Mathematische Einführung

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1 Lehrstuhl für Technische Elektrophysik Technische Universität München Übungen zu "Elektrizitätslehre" (Prof. Wachutka) Mathematische Einführung Die vorliegende Einführung in die Mathematik zur Vorlesung Elektrizitätslehre liegt zum ersten Mal vollständig in getippter Form vor und ist daher nach Murphys Gesetz sicherlich noch mit zahlreichen Tippfehlern behaftet. Um den kommenden Semestern eine möglichst fehlerfreie Version in die Sammlung Übungen und Musterlösungen integrieren zu können, bin ich für jeden Hinweis auf derartige Fehler dankbar. Zu erreichen bin ich per unter oder telefonisch unter vielen Dank für Eure Mithilfe, Robert Sattler, September 23 i

2 Inhaltsverzeichnis Vektoren. Grundbegriffe Vektorkomponenten bzgl. der Basisvektoren eines Koordinatensystems.... Betrag und Richtung eines Vektors Rechnen mit Vektoren Multiplikation mit einer Zahl k Vektoraddition Skalarprodukt Vektorprodukt Vektorfunktionen Parametrisierung einer Raumkurve mit unterschiedlichen Parametern Beispiel : Gerade Beispiel 2: Halbkreis Felder Skalare Felder Vektorfelder Differenzieren von Funktionen einer Variablen Funktionen mehrerer Variablen (Felder) Partielle Ableitung Totale Ableitung Vektorfunktionen Integration von Funktionen einer Variablen 6 3. Integrationstechniken Partielle Integration Substitution Tabelle wichtiger Integrale Integration von (Vektor-)Feldern 9 4. Anschauliche Übersicht: Integration von skalaren Feldern Kurvenintegral über ein Vektorfeld Beispiel : Kurvenintegral entlang der -Achse Beispiel 2: Kurvenintegral entlang einer Kreislinie Anmerkungen Flächenintegral Parameterdarstellung des Flächenelements Beispiel : Ebene Beispiel 2: Kreis äche Beispiel 3: Kugelober äche Berechnung von Flächenintegralen ii

3 Beispiel : Parametrisierung in kartesischen Koordinaten Beispiel 2: Parametrisierung in Zylinderkoordinaten Anmerkungen Volumenintegral Parameterdarstellung des Volumenelements Beispiel : Kartesische Koordinaten Beispiel 2: Zylinderkoordinaten Beispiel 3: Kugelkoordinaten Berechnung eines Volumenintegrals Beispiel: Berechnung eines Kugelvolumens durch ein Volumenintegral in Kugelkoordinaten Koordinatensysteme 8 Kartesische Koordinaten:, y, z Zylinderkoordinaten: r, ϕ, z Kugelkoordinaten: r, ϑ, ϕ iii

4 Kapitel Vektoren. Grundbegriffe Vektorkomponenten bzgl. der Basisvektoren eines Koordinatensystems Beispiel: Geschwindigkeit v z v v e + v y e y + v z e z v + v y + v z v v y (v, v y, v z ) v z e e z e y v y v v v z y v, v y, v z sind die Vektorkomponeneten in Richtung der Basisvektoren e, e y, e z. Betrag und Richtung eines Vektors Betrag: Richtung: v v v 2 + v 2 y + v 2 z v v e v v e v e v v Einheitsvektor in Richtung von v v.2 Rechnen mit Vektoren Multiplikation mit einer Zahl k Vektoraddition a + b k a a a y a z + k a k a y k a z b b y b z a + b a y + b y a z + b z

5 Skalarprodukt a a y a z a b a b cos( a, b) b b y b z a b + a y b y + a z b z Vektorprodukt a b a b a b sin( a, b) a b e a y b y e y a z b z e z a y b z a z b y a z b a b z a b y a y b.3 Vektorfunktionen Parametrisierung einer Raumkurve mit unterschiedlichen Parametern r( ) r( 2 ) λ λ λ 2 λ kann beliebig sein: Zeit t, Bogenlänge s, Winkel ϕ, Koordinate,... r( ) Beispiel : Gerade Bewegung eines Körpers im Raum vom Ursprung (,, ) zum Punkt (2,, ) C : r(λ) (2λ, λ, ) mit λ [; ] ˆ y-koordinate (λ, λ, ) mit λ [; 2] ˆ -Koordinate 2 y C P C 2 ( 2λ λ,, ) 5 5 mit λ [; 5] ˆ Bogenlänge C 2 : r(λ) { (λ,, ) λ [; 2] (, λ 2, ) λ 2 [; ] 2

