= 11 ± 5, also k 1 = 3 und k 2 = 8.

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Albert Solberg
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1 Stroppel Musterlösung.8.5, 8min Aufgabe (6 Punkte) Gegeben sei die Funktion f: R R: x x e x. (a) Zeigen Sie durch vollständige Induktion, dass für alle x R und alle k N gilt: f (k) (x) = ( ) k (x kx+(k )k)e x. (b) Für welche k N besitzt der Graph von f (k) an der Stelle x = 6 eine waagrechte Tangente? (a) IA Für k = ist f () (x) = f(x) = x e x = ( ) (x x+)e x. IS Die Aussage sei bewiesen für ein k N. Dann gilt: f (k+) (x) = d dx f(k) (x) = ( ) k [ (x kx+(k )k)e x +(x k)e x ] = ( ) k+ [x (k +)x+k(k +)]e x, d.h. die Aussage ist auch für die (k +) te Ableitung wahr. (b) Der Graph von f (k) hat bei x = 6 eine waagrechte Tangente, wenn f (k+) (6) = ( ) k+ [6 (k +) 6+k(k +)]e 6 = ( ) k+ (k k +4)e 6 =, wegen ( ) k+ e 6 also genau dann, wenn k k +4 =. Daraus folgt k / = ± 96 = ± 5, also k = und k = 8. Seite von

2 Stroppel Höhere Mathematik / Musterlösung.8.5, 8min Aufgabe (4 Punkte) Gegeben sei die Funktion f: R {(,)} R: (x,y) xy x x xy +y. (a) Berechnen Sie lim k f(x k,y k ) für die durch (x k,y k ) = ( k, k ) definierte Folge. (b) Ist f bei (, ) stetig fortsetzbar? (a) Einsetzen von x k = k und y k = k liefert lim f(x k,y k ) = lim k k = lim k k k ( k ) ( k ) k k +( k ) = lim k k + =. k k (b) f ist nur dann bei (,) stetig fortsetzbar, wenn lim k f(x k,y k ) = k k k k + k 4 auch für jede andere Folge ( (x k,y k ) ) k N mit lim k (x k,y k ) = (,) gilt. Wählt man aber z.b. (x k,y k ) = (, k), so erhält man lim f(x k,y k ) = lim k k = lim = k +( k ) k, k d.h. f ist bei (,) nicht stetig fortsetzbar. Bemerkung: Auch andere Folgen liefern einen von verschiedenen Grenzwert, z.b. lim f( k k, ) k =, lim f ( ) k k, k = 5, lim f( k k, ) k =,... Seite von

3 Stroppel Höhere Mathematik / Musterlösung.8.5, 8min Aufgabe (5 Punkte) Sei α ein reeller Parameter. Gegeben sei das lineare Gleichungssystem x + y + αz =, x + αy + z =, αx + y + z =. (a) Bestimmen Sie die Determinante der Koeffizientenmatrix dieses Gleichungssystems. (b) Bestimmen Sie für α = die Lösungsmenge des Gleichungssystems. (c) Für welche α ist das Gleichungssystem eindeutig lösbar? (a) Die Determinante ist α det(a) = α α = (α+) α α = (α+) α α α α = (α+)(α )( α) = (α+)(α ). Oder mit der Regel von Sarrus: det(a) = α +α. (b) Der Gauß Algorithmus liefert: Z Z Z +Z Z Z Dies führt auf die Lösungsmenge L = {(t+,t,t) t R}. Z Z +Z (c) Das Gleichungssystem ist genau dann eindeutig lösbar, wenn det(a). det(a) = α +α = (α+)(α ) besitzt die Nullstellen α = und α =. Es folgt, dass das Gleichungssystem für α R {,} eindeutig lösbar ist. Seite von

