Prof. Dr. J. Schumacher Merkblatt zur Strömungsmechanik 1 Institut für Thermo- und Fluiddynamik Technische Universität Ilmenau

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1 Prof. Dr. J. Schumacher Merkblatt zur Strömungsmechanik 1 Institut für Thermo- und Fluiddynamik Technische Universität Ilmenau Mathematische Grundlagen Mit den folgenden mathematischen Grundlagen sollten Sie vertraut sein! Die Lösungen zu den Beispielen finden Sie auf der Rückseite. Lineare Algebra: Vektoren, Matrizen, Spur einer Matrix, symmetrische Matrix, transponierte Matrix, Determinante Koordinatensysteme: kartesische Koordinaten, Polarkoordinaten, Zylinderkoordinaten, Kugelkoordinaten Ableitung von Funktionen inkl. Kettenregel, partielle Ableitung Beispiel 1: Leiten Sie die Funktionen fx = sinx 2 und gx = sin 1/x nach x ab. Skalar- und Kreuzprodukt von Vektoren, Zusammenhang des Kreuzproduktes mit Determinante, Sarussche Regel Beispiel 2: Gegeben seien die Vektoren in kartesischen Koordinaten a = 3, 4, 1 T und b = 5, 2, 1 T. Berechnen Sie deren Skalar- und Kreuzprodukt. Wann stehen zwei Vektoren senkrecht aufeinander, wann sind sie parallel? Bestimmte und unbestimmte Integrale, partielle Integration und Substitution Beispiel 3: Berechnen Sie die unbestimmten Integrale I 1 = exp ax dx sowie I 2 = sinx cosxdx. Nutzen Sie die Methode der partiellen Integration. Lösen gewöhnlicher Differentialgleichungen Beispiel 4: Lösen Sie die folgende gewöhnliche Differentialgleichung zweiter Ordnung für die Anfangsbedingungen x0 = 0 und dx/dt0 = 1. d 2 xt dt 2 + k 2 xt = 0 1 Grundbegriffe der Vektoranalysis Gradient, Divergenz, Rotation, Laplace-Operator Siehe Kapitel 2 Integralsatz von Gauß Siehe Kapitel 3

2 Lösung 1: f x = 1 2 sinx 2 cos x2 2x = x cosx2 sinx 2 g x = cos 1/x /x x 2 cos 1/x = 2x 3/2 Lösung 2: a b = = 6 a b = 4 5 e x e y e z = 1, 8, 26 T a b a b = 0 sowie a b a b = 0 Lösung 3: I 1 = 1 a exp ax + C sowie I 2 = 1 2 sin2 x + C Lösung 4: Nutzen die sogenannte e λ Methode, d.h. Ansatz xt = expλt in 1 anwenden: λ 2 xt + k 2 xt = 0 λ 1,2 = ±ik 2 Allgemeine Lösung ist folglich xt = A expikt+b exp ikt. Die zwei Randbedingungen liefern das folgende Gleichungssystem für die Konstanten A und B: x0 = 0 = A + B ẋ0 = 1 = ika ikb Folglich ist A = 1/2ik und B = 1/2ik und damit die Lösung xt = 1 k sinkt.

