Repetitorium Analysis II für Physiker

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1 Technische Universität München Larissa Hammerstein Vektoranalysis und Fourier-Transformation Lösungen Repetitorium Analysis II für Physiker Analysis II Aufgabe Skalarfelder Welche der folgenden Aussagen für die Niveaulinien der Funktion f : R 2 R f(x, y) = e 3x+5y ist richtig? Die Niveaulinien sind konzentrische Kreise mit dem Mittelpunkt M(3, 5). Die Niveaulinien sind konzentrische Kreise mit dem Mittelpunkt M( 3, 5). Die Niveaulinien sind Parabeln mit dem Scheitelpunkt S(3, 5). Die Niveaulinien sind Parabeln mit dem Scheitelpunkt S( 3, 5). Die Niveaulinien sind parallele Geraden mit der Steigung 5 3. Die Niveaulinien sind parallele Geraden mit der Steigung 3 5. Berechnung der Niveaulinien: e 3x+y = c 3x + 5y = ln c y = 3 5 x + 5 ln c Aufgabe 2 Skalarfelder Gegeben sei eine Funktion f : R 2 R mit f(x, y) = x 2 y + xy Welche der folgenden Aussagen ist richtig? grad f(, ) = grad f(, ) = grad f(, ) = grad f(, ) = grad f( 2, ) = grad f(, 2) = grad f = ( ) 2xy + y x 2, also grad f(, ) = grad f(, ) =. + x Aufgabe 3 Identitäten aus der Vektoranalysis Im folgenden gelte als Schreibweise für das euklidische Skalarprodukt im R 3 a b := a T b = a b + a 2 b 2 + a 3 b 3 a, b R 3 Es seien f, g : R 3 R hinreichend oft differenzierbare Skalarfelder und V : R 3 R 3 ein Vektorfeld. Beweisen Sie folgende Identitäten: a) div(grad f) = f = f b) grad(fg) = (fg) = g f + f g c) rot(grad f) = f = d) div(rot V ) = ( V ) = e) div(fv ) = (fv ) = ( f) V + f V f) rot(fv ) = (fv ) = f V + ( f) V

2 Notation und Bezeichungen x := x, y := y, z := Z, := x y z V = v v 2 stetig differenzierbares Vektorfeld: v 3 y v 3 z v 2 div V = V = x v + y v 2 + z v 3, rot V = V = z v x v 3 x v 2 y v x f f stetig differenzierbares Skalarfeld grad f = f = y f z f x f a) div (grad f) = div y f = x x f + y y f + z z f = f, falls f 2-mal differenzierbar z f b) x (fg) = ( x f)g + f( x g) analog für y, z (fg) = ( f)g + f( g) = g( f) + f( g) x f y z f z y f c) rot(grad f) = rot y f = z x f x z f =, falls f 2-mal stetig differenzierbar z f x y y x f ist (Satz von Schwarz) d) div(fv ) = x (fv ) + y (fv 2 ) + z (fv 3 ) Kettenregel = f( x v ) + ( x f)v + f( y v 2 ) + ( y f)v 2 + f( z v 3 )+( z f)v 3 = f( x v + y v 2 + z v 3 )+( x f)v +( y f)v 2 +( z f)v 3 = f div V +grad f V = f( V ) + ( f) V e) div(rot V ) = x ( y v 3 z v 2 ) + y ( z v x v 3 ) + z ( x v 2 y v ) Schwarz = x y v 3 x z v 2 + y z v x y v 3 + x z v 2 y z v = falls V 2-mal stetig differenzierbar ist f) rot(fv ) = y(fv 3 ) z (fv 2 ) z (fv ) x (fv 3 ) = f( yv 3 ) f( z v 2 ) f( z v ) f( x v 3 ) + ( yf)v 3 ( z f)v 2 ( z f)v ( x f)v 3 = f x (fv 2 ) y (fv ) f( x v 2 ) f( y v ) ( x f)v 2 ( y f)v rot V + grad f V Aufgabe Wirbelfelder Für ganze Zahlen p seien die Vektorfelder F p : A R 2 auf der offenen Menge A = R 2 \{(, )} definiert durch F p (x, y) = ( y r p, x ) r p mit r = x 2 + y 2 a) Skizzieren Sie das Feld im Spezielfall p =. b) Zeigen Sie mit Hilfe einer Kreislinie um den Nullpunkt, dass es sich um nicht konservative Felder handelt. a) Es handelt sich um das in der Vorlesung skizzierte Rotationsfeld f(x, y) = ( y, x) 2

