Theoretische Physik: Mechanik

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1 Ferienkurs Theoretische Physik: Mechanik Sommer 2016 Vorlesung 1 (mit freundlicher Genehmigung von Verena Walbrecht) Technische Universität München 1 Fakultät für Physik

2 Inhaltsverzeichnis 1 Mathematische Grundlagen Differentiation und Integration von Vektoren Differentiation von Funktionen mit mehreren Veränderlichen Bahnkurven Zylinderkoordinaten Kugelkoordination Vektorielle Differentialoperatoren Gradient Divergenz Rotation Linienintegrale Integralsätze Gauß scher Integralsatz Stokes scher Integralsatz Newton sche Axiome 8 3 Eindimensionale Bewegung 9 4 Erhaltungssätze Impulserhaltung Drehimpulserhaltung Energieerhaltung Arbeit Konservative Kräfte Energieerhaltungssatz Technische Universität München 2 Fakultät für Physik

3 1 Mathematische Grundlagen 1.1 Differentiation und Integration von Vektoren Gegeben sei ein Vektorfeld: A(u) = Die Ableitung ist dann: A x (u) A y (u) A z (u) = A x (u) e x + A y (u) e y + A z (u) e z (1) da(u) du ( dax (u) = du, da y(u) du, da ) z(u) du (2) Und das Integral: ( du A(u) = du A x (u), du A x (u), ) du A z (u) (3) 1.2 Differentiation von Funktionen mit mehreren Veränderlichen Gegeben sei eine Funktion f(x i ), mit i = 1, 2, 3. Die partielle Ableitung nach i ist wie folgt definiert: f(x i ) x i (4) Bei der partiellen Differentiation werden alle Variabeln außer x i festgehalten und nach x i abgeleitet. 1.3 Bahnkurven Die Dynamik eines Teilchens in Raum und Zeit wird durch eine Bahnkurve: r(t) = x(t) y(t) z(t) beschrieben. Geschwindigkeit und Beschleunigung sind wie folgt definiert: (5) v(t) = dr(t), a(t) = dv(t) = d2 r(t) dt dt dt 2 (6) Technische Universität München 3 Fakultät für Physik

4 Abbildung 1: Abbildung 1: Bahnkurve in 3 Dimensionen Um von dem Koordinatensystem unabhängig zu werden, wird eine Orthonormalbasis aus drei Vektoren (T : Tangentenvektor, N: Normalenvektor und B: Binominalvektor) in den Punkt P (x(t), y(t), z(t)), welcher die Position des Teilchens beschreibt, gelegt. Diese drei Vektoren können über die Bogenlänge bestimmt werden, welche sich durch Integration wie folgt ergibt: s(t) = t t ds = dr = t 0 t 0 t t 0 dt dr dt (7) Die drei Vektoren der Orthonormalbasis sind dann: T = dr ds κn = dt, mit κ : Krümmungsradius der Kurve ds B = T N Da in der theoretischen Mechanik viele Probleme auf ein Zentralkraftproblem zurück geführt werden können, ist es in diesen Fällen oft sinnvoll in ein anderes Koordinatensystem zu wechseln Zylinderkoordinaten Die kartesischen Koordinaten transformieren sich in Zylinderkoordinaten wie folgt: Technische Universität München 4 Fakultät für Physik

5 x = ρ cos ϕ y = ρ sin ϕ z = z Somit ergibt sich für den Ort, die Geschwindigkeit und die Beschleunigung: r = ρ e ρ + z e z v = ρ e ρ + ρ ϕ e ϕ + ż e z a = ( ρ ρ ϕ 2 ) e ρ + (ρ ϕ + 2 ρ ϕ) e ϕ + z e z Hierbei sind die Einheitsvektoren wie folgt definiert: e ρ = cos ϕ sin ϕ 0, e φ = sin ϕ cos ϕ 0, e z = (8) Kugelkoordination Die kartesischen Koordinaten transformieren sich in Kugelkoordinaten wie folgt: x = r cos φ sin θ y = r sin φ sin θ z = r cos θ Analog zu den Zylinderkoordinaten ergeben sich neue Darstellungen für Ort, Geschwindigkeit und Beschleunigung: r = r e r v = ṙ e r + r θ e θ + r sin θ ϕ e ϕ a = ( r r θ 2 r sin 2 θ ϕ 2 ) e r + (r θ + 2ṙ θ sin θ cos θ ϕ 2 ) e θ + (r sin θ ϕ + 2 sin θṙ ϕ + 2r cos θ θ ϕ) e ϕ Wobei die Einheitsvektoren wie folgt definiert sind: e r = cos ϕ sin θ sin ϕ sin θ cos θ, e θ = cos φ cos θ sin ϕ cos θ sin ϕ, e φ = sin ϕ cos ϕ 0 (9) Technische Universität München 5 Fakultät für Physik

