länge d x in Entfernung x vom Ursprung aus Gl. (8.6) mit r = xe Mr = xe dm x Masse im Intervall 0 x L gleichmäßig verteilt dm mit λ = = konst Masse pro Einheitslänge d m = dx λd x CM x L L L x L Mr CM = e xλdx = e λ x dx = e λ = e λ x x x x dm M L da λ = = M = λl rcm = ex dx L Massenelement d m der Länge d s in Entfernung r vom Ursprung aus Gl. (8.6) mit r = xex + yey = rcosθex + r sin θey Mr = r cosθe + sinθe dm CM ( x y) Masse im Intervall 0 θ π gleichmäßig verteilt dm mit λ = = konst Masse pro Einheitslänge dm = λds = λr d θ ds π π Mr = r cosθe + sinθe λr dθ = r λ cosθe + sinθe dθ = CM ( x y) ( x y) π ( ( ) ( ) 0 ) π π ( 0 0) = r λ cosθe dθ + r λ sinθe dθ = r λ e sinθ e cosθ = π π x y x y = r λ e 0 0 e 1 1 cosθ = r λe x y y dm M da λ = = ds rπ r M = λπ r rcm = e π y Universität Salzburg Seite

8 8.3 Bewegung des Massenmittelpunkts (Motion of the center of mass) Auf ein System wirken nur externe Kräfte, da alle innere Kräfte für jedes Aktions-Reaktionspaar sich zu null summieren, d.h. F i,int = 0. i Universität Salzburg Seite

9 Beispiel 8.3: Ein explodierendes Geschoss Teil ds8 Teilchensysteme rπ Impuls π Universität Salzburg Seite

10 Beispiel 8.4: Plätze tauschen im Ruderboot Universität Salzburg Seite

11 Beispiel 8.5: Ein rutschender Block Universität Salzburg Seite

12 8.4 Impulserhaltung (Conservation of linear momentum) Der lineare Impuls aus dem zweiten Newton'sche Axiom unter der Annahme m = konst dp d( mv ) dv = = m = ma = F dt dt dt Die auf ein Teilchen wirkende Kraft ist gleich der zeitlichen Änderung des Impulses von diesem Teilchen. Die Geschwindigkeit des Massenmittelpunktes bleibt konstant und wird durch die internen Kräfte beim Stoß nicht geändert. Universität Salzburg Seite

13 Beispiel 8.6: Reparatur im Weltraum Universität Salzburg Seite

14 Beispiel 8.7: Waggon im Rangierbanhhof Universität Salzburg Seite

15 Beispiel 8.8: Training mit dem Skateboard Universität Salzburg Seite

16 Beispiel 8.9: Radioaktiver Zerfall Universität Salzburg Seite

17 8.5 Kinetische Energie eines Systems von Teilchen (Kinetic energy of a system) Universität Salzburg Seite

18 8.6 Stöße (Collisions) Bei einem Stoß bewegen sich zwei Körper aufeinander zu, wirken für eine sehr kurze Zeit stark aufeinander ein (elastischer Stoß, inelastischer Stoß) und entfernen sich wieder voneinander (Ausnahme: vollständig inelastischer Stoß) Kraftstoß und zeitliches Mittel der Kraft Definition des Kraftstoßes Deutsche Ausgabe Δp Englische Ausgabe I Universität Salzburg Seite

19 Beispiel 8.10: Der Karateschlag Universität Salzburg Seite

20 Beispiel 8.11: Crashtest Universität Salzburg Seite

21 Beispiel 8.1: Golfball Universität Salzburg Seite

22 Stöße in einer Dimension mv 1 1, f + mv, f = mv 1 1, i + mv, i E 1 = mv p = mv 1 p mv m aus kin mit E kin = = Vollständig inelastische Stöße Inelastische Stöße v = v = v 1, f, f CM ( ) m + m v = mv + m v 1 CM 1 1, i, i Universität Salzburg Seite

23 Beispiel 8.13: Auffangen im Weltall Universität Salzburg Seite

24 Beispiel 8.14: Ein ballistisches Pendel Universität Salzburg Seite

25 Beispiel 8.15: Schuss auf eine leere Kiste Universität Salzburg Seite

26 Vollständig elastische Stöße mv + mv = mv + mv 1 1, f, f 1 1, i, i mv + mv = mv + m v 1 1, f, f 1 1, i, i E 1 = mv p = mv 1 p mv m aus kin mit E kin = = Annäherung und Trennung beim elastischen Stoß aus mv + mv = mv + mv m v v = m v v m v v v v m v v v v aus ( ) ( ) 1 1, f, f 1 1, i, i, f, i 1 1, f 1, i ( f + i)( f i) = ( f + i)( f i) mv 1 1, f mv, f mv 1 1, i mv, i m ( v, f v, i) m1 ( v1, f v1, i) n v, f + v, i = v1, f + v1, i v, f v1, f = ( v, i v1, i),,,, 1 1, 1, 1, 1, Divisio + = + = Universität Salzburg Seite

27 Beispiel 8.16: Elastischer Stoß von zwei Blöcken Universität Salzburg Seite

28 Beispiel 8.17: Elastischer Stoß von einem Neutron und einem Atomkern Universität Salzburg Seite

29 Die Elastizitätszahl relative Rückstoßgeschwindigkeit e = relative Annäherungsgeschwindigkeit Elastizitätszahl oder Elastizitätskoeffizient e : Maß für die Elastizität eines Stoßes Für einen elastischen Stoß e = 1 Für einen vollständig inelastischen Stoß e = 0 Universität Salzburg Seite