3 Grundbegriffe der Vektoranalysis Die wichtigsten mathematischen Operationen für Skalar- und Vektorfelder sind in den folgenden Definitionen zusammengefasst inkl. verschiedener Schreibweisen, wie sie in verschiedenen Lehrbüchern verwendet werden: Gradient grad fx, y, z = fx, y, z = f x e x + f y e y + f e z 3 Der Gradient ist ein Vektor, dessen Richtung und Betrag die stärkste lokale Steigung eines Skalarfeldes f bzw. der Komponente eines Vektorfeldes a, z.b. a x, in jedem Raumpunkt x, y, z angibt. Divergenz div ax, y, z = ax, y, z = a x x + a y y + a z Die Divergenz beschreibt die Quellen und Senken eines Vektorfeldes a in jedem Raumpunkt x, y, z. Quellen liefern eine Divergenz größer Null, Senken folgen für eine Divergenz kleiner Null. Rotation rot ax, y, z = az ax, y, z = y a y ax e x + a z e y + x ay x a x e z 5 y Die Rotation beschreibt die Wirbel eines Strömungsfeldes in jedem Raumpunkt x, y, z und wird in der englischsprachigen Literatur als curl bezeichnet. Laplaceoperator fx, y, z = div grad fx, y, z = 2 fx, y, z 4 = 2 f x f y f 2. 6 Das Symbol in allen Definitionen steht für den so genannten Nablaoperator. Meistens wird der Vektorpfeil über weggelassen. Alternativ kann man die obigen Operationen aus der Vektoranalysis in Komponentenschreibweise formulieren. Ein Vektor a wird als a i geschrieben, wobei der Index i für x, y, z oder 1,2,3 steht. Im Folgenden sei stets x = 1, y = 2 und z = 3. Dann folgt für das Skalarprodukt zweier Vektoren 3 a b = a x b x + a y b y + a z b z = a i b i = a i b i. 7 i=1

4 Das Weglassen des Summenzeichens im letzten Schritt ist als Einsteinsche Summenkonvention bekannt. Damit gilt dann für 1 4: grad fx, y, z = f x i, 8 div ax, y, z = a i x i, 9 rot ax, y, z = ɛ ijk a k x j, 10 fx, y, z = 2 f x 2 i. 11 Das Symbol ɛ ijk in der Rotation steht für den vollständig antisymmetrischen Levi-Civita- Tensor dritter Stufe. Es gilt ɛ ijk = +1 wenn ijk zyklisch angeordnet sind d.h. 123 oder eben xyz, 231, 312 und ɛ ijk = 1 für antizyklische Anordnungen d.h. 132 oder eben xzy, 213, 321. Sind zwei oder alle drei Indizes gleich, so ist ɛ i,j,k = 0 z.b. 112 oder eben xxy, 333,... Man sieht oben, dass der Nablaoperator wie ein üblicher Vektor verwendet wird, mit dem man unter Beachtung der Ableitungsregeln Kettenregel, Produktregel Skalar- bzw. Kreuzprodukte bilden kann. Hinweis: das Symbol sollte nur beim Skalarprodukt zweier Vektoren verwendet werden. Folgende wichtige Rechenregeln werden häufig gebraucht: rot grad fx, y, z = 0 div[fx, y, z ax, y, z] = fx, y, z div ax, y, z + ax, y, z grad fx, y, z rot [fx, y, z ax, y, z] = fx, y, z rot ax, y, z + grad fx, y, z ax, y, z. rot rot ax, y, z = grad div ax, y, z a In der letzten Beziehung steht a für einen Vektor, bei dem der Laplaceoperator für jede Komponente berechnet ist.

5 Kontrollfragen zur Vektoranalysis Beispiel 5: Zeigen Sie rot grad fx, y, z = 0 Beispiel 6: Schreiben Sie den Term A i u j B i x j für den dreidimensionalen Fall unter Nutzung der Summenkonvention aus. Dabei sind u i, A i und B i drei Vektorfelder. Beispiel 7: Gegeben sei ein dreidimensionales Vektorfeld wx, y, z = 2xy, 4z 2, 3x 2 + y 2 exp z T Berechnen Sie die Quellen des Vektorfeldes w. Beispiel 8: Eine Funktion fx, y = exp x 2 y 2 sei gegeben. Berechnen Sie das Gradientenfeld gradf. Skizzieren Sie das resultierende Vektorfeld und die Isokontourlinien fx, y = const. Was stellen Sie fest?

