Klausur Analysis II

Transkript

1 WS 28/9 Prof. Dr. John M. Sullivan Kerstin Günther Technische Universität Berlin Fakultät II Institut für Mathematik Klausur Analysis II Name: Vorname: Matr.-Nr.: Studiengang: Mit der Veröffentlichung des Ergebnisses meiner Klausur (nur Matrikelnummer und Punktzahl) im Internet sowie am schwarzen Brett neben dem Raum MA 32 bin ich einverstanden: Unterschrift (optional): Geben Sie bei allen Antworten einen Beweis bzw. ein Gegenbeispiel an. Bitte beginnen Sie für jede Aufgabe ein neues Blatt und beschriften Sie dieses mit Ihrem Namen sowie Ihrer Matrikelnummer. Die Klausur ist mit 8 Punkten bestanden. Die Bearbeitungszeit beträgt 9 Minuten. Schreiben Sie nicht mit Bleistift. Aufgabe Summe Punkte Korrektor Aufgabe (6 Punkte) (a) Sei R 2 mit der euklidischen Metrik versehen. Geben Sie eine Menge in R 2 an, die genau zwei Randpunkte besitzt. (b) Sei I eine nichtleere Teilmenge von R und x I. Man betrachte den Vektorraum aller Abbildungen f : I R (punktweise Operationen) und darauf die Abbildung f := f(x ) R. Unter welchen Bedingungen an I ist das eine Norm? (c) Man finde alle komplexen Zahlen z mit z 7 = 5.

2 Aufgabe 2 Sei f : R C definiert mit f(x) = exp(ix). (6 Punkte) (a) Bestimmen Sie die Ableitung von f. (b) Zeigen Sie, dass für f die Aussage des Mittelwertsatzes auf [, 2π] nicht gilt. Aufgabe 3 Untersuchen Sie das Konvergenzverhalten der uneigentlichen Integrale: (5 Punkte) (a) (b) 2 x 3 +x+ dx, dx. x +2 Aufgabe 4 Berechnen Sie folgende Integrale: (5 Punkte) (a) 3 exp(x) exp(x) + dx, (b) ln( + )dx. Aufgabe 5 Seien und 2 zwei äquivalente Normen auf einem Vektorraum E. Zeigen Sie: (4 Punkte) (a) (x n ) ist eine Cauchyfolge bezüglich (x n ) ist eine Cauchyfolge bezüglich 2, (b) E ist vollständig bezüglich E ist vollständig bezüglich 2. k+ mittels der Defini- 3 k k 2 Aufgabe 6 Bestimmen Sie den Konvergenzradius von k= tion. (3 Punkte) Aufgabe 7 Es sei R 2 mit der l 2 -Norm versehen und f : R 2 R 2 gegeben durch f(x,y) := (x( y),xy). Die Abbildung f ist stetig differenzierbar (dies muss nicht gezeigt werden.) (7 Punkte) (a) Bestimmen Sie die partiellen Ableitungen mittels der Definition und die Jacobi-Matrix von f. (b) Zeigen Sie: die Abbildung f bildet den Streifen S = (, ) (, ) diffeomorph auf den ersten Quadranten Q = (, ) (, ) ab.

3 WS 28/9 Prof. Dr. John M. Sullivan Kerstin Günther Technische Universität Berlin Fakultät II Institut für Mathematik Lösungsskizze zur Klausur Analysis II vom Aufgabe (a) Menge, die aus 2 Punkten besteht, z.b. {(, ), (, )}. (b) Es gilt: f = f(x ) =. Damit die Abbildung eine Norm ist, muss gelten f(x) = für alle x I. Angenommen, es existiert ein x I mit x x. Dann betrachten wir die Funktion f(x j ) = j mit j {, }. Es gilt dann f = aber f. Dies ist ein Widerspruch. Deshalb I = {x }. Für f,g : I R gilt: f = = f =, λf = λf(x ) = λ f(x ) = λ f, f + g = (f + g)(x ) f(x ) + g(x ) = f + g. (c) Sei w := exp( log 5 ) = 7 5 und ω = exp( 2πi). Dann gilt 7 7 ωk = exp( 2πik ), wobei k = 7,,...,6 (Notation: s. VL). Insgesamt sind die Lösungen von z 7 = 5 also z k = wω k = 7 5 exp( 2πik ), wobei k = 7,,...,6. Aufgabe 2 (a) Es gilt ( ) f (ix) k ( ) (ix) k (x) = = k! k! k= k= = i k k xk = i k x k k! (k )! = i (ix) k k! k= k= k= = i expix. (Andere Lösungen sind auch möglich.)