30 Stöße in drei Dimensionen mv + mv = mv + mv 1 1, f, f 1 1, i, i Vollständig inelastische Stöße in drei Dimensionen ( m1+ m) vf = mv 1 1, i + mv,i Die drei Geschwindigkeitsvektoren müssen in einer Ebene liegen wobei v = v f CM Beispiel 8.18: Zusammenstoß von PKW und LKW Universität Salzburg Seite

31 Elastische Stöße in drei Dimensionen Nichtzentraler Stoß von m mit v 0 auf m mit v = 0 1 1, i, i Abstand b: Stoßparameter aus mv 1 1, f + mv, f = mv 1 1, i = p v, f liegt in der Ebene gebildet von v1, i und v1, f Universität Salzburg Seite

32 Nichtzentraler elastischer Stoß zwischen zwei gleich schweren Kugeln Spezialfall: Nichtzentraler Stoß von m m mit v 0 auf m m mit v 0 Abstand b: Stoßparameter aus mv1, f + mv, f = mv1, i v = v + v 1, i 1, f, f 1 = 1, i =, i = aus mv = mv + mv v = v + v v v 1, f, f 1, i 1, f, f 1, i 1, f, f Proton-Proton-Stoß Universität Salzburg Seite

33 8.7 Das Massenmittelpunktsystem als Bezugssystem (The center-of-mass reference frame) Für viele Untersuchungen ist es praktisch, ein Koordinatensystem zu verwenden, dessen Ursprung im Massenmittelpunkt des Systems liegt: Massenmittelpunktsystem (oder Schwerpunktsystem). Wenn ein Teilchen im ursprünglichen Bezugssystem die Geschwindigkeit v hat, dann ist seine ( CM ) Geschwindigkeit relativ zum Massenmittelpunkt v = v v = u Im Schwerpunktsystem ist die Geschwindigkeit des Massenmittelpunktes immer null. Daher ist auch der Gesamtimpuls des Systems im Schwerpunktsystem null (Null-Impuls-Bezugssystem). CM Zweikörperproblem: Stoß von Masse m mit v auf Masse m mit v 1 1 CM = m1+ m 1 1 Geschwindigkeit des Massenmittelpunktes: mv + mv v v = u = v v v = u = v v CM CM CM CM Universität Salzburg Seite

34 Beispiel 8.19: Elastischer Stoß zweier Blöcke Universität Salzburg Seite

35 8.8 Systeme mit veränderlicher Masse: der Strahlantrieb (Systems with continuosly varying mass: rocket propulsion) Herleitung des zweiten Newton'schen Axioms für Objekte mit sich kontinuierlich verändernder Masse: Annahme: vollständig inelastischer Stoß Materiestrom trifft mit Geschwindigkeit u auf Körper mit Masse M und Geschwindigkeit v Während Zeitintervall Δt trifft ΔM auf M auf, gleichzeitig ändert sich v um Δv Kraftstoß: Fnet extδ t = (( M +Δ M )( v +Δv )) ( Mv +Δ Mu) = Mv + MΔ v +Δ Mv +ΔMΔv Mv ΔMu Fnet extδ t = MΔ v +Δ Mv +ΔMΔv ΔMu Umstellung Fnet extδ t = MΔ v +ΔM( v u) +ΔMΔv Δv ΔM ΔM Fnet ext = M + ( v u) + Δv Δt Δt Δt mit Δt 0 und somit Δv 0 dv dm dv dm Fnet ext = M + ( v u) = M vrel dt dt dt dt Universität Salzburg Seite

36 Beispiel 8.0: Ein fallendes Seil Universität Salzburg Seite

37 Raketengleichung aus Gl. (8.37) mit Masse der Rakete M = M - Rt und R Brennrate 0 Schubkraft oder Schub Universität Salzburg Seite

38 dv = dt t M0 Rt tb tb y Ruex aus dt g d 0 0 Beispiel 8.1: Eine Rakete hebt ab Universität Salzburg Seite

39 Alonso-Finn 13. Teilchensysteme I: Linearer Impuls und Drehimpuls 13.1 Einführung 13. Bewegung des Schwerpunktes eines isolierten Systems von Teilchen 13.3 Bewegung des Schwerpunktes eines System von Teilchen unter dem Einfluß einer äußeren Kraft 13.4 Reduzirte Masse 13.5 Drehimpuls eines System von Teilchen 13.6 Innerer Drehimpuls und Bahndrehimpuls 13.7 Drehimpuls eines starren Körpers 13.8 Bewegungsgleichungen für die Rotation eines starren Körpers 13.9 Schwingungsbewegung eines starren Körpers Kreiselbewegung Gleichgewicht eiens Körpers 14. Systeme von Teilchen II: Energie 14.1 Einführung 14. Kinetische Energie eines Systems von Teilchen 14.3 Energieerhaltung eines Systems von Teilchen 14.4 Gesamtenergie eines System von Teilchen unter Einfluß einer äußeren Kraft 14.5 Innere Energie eines System von Teilchen 14.6 Kinetische Energie der Rotation eines starren Körpers 14.7 Rotationsenergie von Molekülen 14.8 Bindungsenergie eines System von Teilchen 14.9 Kollisionen Bewegung in Fluiden Universität Salzburg Seite