6 Lösung 5: Erster Weg: Definitionen einsetzen und ausrechnen. Zweiter Weg: Komponentenschreibweise mit ɛ ijk Tensor verwenden und dessen Antisymmetrie nutzen ɛ ijk x j f x k = 1 [ ] f f ɛ ijk + ɛ ijk 2 x j x k x j x k = 1 [ ] f f ɛ ijk + ɛ ikj 2 x j x k x k x j = 1 [ f 2 ɛ ijk ] f = 0 x j x k x k x j Lösung 6: B i B i A i u j = A i u x x j x + u B i y y + u z B x = A x u x x + u B x y y + u z B y A y u x x + u B y y y + u z B z A z u x x + u B z y y + u z B i Wird ganz schön lang! Es muss hier über beide Indizes i und j summiert werden. Lösung 7: Lösung 8: div w = 2y 3x 2 + y 2 exp z Der Gradient ist das durch die Skalarfunktion f generierte zweidimensionale Vektorfeld gradf = 2x exp x 2 y 2, 2y exp x 2 y 2. Die skalare Funktion hat ihr Maximum von f = 1 bei 0, 0 und fällt in alle Richtungen gleichmäßig ab Gaußfunktion. Die Isokonturen Linien des gleichen Funktionswertes von f sind folglich um 0, 0 zentrierte Kreise. Das durch den Gradienten generierte Vektorfeld zeigt zum Koordinatenursprung also bergauf. Die Feldlinien des Gradientenfeldes schneiden die Isokonturen in allen Raumpunkten im rechten Winkel, d.h., es sind Strahlen in den Ursprung. B x B y B z

7 Integralsatz von Gauß Der Integralsatz von Gauß verknüpft den Fluß eines Vektorfeldes u durch eine geschlossene Oberfläche s mit den Quellen und Senken des Vektorfeldes im eingeschlossenen Volumen V. In der Abbildung das Volumen dargestellt. Die Oberfläche s wird komplett mit Flächenelementen da überdeckt. In jedem dieser Flächenelemente wird ein Flächennormalenvektor n mit dem Betrag 1 definiert. Das Vektorfeld u durchstösst im Allgemeinen in jedem dieser Flächenelemente die Oberfläche in einer anderen Richtung als n. Der lokale Fluß durch ein solches Flächenelement ist dann Der Gesamtfluß durch die geschlossene Oberfläche s folgt zu u n da. 12 s u n da. 13 Der Satz von Gauß besagt dann, dass u n da = s V div u dv. 14 Beispiel 9: Wir zeigen den Satz von Gauß für ein einfaches Beispiel. Dazu berechnen wir erst den Fluß des folgenden Vektorfeldes, u = x, y, z, durch die Oberfläche eines Würfels mit dem Volumen V und der Kantenlänge 2 dessen Mittelpunkt im Punkt x = 2, 2, 2 liegt, d.h. x, y, z [1, 3]. Danach berechnen wir das Volumenintergal mit der Divergenz. Probieren Sie erstmal selbst: schreiben Sie die 6 einzelnen Flußintegrale durch die 6 Seitenflächen auf und summieren Sie. Danach berechnen Sie das Volumenintegral.

8 Lösung 9: 1 Die Beschriftung der Flächen des Würfels ist in der nächsten Abbildung gezeigt: Der Gesamtfluß durch die Oberfläche folgt somit zu: s u n da = u n 1 dydz + u n 2 dxdz u n 3 dydz + A 1 A 2 A 3 u n 4 dxdz + u n 5 dxdy u n 6 dxdy. 15 A 4 A 5 A 6 Für die Vorderfläche A 1 ist der Flächennormalenvektor folglich n 1 = 1, 0, 0; für die Hinterfläche A 3 ergibt sich n 3 = 1, 0, 0. Der Fluß durch die Oberfläche A 6 für die anderen Flächen in der selben Art und Weise folgt somit zu: A 6 u n 6 dxdy = dxdy = 4, 16 da u = x, 1, z und n 6 = 0, 1, 0 ist. Für A 1 bis A 6 zusammen folgt aus 4 s u n da = = Mit div u = 3 folgt das Volumenintegral zu div u dv = 3 dxdydz = 24, 18 V und damit ist die Gleichheit beider Integrale gezeigt.