3 x.8 y b) Man wähle für γ eine Kreislinie vom Radius r > um den Nullpunkt mit der Parameterdarstellung γ(t) = (x(t), y(t)) = (r cos t, r sin t), t. Damit erhält man das Kurvenintegral F p (γ(t)), γ (t) dt = ( y r p x + x r p y ) d t = γ = r 2 p (sin 2 t + cos 2 t) d t = r 2 p Aufgabe 5 Gradientenfelder r sin t r p ( r sin t)+ r cos t r p r cos t) d t a) Sei f ein C -Vektorfeld auf G R n,d.h. f C (G, R n ). Außerdem sei f ein Gradientenfeld. Zeigen Sie, dass dann auf G die folgende Integrabilitätsbedingung gelten muss: f i x j = f j x i, i, j =,..., n b) Ist eines der beiden Vektorfelder f, g : R 2 R 2 f(x, y) := (y, y x) T, g(x, y) := (y, x y) T ein Gradientenfeld? Wenn ja, wie lautet das zugehörige Potential? c) Für welche Funktionen g : R 3 R ist das Vektorfeld f : R 3 R 3 f(x, y, ) := (x, y, g(x, y, z)) ein Gradientenfeld? Bestimmen Sie das zu f gehörige Potential v : R 3 R. Hinweis: Betrachten Sie die Rotation des Vektorfeldes f. a) f ist ein Gradientenfeld, d.h. nach Definition gibt es ein Skalarfeld v : G R mit f = grad v. Außerdem ist f C (G, R n ), somit gilt v C 2 (G, R). Nun gilt nach dem Satz von Schwarz: f i,j = v i,j = v j,i = f j,i, i, j =... n b) Zu f: Da f,2 = = f 2, kann f nach Aufgabenteil a) kein Gradientenfeld sein. Zu g: Wir versuchen ein Potential v zu konstruieren. Da v (x, y) = y folgt, dass v(x, y) = xy +h (y) fü eine beliebige Funktion h C (R, R), die nur von y und nicht von x abhängt. Da auch v 2 (x, y) = y x gelten muss, folgt, dass v(x, y) = 2 y2 xy + h 2 (x) für eine beliebige Funktion h 2 C (R, R). Gleichsetzen ergibt: v(x, y) = xy 2 y + c c R 3

4 c) Da f ein Gradientenfeld sein soll, muss rot f = gelten (rot grad v = ). Wir berechnen also die Rotation von f: = rot grad v = rot f = (f 2,3 f 3,2, f 3, f,3, f,2 f 2, ) T = ( g y, g x, ) T Dies impliziert, dass g(x, y, z) = α(z) für eine beliebige Funktion α : R R. Es gelten die Gleichungen v x (x, y, z) = x, v y (x, y, z) = y und v z (x, y, z) = α(z). Deshalb können wir das Resultat folgendermaßen schreiben (für eine beliebige Funktion β : R R) : v(x, y, z) = 2 (x2 + y 2 ) + β(z) Aufgabe 6 Satz von Stokes Sei F der Rand der Fläche F := {(x, y, z) R 3 x 2 + y 2 2z =, z 2}, A : R 3 R 3 das Vektorfeld definiert durch A(x, y, z) := (3y, xz, yz 2 ) und F werde im Uhrzeigersinn durchlaufen, wenn man in die Richtung der Flächennormalen blickt. Berechnen Sie das Integral von A entlang F zuerst direkt und dann mit Hilfe des Satzes von Stokes. Bei der Fläche F handelt es sich um einen Paraboloid. Der Rand F von F wird durch die Kurve γ beschrieben. γ : [, ] R 3, γ(ϕ) := 2(cos ϕ, sin ϕ, ) Die direkte Berechnung liefert: A d x = (6 sin ϕ, cos ϕ, 8 sin ϕ) T ( 2 sin ϕ, 2 cos ϕ, ) T d ϕ = F 8 + sin ϕ d ϕ = 2 sin 2 ϕ + 8 cos 2 ϕ d ϕ = Um nun den Satz von Stokes anzuwenden, berechnen wir die Rotation des Vektorfeldes A und finden rot A = (z 2 + x,, z 3). Die Fläche F hat folgende Parametrisierung: f : [, 2] [, ] R 3, f(r, ϕ) := (r cos ϕ, r sin ϕ, 2 r2 ) T Man berechne f r = (cos ϕ, sin ϕ, r) T, f ϕ = ( r sin ϕ, r cos ϕ, ) T und f r f ϕ = ( r 2 cos ϕ, r 2 sin ϕ, r) T. Somit folgt: 2 2 rot A d F = ( r +r cos ϕ,, 2 r2 3) T ( r 2 cos ϕ, r 2 sin ϕ, r) T d ϕ d r = r6 cos ϕ+ F 2 r 3 cos 2 ϕ + 2 r3 + 3r d ϕ d r = r 3 π + r 3 π + 6rπ d r = 8π = Aufgabe 7 Satz von Stokes 2 a) Integrieren Sie die Rotation des Vektorfeldes A : R 3 R 3, A(x, y, z) := (2y, 3x, z 2 ), über die Oberfläche F der oberen Hälfte z der Kugel vom Radius 3. b) Bestimmen Sie das Integral der Rotation des Vektorfeldes A : R 3 R 3, A(x, y, z) := (x z, x 3 + yz, 3xy 2 ), über die Oberfläche des Kegels K := {(x, y, z) R 3 z = 2 x 2 + y 2, z }.