6 1.4 Vektorielle Differentialoperatoren Gradient Gegeben sei ein Skalarfeld Φ(x, y, z). Der Gradient ist wie folgt definiert: ( Φ(x, y, z) grad Φ(x, y, z) = Φ(x, y, z) =, x Φ(x, y, z), y ) Φ(x, y, z) z (10) Der Gradient eines Skalarfeldes steht senkrecht auf den Äquipotentialflächen (Φ(x, y, z) = const). Bestimmt man den Gradienten in einem beliebigen Punkt P 0 (x 0, y 0, z 0 ), dann zeigt dieser in Richtung des steilsten Aufstiegs bzw. Abstiegs Divergenz Einem differenzierbaren Vektorfeld A(r) = ((A x (x, y, z), A y (x, y, z), A z (x, y, z)) kann man dessen Divergenz zuordnen, welche wie folgt definiert ist: div A(r) = A(r) = A x x + A y y + A z z (11) Die Divergenz misst den lokalen Fluss des Vektorfeldes A(r) aus kleinen Volumina Rotation Für ein Vektorfeld kann man des Weiteren die Rotation oder Wirbeldichte definieren: rot A(x, y, z) = A(x, y, z) (12) ( Az = y A y z, A x z A z x, A y x A ) x (13) y Die Rotation misst die lokale Drehrate bzw. Wirbeldichte des Vektorfeldes. 1.5 Linienintegrale Das Wegintegral einer Kraft F (r) zwischen zwei Punkten P 1 und P 2 ist die Arbeit bzw. Energie, die bei der Bewegung zwischen diesen zwei Punkten aufgewendet bzw. frei wird. Das Integral berechnet sich folgendermaßen: A = P2 P2 t2 drf (r) = (dx F x + dy F y + dz F z ) = dt ṙ F (r) (14) P 1 P 1 t 1 mit der Leistung N = ṙ F (r). Technische Universität München 6 Fakultät für Physik

7 1.6 Integralsätze Gauß scher Integralsatz Der Gauß sche Integralsatz besagt, dass der Fluss eines differenzierbaren Vektorfeldes A(r) durch eine geschlossene Fläche gleich dem Volumenintegral über dessen Quelldichte div A(r) ist: F = V df A(r) = dv div A(r) (15) Stokes scher Integralsatz Der Stokes sche Integralsatz besagt, dass die Summe der Wirbel über eine Fläche die Zirkulation eines Vektorfeldes längs einer orientierten geschlossenen Kuve C ergibt: C= F dr A(r) = df rot A(r) (16) Technische Universität München 7 Fakultät für Physik

8 2 Newton sche Axiome In der Mechanik werden als Grundgesetze die Newtonschen Axiome erfüllt: 1. Axiom: Es gibt Bezugssysteme (Inertialsysteme) in denen sich ein Massenpunkt im kräftefreien Raum mit konstanter Geschwindigkeit bewegt. 2. Axiom: Die Änderung des Impulses ist der Einwirkung einer Kraft proportional und geschieht in Richtung der Kraft. F = m dv dt = ma 3. Axiom: Für Kräfte, die zwei Massenpunkte aufeinander ausüben gilt: F 12 = F 21 - actio gleich reactio 1. Zusatz: Die Kräfte, die zwei Massenpunkte aufeinander ausüben, wirken in Richtung der Verbindungslinie: (r 1 r 2 ) F 12 = 0 2. Zusatz: Wirken mehrere Kräfte auf einen Massenpunkt, so summieren sich die Kräfte zu einer Gesamtkraft. F = i F i Technische Universität München 8 Fakultät für Physik