6 Beispiel 2: Halbkreis Parametrisiere die Raumkurve einer Halbkreislinie in der y-ebene um den Ursprung mit Radius R a) Winkel ϕ als Parameter λ: y r(λ) (R cos λ, R sin λ, ) λ [; π] r.4 Felder b) -Koordinate als Parameter λ: r(λ) (λ, R 2 λ 2, ) λ [ R; R] Ein Feld einer physikalischen Größe A ist eine Abbildung r A( r), welche jedem Ort r den Wert der Größe zuordnet. Skalare Felder Feld, das an jeder Stelle durch eine Zahl charakterisiert ist. z. B. elektrisches Potential einer Punktladung Wasserstand in einer Badewanne (kann konstant sein oder sich mit Zeit und Ort ändern) Vektorfelder Feld, das an jeder Stelle durch einen Vektor charakterisiert ist. z. B. elektrisches oder magnetisches Feld Geschwindigkeit des Wassers in der Badewanne 3

7 Kapitel 2 Differenzieren von Funktionen einer Variablen Die Tangente mit der Steigung des Differenzenquotienten entspricht einer linearen Approimation des Graphen von f() an der Stelle. f() f ( ) df( ) d f( + ) f( ) lim 2.2 Funktionen mehrerer Variablen (Felder) Die Tangentialebene entspricht einer linearen Approimation des Graphen von f(, y). Um die Tangentialebene zu beschreiben, genügen zwei Tangenten mit der Steigung der partiellen Differenzenquotienten an der Stelle (, y). Partielle Ableitung f lim f( +, y) f(, y) f y lim f(, y + y) f(, y) y y a) Funktionsgraph von z f(, y) mit Tangentialebene. b) Zueinander senkrechte Schnitte des Graphen in Koordinatenrichtung mit zugehörigen Tangenten an der Stelle f(, y). 4

8 Totale Ableitung Kettenregel: df(, y) f d + f }{{} y dy }{{} a b df((t), y(t)) dt f d dt + f dy y dt Beispiel: f((t), y(t)) 2 y ; (t) 2t ; y(t) 3t 2 df dt 2y t 2.3 Vektorfunktionen z. B. Weg r(t) r r(t + t) r(t) mittlere Geschwindigkeit: v(t) r t momentane Geschwindigkeit: r v(t) lim t t d r dt }{{} T angentialvektor v(t) r(t) r r(t+ t) Zerlegung in die Komponenten des kartesischen Koordinatensystems: r(t) (t) e + y(t) e y + z(t) e z v(t) d dt e + dy dt e y + dz dt e z v e + v y e y + v z e z 5

9 Kapitel 3 Integration von Funktionen einer Variablen 3. Integrationstechniken Partielle Integration (aus der Produktregel für die Ableitung) f () g() d f() g() f() g () d Beispiel: 2 cos 2 d (sin ) cos d sin cos sin ( sin ) d }{{} ( cos 2 ) cos 2 d sin cos + d cos 2 d cos 2 d sin cos + cos 2 d (sin cos + ) 2 Substitution (aus der Kettenregel für die Ableitung) b a f(g()) g () d. Substituiere: g(t) d g (t) dt 2. Berechne: f(g(t)) g (t) dt 3. Rücksubstitution: t g () (Umkehrfunktion) g(b) g(a) f(t) dt 6

10 Beipiel: a2 2 d ( ) 2 a d a Substitution: d dt sin t a sin t a a cos t d a cos t dt a sin 2 t a cos t dt }{{} cos t a 2 cos 2 t dt (siehe partielle Integration) 2 a2 (sin t cos t + t) Rücksubstitution: t arcsin a 2 a2 ( ) 2 + arcsin a a a ( a a 2 arcsin ) a 7