4 Stroppel Höhere Mathematik / Musterlösung.8.5, 8min Aufgabe 4 ( Punkte) Gegeben sei die lineare Abbildung s f: R R 4 : s t +t. Sei E 4 die Standardbasis von R 4. Sei E die Standardbasis von R. Sei B:, eine weitere Basis von R. (a) Bestimmen Sie die Matrizen E4 f E und E4 f B. (b) Untersuchen Sie f auf Injektivität und Surjektivität. (a) Es gilt f(e ) = und f(e ) =, also E 4 f E =. Man kann die Spalten von E4 f B mit der Definition von f oder durch Matrizenmultiplikation finden: E 4 f B = E4 f E E id B = = (b) Der Rang von E4 f E ist, also dimf(r ) = dimr 4 und dimkern(f) = dimf(r ) =. Es folgt, dass f injektiv, aber nicht surjektiv ist. Seite 4 von

5 Stroppel Höhere Mathematik / Musterlösung.8.5, 8min Aufgabe 5 (9 Punkte) Gegeben sei die Quadrik Q := { (x,x ) R x x +4x +x = }. Bestimmen Sie die euklidische Normalform und die Gestalt der Quadrik. Skizzieren Sie im Ausgangskoordinatensystem die Quadrik und ein Koordinatensystem, in dem Q diese Normalform besitzt. In Matrixschreibweise x Ax+a x+c = lautet die Gleichung ) (x x x x + + =. x Das charakteristische Polynom von A ist χ A (λ) = det(a λe ) = λ = (λ )(λ+). Die Eigenwerte von A sind also λ = und λ =. Der Eigenraum zu λ ist der Lösungsraum V(λ ) des LGS [ ]. Dieser Lösungsraum wird aufgespannt durch den normierten Eigenvektor v =. Einen Eigenvektor v zu λ kann man analog durch Lösen des homogenen linearen Gleichungssystems (A λ E )x = (A + E )x = bestimmen. (Alternativ kann man verwenden, dass A symmetrisch ist: Somit ( sind ) die Eigenräume zu λ und λ orthogonal.) Man erhält als normierten Eigenvektor v =. Dies liefert die Transformationsmatrix F :=. Bezüglich des kartesischen Koordinatensystems F = (;v,v ) = ( ); ( ), ( ) hat unsere Quadrik die Gleichung = y (F AF)y +(F a) y + ( ( = y y + = y y + y + y. x )) y Durch quadratische Ergänzung nehmen wir eine Verschiebung vor, um die linearen Terme zu beseitigen: y + y = y + y ( = y + ) 9 y + ( y = y y + ) ( ) = y +. Seite 5 von

6 Stroppel Höhere Mathematik / Musterlösung.8.5, 8min Dies liefert den neuen Ursprung P mit Koordinatenvektor P = und also F P = E P = κ ( P) = F P = =. E F F F ( ( Wir erhalten das neue Koordinatensystem G = (P;v,v ) = ) ) ; ( ), ( ). In Koordinaten bezüglich G wird die Quadrik beschrieben durch z z 4 =. Division durch 4 liefert die euklidische Normalform 4 z + 4 z + =. Es handelt sich um eine Hyperbel. 5 x 4 z G v x 4 v 5 z 6 Q 7 Seite 6 von

7 Stroppel Höhere Mathematik / Musterlösung.8.5, 8min Aufgabe 6 ( Punkte) Gegeben ist die Funktion x sin für x, x f: R R: x für x =. (a) Bestimmen Sie die Ableitung von f für x R {}. (b) Ist f differenzierbar an der Stelle x =? (c) Ist f differenzierbar an der Stelle x =? (a) Mit der Produkt- und der Kettenregel berechnen wir für x ( f (x) = x sin )+x ( x ) cos = x sin x x (b) Es gilt f f(+h) f() () = lim = lim h h Nun ist aber h sin = h h ( h sin h) h h ( h) sin }{{} = lim h h sin xcos x. h h für alle h, und lim h h =. Also ist f bei x = differenzierbar, mit f () =. (c) Für h betrachten wir den Differenzenquotienten f (+h) f () = h sin ( ( h) hcos ) h = hsin h h a n a n cos h. x. h Nehmen wir a n =, dann ist lim a πn n =. Einsetzen von a n für h liefert n ( ) lim a n sin cos = lim n n πn sin(πn) cos(πn) Andererseits gilt für b n =, dass lim πn+π ) ( lim b n sin cos n b n Damit ist lim n b n b n = und n ( = lim n =. πn+π sin(πn+π) cos(πn+π) ) =. ( ) ( ) a n sin cos = = lim b n sin cos. a n a n n b n b n Also divergiert der Differenzenquotient für h, d.h. f ist bei nicht differenzierbar. Seite 7 von