9 3 Eindimensionale Bewegung In der Mechanik werden wir uns auf Kräfte beschränken, die nur von Ort und Geschwindigkeit eines Teilchens abhängen, also: Die Standardprobleme der Mechanik sind: F = F (r(t), ṙ(t), t) (17) Kräftefreie Bewegung: mẍ = 0 Bewegung im Gravitationsfeld: mẍ = mg Bewegung im Schwerefeld mit Reibung: mẍ = kx γẋ Freie gedämpfte Schwingung: mẍ = kx 2mλẋ Erzwungene Schwingung: mẍ = kx 2mλẋ + F (t) Die allgemeine Bewegungsgleichung einer Kraft, die nur vom Ort abhängt, lautet: mẍ = F (x) (18) Multipliziert man nun beide Seiten mit ẋ(t) und führt ein Potential U(x(t)) ein, für das gilt : F (x(t)) = du(x(t)) dx (19) somit erhält man: mẋ(t)ẍ(t) = 1 2 mẋ(t)2 d dt du(x(t) = ẋ(t)f (x(t)) = dx(t) = du(t) dt dx dt (20) Somit folgt, dass: 1 2 mẋ(t)2 + U(x(t)) = const = E (Energie) (21) Die Integrationskonstante beschreibt die Summe aus kinetischer Energie und potentieller Energie, also die Gesamtenergie. Mit Hilfe des Energieerhaltungssatzes kann man die Lösung graphisch diskutieren (siehe Abbildung 2). Der Abstand zwischen U(x) und der Horizontalen (der Gesamtenergie) beschreibt die kinetische Energie m 2 ẋ. Die Punkte x 1 und x 2 werden als Umkehrpunkte bezeichnet. An diesen Stellen gilt ẋ 1,2 = 0. Für x > x 3 findet eine offene Bewegung statt. Technische Universität München 9 Fakultät für Physik

10 Abbildung 2: Abbildung 2: Potentialkurve Die vorher erhaltene Differentialgleichung kann nun leicht gelöst werden und man erhält: t t 0 = x1 x 0 2 m [E U (x )] dx (22) Durch lösen des Integrals erhält man t(x), durch invertieren dann das gesuchte x(t). Verläuft die Bewegung zwischen zwei Umkehrpunkten x 1 und x 2, so definiert sich die Schwingung mit der Periode T wie folgt: x2 dx T = 2 x 1 2 m [E U (x )] (23) Technische Universität München 10 Fakultät für Physik

11 4 Erhaltungssätze 4.1 Impulserhaltung Wirkt auf ein Teilchen keine Kraft, so gilt: Hieraus folgt, dass: dp dt 4.2 Drehimpulserhaltung Der Drehimpuls ist wie folgt definiert: F = 0 (24) = 0 und damit p = const (25) Das auf ein Teilchen wirkende Drehmoment ist: L = r p (26) M = r F (27) Die zeitliche Änderung des Drehimpulses ist gleich dem Drehmoment, also: dl dt = M (28) Hieraus ergibt sich die Drehimpulserhaltung. Verschwindet das Drehmoment, so ist der Drehimpuls erhalten: Somit folgt, dass: dl dt 4.3 Energieerhaltung M = 0 (29) = 0 und damit L = const (30) Bevor man die Energieerhaltung diskutieren kann, muss zuerst der Begriff der Arbeit und der konservativen Kräfte näher erläutert werden. Technische Universität München 11 Fakultät für Physik

12 4.3.1 Arbeit Die Arbeit, die längs eines endlichen Weges C geleistet wird ist: E = r2 r 1,C dr F (31) Die Arbeit entspricht der Energie, die vom Kraftfeld F (r) auf das Teilchen übertragen wird Konservative Kräfte Kräfte, die durch ein Potential U(r) in der Form F (r) = U(r) darstellbar sind, heißen konservativ. Hierbei sind folgende Aussagen äquivalent: F (r) ist konservativ F (r) = U(r) F (r) = 0 Die zwischen zwei Punkten P 1 und P 2 verrichtete Arbeit ist unabhängig vom Weg Energieerhaltungssatz In einem konservativen Kraftfeld ist die Summe aus kinetischer Energie T = m 2 ẋ2 und potentieller Energie U(r) erhalten: E = U + T = const (32) Gilt die Energieerhaltung nicht, d.h. dass mechanische Energie in andere Energieformen umgewandelt wird, dann spricht man von dissipativen Kräften. Ein Beispiel hierfür wären Reibungskräfte (Umwandlung in Wärmeenergie). Technische Universität München 12 Fakultät für Physik