11 3.2 Tabelle wichtiger Integrale 8

12 Kapitel 4 Integration von (Vektor-)Feldern 4. Anschauliche Übersicht: Integration von skalaren Feldern Funktion von zwei Variablen, dargestellt durch Schwärzung Veranschaulichung der Integration: die zum Integral beitragenden, aufgesammelten Funktionswerte hinterlassen leere Stellen. a) Kurvenintegral (oder Linienintegral oder Wegintegral) b) Flächenintegral 9

13 4.2 Kurvenintegral über ein Vektorfeld F P W P 2 F ( r) d r F dr P,C dr P 2 Umwandeln in ein gewöhnliches Integral: Parametrisieren der Kurve C: r(λ) mit λ D (De nitionsbereich) Beschreibe das zu integrierende Vektorfeld mit Hilfe von λ: F ( r) F (λ) Berechne das Linienelement in Abhängigkeit von λ: d r f dλ t ( t : Tangentialvektor) Beispiele: d r d e Weg entlang der -Koordinate d r R dϕ e ϕ Kreislinie mit Radius R Beispiel : Kurvenintegral entlang der -Achse F F e ( F ) Gesucht: W P F ( r) d r mit P (, ) Parametrisierung mit -Koordinate als Parameter: ( ) C : r() mit [, ] ( ) F ( r()) F W F d r F F ( d ) [ ] F 2 2 F 2 2 F ( r) d r d d ( ) d

14 Beispiel 2: Kurvenintegral entlang einer Kreislinie Gegeben: E ( E ) E e y y Gesucht: R U P 2 P,C E d s t P P 2 Kurve C: 3 Kreis mit Radius R 4 Parametrisierung mit Winkel t als Parameter: ( ) R cos t C : s(t) R sin t ( d s R sin t dt R cos t mit t [, 3 2 π] ) U 3 2 π 3 2 π [ (E ds dt + E y ds y dt )dt ( R sin t)dt + }{{} E R sin t ] 3 2 π 3 2 π E R ( E ) R cos t dt Anmerkungen Geschlossenes Kurvenintegral: P P,C C P 2 A( r)d r P A( r)d r P,C Kurvenintegrale sind wegabhängig! z. B. mechanische Arbeit mit Reibung, magnetische Spannung V m Hd s spezielle Felder (z. B. E-Feld) sind wegunabhängig (Kriterium Vorlesung) es ist sinnvoll das Integral auf dem einfachsten Weg zu lösen C A( r)d r P 2,C

15 4.3 Flächenintegral Volumen uß: A v( r) d a I A j d a Umwandeln in ein gewöhnliches Doppelintegral: Parametrisieren der Fläche A: r(λ, λ 2 ) mit λ i D i ; (i, 2) Beschreibe das zu integrierende Vektorfeld mit Hilfe von λ, λ 2 : v( r) v(λ, λ 2 ) Berechne das Flächenelement in Abhängigkeit von λ, λ 2 : d a f dλ dλ 2 n ( n : Normalenvektor zur Fläche) Beispiele: d a d dy e z Fläche parallel zur y-ebene d a r dϕ dr e z Kreis äche in der y-ebene d a R 2 sin ϑ dϑ dϕ e r Kugelober äche mit Radius R 4.3. Parameterdarstellung des Flächenelements Beispiel : Ebene Flächenelement einer Ebene parallel zur y-ebene Parameter: ˆ -Koordinate R y ˆ y-koordinate y R A : r(, y) (, y, z ) ( r d a r ) ddy y ddy ddy e z ddy 2