4 (b) Nach der Aussage des Mittelwertsatzes müßte es ein x (, 2π) geben mit f(2π) f() 2π = f (x). Wegen f (x) = für alle x R und f() = = exp(2πi) = f(2π) kann es jedoch kein solches x geben. (4 P.) Aufgabe 3 (a) Da f : [, ] R mit f(x) = Intervall ist, existiert Es gilt x 3 +x+ dx. x2 x 3 +x+ eine stetige Funktion auf einem kompakten x 3 + x + = x + x + 3x, x. Da (b) Es gilt dx =, existiert auch 3x dx nicht. x 3 +x+ x x2 + 2 = x x 2 x,5. Wegen x,5 dx = 2 existiert dx. 2 2 x +2 Aufgabe 4 (a) Es gilt mit der Substitutionsregel (s(x) = exp(x) + ) 3 exp(x) exp(x) + dx = 3s (x) s(x)dx = 3 s() xdx [ 2 = 3 3 x,5 ] exp()+ 2 = 2(exp() + ),5 2 2,5. s() (b) Mit partieller Integration erhalten wir ln( + )dx = x ln( + ) x Es gilt 2 Damit = +x2 + + x + dx. und dx = arctanx. + + ln( + )dx = x ln( + ) 2x + 2 arctanx.

5 Aufgabe 5 (a) Noch Voraussetzung existiert λ mit x 2 λ x für alle x E. Sei (x n ) eine Cauchyfolge bezüglich. Sei ε >. Dann existiert n N mit Somit gilt x n x m < ε λ n,m n. x n x m 2 λ x n x m < ε n,m n, d.h. (x n ) ist eine Cauchyfolge bezüglich 2. Die Rückrichtung funktioniert analog. (b) Sei E vollständig bezüglich. Sei (x n ) eine Cauchyfolge bezüglich 2. Nach (a) ist (x n ) eine Cauchyfolge bezüglich. Sei x der Grenzwert dieser Cauchyfolge bezüglich. Dann gilt (λ wie in (a)) x n x 2 λ x n x. Somit ist x der Grenzwert von (x n ) bezüglich 2. Die Rückrichtung funktioniert analog. Aufgabe 6 Die Reihe k= k+ ist eine Potenzreihe der Form 3 k k 2 j= a jx j mit a 2k =, a 2k+ = 3 k k 2 (k N). Wegen 2 lnk für n (mit l Hospital) gilt 2k+ lim k 2 2 2k+ = exp(lim ln k) =. 2k + Wegen 3 k 2k+ 3 für n gilt lim sup j a j = lim sup 2k+ a 2k+ = lim 2k+ 3 k k =. 2 3 Damit ist R = 3. Aufgabe 7 (a) Es gilt f(x + t,y) f(x,y) f(x,y) = lim t t f(x,y + t) f(x,y) 2 f(x,y) = lim ( t ) t y x Jf =. y x = lim t (t( y),ty) t = lim t ( tx,tx) t = ( y,y), = ( x,x),

6 6 (b) Für (x,y) (, ) (, ) gilt: x( y) (, ) und xy (, ), d.h. f((, ) (, )) (, ) (, ). y f ist surjektiv: Seien x,y (, ). Dann gilt f(x + y, ) = (x,y). x+y f ist injektiv: Seien (x,y), ( x,ỹ) (, ) (, ) mit f(x,y) = f( x,ỹ). Dann x( y) = x( ỹ) und xy = xỹ. Durch Addition der beiden Gleichungen erhält man x = x. Damit y = ỹ. Die Umkehrabbildung f ist (s. Surjektivität) (x,y) (x + y, y x + y ). Diese Abbildung ist stetig: Sei (x n,y n ) (x,y) in (, ) (, ) R 2. Dann konvergieren die Komponenten, d.h. x n x und y n y. Wegen x n + y n x + y, y n x n + y n y x + y sind die Komponentenfunktionen f und f 2 stetig. Somit ist f stetig. D p f ist invertierbar für jedes p (, ) (, ): Wegen ( ) y x detjf = det = x y x ist Jf invertierbar und daher ist D p f invertierbar für jedes p (, ) (, ). Somit ist f ein Diffeomorphismus (nach Lemma E8.3 aus der Vorlesung).