Untersuchen Sie die angegebenen Funktionenfolgen auf gleichmäßige Konvergenz. = 1 n, (1 Punkt ) x 2. x 1 = 1. x n + (1 Punkt )

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1 Aufgabe (glm. Konvergenz) (6+6 Punkte) Untersuchen Sie die angegebenen Funktionenfolgen auf gleichmäßige Konvergenz. a) g n : R R, mit g n (x) = x + n (6 Punkte) b) f n : R R, mit f n (x) = arctan(nx) (6 Punkte) Lösungsvorschlag: zu a): Behauptung: g n g, glm. wobei g(x) = x. Man hat g n (x) g(x) = x + n x = x + n x ( Punkt ) = n x + n + ( Punkt ) x n n für alle x R. Damit folgt sup x R g n (x) g(x) n, g n g n = n, ( Punkt ) ( Punkte). ( Punkt ) Alternative: Sei ε > beliebig, dann wähle n ε. Dann gilt für alle n n und für alle x R g n (x) g(x) = x + n x = x + n x ( Punkt ) = n x + n + ( Punkt ) x n n n ε. = n ( Punkt ) ( Punkt) ( Punkte) Da n nicht von x abhängt, folgt die gleichmäßige Konvergenz. zu b): Die Folge konvergiert nicht gleichmäßig. Für festes x > gilt nx n. Damit folgt ( Punkt) lim arctan(nx) = π n.

2 Analog erhält man für festes x < ( Punkt) lim arctan(nx) = π n. Außerdem hat man f n () = arctan() = für jedes n N. Damit konvergiert die Folge (f n ) n punktweise gegen die Funktion f, mit f(x) = π, x >, x =, x < ( Punkt) π Da die Grenzfunktion f nicht stetig ist, aber jedes f n stetig ist, kann die Folge nicht gleichmäßig konvergieren. Alternative: Man bestimmt wie oben die punktweise Grenzfunktion f. Nun zeigt man: (3 Punkte) (3 Punkte) ( Punkt) ε > n N n n, x R so dass f n (x ) f(x ) ε. Nun wähle ε = π 4, und x = n. Dann gilt ( Punkt) f n (x ) f(x ) = arctan(n n ) f( n ) = arctan() π = π 4 π = π 4 = ε. ( Punkt)

3 Aufgabe : Für α R sei folgendes Kurvenintegral gegeben: wobei f α (x, y) = Γ f α dγ, ( )) αxy tan x y 3, 3(e 3y + x x y ) + 3x x x tan, (x, y) ( π, π). [5 Punkte] a) Überprüfen Sie, für welche α R zu f α eine Potentialfunktion F α : ( π, π) R existiert; geben Sie diese an. b) Berechnen Sie Γ f 3dγ und Γ f dγ für die Kurve Γ = Γ Γ, Γ = Graph(γ ), γ : [ π, ] ( π, π), t (t, π ) Γ = Graph(γ ), γ : [ π, π ] ( π, π), t (, t), welche vom Punkt ( π, π ) über (, π ) zum Punkt (, π ) verläuft. Lösung: a). Hauptsatz über Kurvenintegrale nicht anwendbar, da f α keine C -Funktion. Suche nun F α C mit F α = f α. () f α, (x, y)dx = αxy tan x y 3 dx (3) ( αxy tan y ) xy 3 dx, x = ( αxy tan y ) + xy 3 dx, x < αx y x tan = x y 3 + c(y), x αx y x tan + x y 3 + c(y), x < = αx y x tan x x y 3 + c(y) =: F(x, y) ( )) f α, (x, y)dy = 3(e 3y + x x y ) + 3x x + tan dy (4) 3e 3y 3x y + 3x x ( + tan ( y = ) dy, x 3e 3y + 3x y ) + 3x x ( + tan ( y ) dy, x < e 3y x y 3 + 3x y x tan = + c(x), x e 3y + x y 3 + 3x y x tan + c(x), x < = e 3y x x y 3 + 3x y x tan + c(x) =: ˆF(x, y)

4 Vergleiche F und ˆF: F(x, y) = ˆF(x, y) ( αx y x tan x x y 3 + c(y) = e 3y x x y 3 + 3x y x tan + c(x) αx y + c(y) = e 3y + 3x y + c(x) α = 3 und c(y) = e 3y + c, c(x) = c mit c, c R; ohne Einschränkung setze c = c =. F(x, y) = 3x y x tan ) x x y3 + e 3y erfüllt F = f α und ist nach Konstruktion stetig diffbar, da f α stetig. ()