5 a) Wir parametrisieren der Rand F der Fläche durch die Kurve F γ : [, ] R 3, γ(ϕ) := (3 cos ϕ, 3 sin ϕ, ) T so dass rot A d F = A d x = (6 sin ϕ, 9 cos ϕ), ) T ( 3 sin ϕ, 3 cos ϕ, ) T d ϕ = 9 F 2 sin 2 ϕ d ϕ = 9π b) Der Rand von K kann durch die Kurve k : [, ] R 3, k(ϕ) := 2(cos ϕ, sin ϕ, ) 3 cos 2 ϕ parametrisiert werden. Damit ergibt sich rot A d K = A d x = (2 cos ϕ, 8 cos 3 ϕ, 2 sin 2 ϕ cos ϕ) T ( 2 sin ϕ, 2 cos ϕ, ) T d ϕ = K 6 K cos ϕ d ϕ = Die Berechnung von cos ϕ kann entweder durch partielle Integration erfolgen: cos ϕ d ϕ = [ (sin ϕ cos 3 ϕ + 32 )] (ϕ + sin ϕ cos ϕ) oder mit Hilfe der Formel cos n ϕ = n ( ) n 2 n cos ((n 2k)ϕ) k k=, n N Aufgabe 8 Satz von Gauß a) Integrieren Sie das Vektorfeld A : R 3 R 3, A(x, y, z) := (xz, y 2, yz) über die Oberfläche des Würfels [, ] 3. b) Berechnen Sie das Integral des Vektorfeldes A : R 3 R 3, A(x, y, z) := (x 3, y 3, z 3 ), über die Oberfläche der Kugel vom Radius R >. a) Es sei W der angegebene Würfel. Da div A = z y liefert der Satz von Gauß, dass A d W = div A d x = (z y) d x d y d z = 3 2 W W b) Die Divergenz lautet div A = 3(x 2, y 2, z 2 ) T, also in Kugelkoordinaten A = 3r 2. Es gilt: F d F = M div A d s = R π r 2 sin ϑ3r 2 d ϕ d ϑ d r = 2 5 πr5 Aufgabe 9 Fourier-Reihe Es sei < a < und f(x) =, falls < x < a gilt, sowie f(x) =, falls a < x < gilt. Die Werte f() und f(a) können beliebig sein. Sodann sei mittels f(x + ) = f(x) die Funktion f auf R periodisch fortgesetzt. Bestimmen Sie die Fourier-Koeffizienten von f. 5

6 Fourier-Koeffizienten für n Z: c = c n = a f(x) d x = Aufgabe Fourier-Reihe a d x = a e inx d x = [ ] a in e inx = e ina in Berechnen Sie die Fourier-Reihe der Funktionen a) f(x) = sin x b) g(x) = x für x < a) Die Fourier-Koeffizienten der Funktion f sind c n = π [ c n = π e inx d x sin x e inx d x = 2iπ π ((e ix e ix )e inx d x = i ] π i i(n ) e ix(n ) i(n+) e ix(n+) Für ungerades n ist) dieser Term gleich null und für gerades n gilt: π e ix(n ) e ix(n+) d x = ( c n = 2 n + 2 n+ = 2 π n 2 Die Fourier-Reihe konvergiert gleichmäßig gegen f, da die Funktion stetig und stückweise stetig differenzierbar ist. Mit n = 2k gilt dann: ( ) sinx = e 2kix k 2 = cos(2kx 2 π k 2 k= b) Für den Fourier-Koeffizienten c von f erhält man c = x d xt = π Zur Berechnung der Fourier-Koeffizienten c n mit n verwendet man partielle Integration: c n = xe inx d x = in e inx x + in Somit lautet die Fourier-Reihe von f e inx d x = in c n e inx e inx e inx = π in n= infty n= = π 2 n= sin(nx) n 6