16 Beispiel 2: Kreis äche Flächenelement einer Kreis äche mit Radius R Parameter: Winkel ϕ mit ϕ [; 2π] Radius r mit r [; R] A : r(r, ϕ) (r cos ϕ, r sin ϕ) ( r d a r r ) drdϕ ϕ cos ϕ r sin ϕ sin ϕ r cos ϕ Beispiel 3: Kugelober äche r cos 2 ϕ + r sin 2 ϕ Flächenelement einer Kugelober äche mit Radius R drdϕ drdϕ r z z y drdϕ r drdϕ e z R cos R R R sin,y R sin R R cos Schnitt durch die Pole Schnitt parallel zur Äquatorfläche Parameter: Höhenwinkel ϑ (Breitenwinkel) Azimutwinkel ϕ (Längengrad) A : r(r, ϑ, ϕ) R d a R sin ϑ cos ϕ sin ϑ sin ϕ cos ϑ ( r ϑ r ) dϑdϕ ϕ cos ϑ cos ϕ cos ϑ sin ϕ sin ϑ... R 2 sin ϑ R 2 sin ϑ dϑ dϕ e r 3 ; ϑ [, π] ; ϕ [, 2π] R sin ϑ cos ϕ sin ϑ sin ϕ cos ϑ sin ϑ sin ϕ sin ϑ cos ϕ } {{ } e r dϑdϕ dϑdϕ

17 4.3.2 Berechnung von Flächenintegralen Beispiel : Parametrisierung in kartesischen Koordinaten Gegeben: j d a d dy e z e z Gesucht: I A A j d a e z d dy e z ; e z e z cos Achtung: Integrationsgrenzen für das Integral über y hängen von ab!!! R R 2 2 R d dy R2 2 d Substitution: R sin t Partielle Integration: R R 2 cos 2 tdt [ 2 R2 (sin t cos t + t)] Rücksubstitution: [ 2 ( R R 2 arcsin R ) ] R R R 2 2 R }{{ 2 +R 2 arcsin }}{{} R 2 2 +R 2 arcsin }{{}}{{} π 2 4 πr2 ˆ 4 Kreis äche 4

18 Beispiel 2: Parametrisierung in Zylinderkoordinaten Für die Integration über eine Kreis äche eignen sich Zylinderkoordinaten (r, ϕ) besser als kartesische (, y) ( Beispiel 2) R r d dr e e r Fläche: A π R 2 [ ϕ π 2 ] π 2 r dϕ dr [ ] R 2 r2 π 2 2 R2 4 πr2 dϕ R r dr Beachte: Sind die Integrationsgrenzen unabhängig voneinander, kann man das Doppelintegral in ein Produkt aus zwei Einfachintegralen aufspalten. Anmerkungen geschlossene Flächen oder Hüll ächen z. B. Kugelober äche H V (V : Kugelvolumen) Schreibweisen: A,geschlossen E d a A E d a H E d a Das Flächenelement d a ist aus Konvention nach außen orientiert! 5

19 4.4 Volumenintegral Q V ρ( r) dv Ist bereits ein gewöhnliches Dreifachintegral: Parametrisieren der Volumenbegrenzung V : r(λ, λ 2, λ 3 ) mit λ i D i ; (i, 2, 3) Beschreibe das zu integrierende skalare Feld mit Hilfe von λ, λ 2, λ 3 : ρ( r) ρ(λ, λ 2, λ 3 ) Berechne das Volumenelement in Abhängigkeit von λ, λ 2, λ 3 : dv f dλ dλ 2 dλ 3 Beispiel: dv R 2 sin ϑ dϑ dϕ dr Kugelvolumen 4.4. Parameterdarstellung des Volumenelements Beispiel : Kartesische Koordinaten r (, y, z) d a d dy e z dv d a r z dz d dy d dy dz Beispiel 2: Zylinderkoordinaten } {{ } dz Beispiel 3: Kugelkoordinaten r (r cos ϕ, r sin ϕ, z) d a r dϕ dr e z dv d a r r dz ; z z (,, ) e z rdϕ dr e z e z dz rdϕ dr dz r (rsinϑ cos ϕ, r sin ϑ sin ϕ, r cos ϑ) d a r 2 sin ϑ dϑ dϕ e r dv d a r r dr ; r z e r r 2 sin ϑ dϑ dϕ dr 6

20 4.4.2 Berechnung eines Volumenintegrals Beispiel: Berechnung eines Kugelvolumens durch ein Volumenintegral in Kugelkoordinaten V Kugel R π 2π R r 2 dr [ ] R 3 r3 dv, dv r 2 sin ϑ dr dϑ dϕ Volumenelement in Kugelkoordinaten r 2 sin ϑ dr dϑ dϕ π [ sin ϑ dϑ 2π ] π cos ϑ 3 R3 [ ( )] 2π 4π 3 R3 [ ϕ dϕ ] 2π 7