5 b) f Γ 3dγ ist wegunabhängig nach Teil a) und dem ersten Hauptsatz über Kurvenintegrale. Nach diesem gilt mit F aus a) f 3 dγ = F(, π ) F( π, π ) ( Γ = e 3π π [3 π 4 ( π ) + π tan( π 4 ) ( π 4 ) ( π3 8 ) + e 3π = sinh( 3π ) + π π3 8 + π ( ) ( ) Es gilt: γ (t) =, γ (t) = und damit f dγ = f dγ + f dγ ( Γ Γ Γ = f (t, π ( ) π ( π ), dt + f (, t), dt π ) ( = t π ) ( tan π ) ) + t ( π3 π dt + 3e 3t dt 4 8 = π [ ( π ) ] [ ( + π = π + π3 8 + π5 3 sinh(3π ) )] π3 4 [ π ( π ) ] + ] [ ( π ) ] + [ ] e 3π e 3π

6 Aufgabe 3 ( Punkte) Gegeben sei das Rotationsparaboloid P := { (x, y, z) R 3 : x + y = z, z } Das stetig differenzierbare Vektorfeld f : R 3 R 3 sei gegeben durch f(x, y, z) := ( x y z, xz yz, xz + z. Zeigen Sie mit Hilfe des Gaußschen Integralsatzes, dass gilt f, N do = 3 π. wobei N das äußere Normalenfeld an P bezeichne. P Lösung: Es sei V := { (x, y, z) R 3 : x + y < z, < z < } K := { (x, y, z) R 3 : x + y < z, z = } Mit Gauß gilt (V beschränkt, zwei reguläre Randflächen K,P) () f, N do = divfdv f, N do (3) P Es gilt für z =, dass N = (,, ), so dass () K f, N do = K weiter ist divf = z und () Beh. V V x + do = = + π = π ( zdv = = π π K π rρdρdrdϕ (3) r r r4 drdϕ = 6 π = π. () 3 r cos(ϕ) + rdrdϕ

7 Aufgabe 4: (6 Punkte) Zeigen Sie: Sei f : R n R differenzierbar, x R n mit f (x ). Dann gilt für alle Richtungen ν R n, ν =, f ν (x ) f (x ) ν, wobei ν := f (x ) f (x ). Lösung: Anwendung der Cauchy-Schwarz Ungleichung ergibt Ausserdem gilt f ν (x ) () = f (x ) ν () f (x ) ν () = f (x ). f (x ) ν () = f (x ) f (x ) f (x ) = f (x ) f (x ) () = f (x ). Zusammen liefert dies f ν (x ) f (x ) = f (x ) ν.

8 Aufgabe 5: ( Punkte) Die fünf Studierenden Tim, Tom, Tam, Tem und Tum wollen die Vorlesungen Experimentalphysik, Theoretische Physik und Höhere Mathematik hören, und beschließen, dass an jeder Vorlesung mindestens einer von ihnen teilnehmen soll. a) Wieviele Möglichkeiten haben die Studierenden, sich auf die Vorlesungen zu verteilen, wenn diese nacheinander stattfinden? b) Wieviele Möglichkeiten sich zu verteilen haben sie, wenn die Vorlesungen zeitgleich stattfinden und jeder der fünf Studierenden genau eine Vorlesung besucht? Lösung: zu a) Betrachte z.b. ExpPhy: Es können k {,, 5} Studenten an der Vorlesung teilnehmen und es gibt ( n k) Möglichkeiten diese k Studenten aus allen n = 5 zu wählen (ohne Wiederholung, ohne Reihenfolge): k #Möglichkeiten Insgesamt also = 3 Möglichkeiten, bis 5 Studenten auf Vorlesung zu verteilen Nun gibt es 3 Vorlesungen, die alle nacheinander liegen. Es gibt also für jede, 3 Möglichkeiten eine Gruppe (von bis 5) Studenten zusammenzustellen. Für jede Vorlesung wählen wir jetzt eine dieser 3 Möglichkeiten aus. Dies geschieht mit Zurücklegen (Es darf auch in oder mehr Vorlesungen die gleichen Gruppe sitzen) und mit Reihenfolge (Vorlesungen unterscheidbar, d.h. es macht einen unterschied, ob eine Gruppe in ExpPhy oder HöMa sitzt): Insgesamt haben die Studenten somit 3 3 = 979 Möglichkeiten, sich auf die Vorlesungen zu verteilen. zu b) In jeder Vorlesung muss mindestens Student sein und jeder Student geht zu genau Vorlesung. Fallunterscheidung: ( Punkte) ( Punkte) ( Punkte) Fall : In einer der Vorleungen sitzen 3 Studenten (in den beiden anderen jeweils ). Es gibt 3 unterscheidbare Vorlesungen. Wähle also zunächst die Vorlesung 3 Möglichkeiten aus, in der 3 Studenten sitzen Die Studenten sind ebenfalls unterscheidbar. Wähle zunächst die 3 Studenten für die volle Vorlesung ( 5 3) = Möglichkeiten Der nächste Student kann noch zwischen den beiden übrigen Vorlesungen wählen, der letzte hat keine Wahl Möglichkeiten 3 = 6 Möglichkeiten ( Punkte) Fall : In zwei Vorlesungen sitzen Studenten (in der letzten ) Es gibt 3 unterscheidbare Vorlesungen. Wähle also zunächst die Vorlesungen aus, in denen Studenten sitzen Die Studenten sind ebenfalls unterscheidbar. Wähle zunächst die Studenten für die. Vorlesung 3 Möglichkeiten ( 5 = Möglichkeiten Wähle nun die Studenten für die. Vorlesung ( 3 = 3 Möglichkeiten Die letzte Vorlesung und der letzte Student stehen dann fest Möglichkeit 3 3 = 9 Möglichkeiten ( Punkte) Insgesamt haben die Studenten 5 Möglichkeiten sich auf die Vorlesungen zu verteilen. Erläuterungen zur Punkteverteilung: Die ( Punkte) enthalten jeweils Punkt für das Anwenden der richtigen (Kombinatorik-)Grundaufgabe ( ( n k), bzw n k ) und Punkt für das Ergebnis. zu b): Bei Lösung über Baumdiagramm entsprechende Punkte für Fallunterscheidung und Teilergebnisse.

9 3 3 Die fünf Studierenden Tim, Tom, Tam, Tem und Tum wollen die Vorlesungen Experimentalphysik, Theoretische Physik und Höhere Mathematik hören, und beschließen, dass an jeder Vorlesung mindestens einer von ihnen teilnehmen soll. Wieviele Möglichkeiten sich zu verteilen haben sie, wenn die Vorlesungen zeitgleich stattfinden und jeder der fünf Studierenden genau eine Vorlesung besucht? 3 3 Zählen aller Möglichkeiten ergibt: = 5. Reihenfolge der Summanden entspricht der der Pfade, die durch Beachten der Regel Erst rechts, dann runter! entsteht. Legende: a b c d x y z a: Anzahl der Vorlesungen mit Studenten. b: Anzahl der Vorlesungen mit Student. c: Anzahl der Vorlesungen mit Studenten. d: Anzahl der Vorlesungen mit 3 Studenten. x: Anzahl der Möglichkeiten für Student, Vorlesung mit bisher Hörern zu wählen. y: Anzahl der Möglichkeiten für Student, Vorlesung mit bisher Hörer zu wählen. z: Anzahl der Möglichkeiten für Student, Vorlesung mit bisher Hörern zu wählen. Niemand hat eine VL gewählt. Tim hat eine VL gewählt. Tim und Tom haben eine VL gewählt. Tim, Tom und Tam haben ein VL gewählt. Nur Tum hat noch keine VL gewählt. Jeder hat eine VL gewählt.

10 Tim, Tom, Tam, Tem und Tum beschließen, die Vorlesungen Theo. Phys., Exp.-phys. und HM zu hören, die gleichzeitig stattfinden. Wie viele Möglichkeiten sich zu verteilen haben sie, wenn zwei Vorlesungen von je zwei Studenten und eine Vorlesung von einem Student gehört werden soll? Antwort: = 9. Die Reihenfolge der Summanden entspricht der der Pfade, die durch Beachten der Regel Links vor rechts! entsteht. Legende: x abc y a: # VLen mit Stud.; b: # VLen mit Stud.; c: # VLen mit Stud.; x: # Möglichk., in leere VL zu gehen; y: # Möglichk., in VL mit schon Stud. zu gehen. Niemand hat eine VL gewählt. Tim hat eine VL gewählt. Tim und Tom haben eine VL gewählt. Tim, Tom und Tam haben ein VL gewählt. Nur Tum hat noch keine VL gewählt. Jeder hat eine VL gewählt.