21 Kapitel 5 Koordinatensysteme Die Linien-, Flächen- und Volumenelemente hängen von der Art der Parametrisierung ab. Sinnvoll ist es dem Problem angepaßte Parameter bzw. Koordinaten zu verwenden z.b. mathematische Beschreibung einer Kugelober äche in kartesischen Koordinaten (, y, z): in Kugelkoordinaten (r, ϑ, ϕ): (, y, R 2 2 y 2 ) mit 2 + y 2 < R 2, sonst beliebig r R Die am häu gsten verwendeten Parameter sind: Kartesische Koordinaten: (, y, z) Zylinderkoordinaten: (r, ϕ, z) Kugelkoordinaten: (r, ϑ, ϕ) 8

22 Kartesische Koordinaten:, y, z < < < y < < z < Basisvektoren: e, e y, e z d e Linienelemente: d s dy e y dz e z dy dz e Flächenelemente: d a d dz e y d dy e z (ortsfestes Dreibein) z y d dz dy Volumenelement: dv d dy dz Basisvektoren in kartesischen Koordinaten: r y z ; r e ; r y e y ; r z e z ; Beispiel: Würfel mit Kantenlänge s: s s Umfang: 2 d + dy 4s s s s s s s Ober äche: 2 d dy + d dz + dy dz 6s 2 Volumen: s s s d dy dz s 3 9

23 Zylinderkoordinaten: < r < ϕ < 2π < z < r, ϕ, z Basisvektoren: e r, e ϕ, e z (ortsabhängiges Dreibein) Zusammenhang mit kartesischen Koordinaten: r cos ϕ y r sin ϕ z z r 2 + y 2 ; ( y ϕ arctan ) dr e r Linienelemente: d s r dϕ e ϕ dz e z r dϕ dz e r Flächenelemente: d a dr dz e ϕ r dϕ dr e z Volumenelement: dv r dr dϕ dz Basisvektoren in kartesischen Koordinaten: r r r r cos ϕ r sin ϕ z r ϕ r z cos ϕ sin ϕ r sin ϕ r cos ϕ e z e r r e ϕ Beispiel: Zylinder mit Höhe h und Radius R: Umfang 2π ds ϕ 2π Deckel äche da z Mantel äche da r Volumen dv R dϕ 2 π R R 2π 2π h R 2π h r dr dϕ π R 2 R dϕ dz 2π R h r dr dϕ dz π R 2 h 2

24 Kugelkoordinaten: < r < ϑ < π (Breitengrad) ϕ < 2π (Längengrad) r, ϑ, ϕ Basisvektoren: e r, e ϑ, e ϕ (ortsabhängiges Dreibein) Zusammenhang mit kartesischen Koordinaten: r cos ϕ sin ϑ y r sin ϕ sin ϑ z r cos ϑ r 2 + y 2 + z 2 ( ) 2 + y ϑ arctan 2 z ( y ; ϕ arctan ) dr e r Linienelemente: d s r dϑ e ϑ r dϕ sin ϑ e ϕ Flächenelemente: d a r 2 sin ϑ dϑ dϕ e r r sin ϑ dr dϕ e ϑ r dr dϑ e ϕ Volumenelement: dv r 2 sin ϑ dr dϑ dϕ Basisvektoren in kartesischen Koordinaten: r r r r ϑ r cos ϕ sin ϑ r sin ϕ sin ϑ r cos ϑ r ϕ cos ϕ sin ϑ sin ϕ sin ϑ cos ϑ r cos ϕ cos ϑ r sin ϕ cos ϑ r sin ϑ r sin ϕ sin ϑ r cos ϕ sin ϑ e r r e ϑ r sin ϑ e ϕ Beispiel: Kugel mit Radius R: Umfang 2π ds ϕ 2π R sin ϑ dϕ 2 π R sin ϑ Ober äche da r π 2π R 2 sin ϑ dϑ dϕ 4 π R 2 Volumen dv R 2π π r 2 sin ϑ dr dϕ dϑ 4 3 π R3 2