8 Stroppel Höhere Mathematik / Musterlösung.8.5, 8min Aufgabe 7 (8 Punkte) Für jedes Paar (a,b) R betrachten wir das Vektorfeld x a x f: R R : x = x x 8x. x x +b 4 x x (a) Berechnen Sie die Jacobi-Matrix, die Divergenz und die Rotation von f. (b) Für welche Paare (a,b) R besitzt f ein Potential? (c) Berechnen Sie ein Potential von f für (a,b) = (,). (d) Gegeben sei die Parametrisierung der Kurve K durch cos(πt) C : [,] R : t sin(πt). Berechnen Sie für (a,b) = (,) das Integral K f(x) dx. (a) Durch Differenzieren erhält man: Jf(x,x,x ) = a x x a x 6x, 9x b 4 x b 4 x divf = a x x +b 4 x, (b 4 6)x rotf = (a 9)x. (b) R ist einfach zusammenhängend. Die notwendige und hinreichende Bedingung für die Existenz eines Potentials lautet somit (b 4 6)x = rotf = (a 9)x, also (a,b) {(,),(, ),(,),(, )}. (c) Wegen grad(u) = f gilt zunächst U(x,x,x ) = 9x x dx = x x +c (x,x ). Seite 8 von

9 Stroppel Höhere Mathematik / Musterlösung.8.5, 8min Mit U(x,x,x ) = c (x,x ) =! 8x x x folgt c (x,x ) = 8x x +c (x ) und schließlich x U(x,x,x ) = x +6x x + x c (x )! = x +6x x. Also ist c (x ) konstant. Ein Potential ist somit U(x,x,x ) = x x +8x x. (d). Lösungsweg (unter Ausnutzung des Potentials): Es gilt f(x) dx = U(C()) U(C()) = U(,,) U(,,) =. K. Lösungsweg (direkte Rechnung): Wir berechnen f(x) dx = f(c(t)) C (t) dt K 8(cos(πt)) π sin(πt) = πcos(πt) dt (cos(πt)) +sin(πt) = = 8π 8π(cos(πt)) sin(πt)+πcos(πt) dt (cos(πt)) sin(πt) dt+ [sin(πt)] }{{} = du und erhalten mit Hilfe der Substitution cos(πt) = u, dt = πsin(πt): [ ] u f(x) dx = 8 u du = 8 =. K Seite 9 von

10 Stroppel Höhere Mathematik / Musterlösung.8.5, 8min Name, Vorname: Nummer: Matrikel- Studiengang: Aufgabe 8 (6 Punkte) (a) Es sei w = 5e πi e 6 πi. Berechnen Sie Re(w) =, Im(w) =, und zeichnen Sie w in die komplexe Zahlenebene ein. { (b) Skizzieren Sie die Menge M = z C {} Im ( ) } z > in der komplexen Zahlenebene. Im (z) w Re(z) M Der Rand gehört nicht zu M. Aufgabe 9 ( Punkte) Geben Sie für jede der folgenden komplexen Potenzreihen den Mittelpunkt z C und den Radius ρ R + {+ } ihres Konvergenzkreises an: (a) n= n (z) n, z =, ρ = (b) ( i) n (z +i) n, z = i, ρ = n= 4 Seite von

11 Stroppel Höhere Mathematik / Musterlösung.8.5, 8min Aufgabe (7 Punkte) Berechnen Sie: [ ln(x) ] x ln(x) dx =, x ln(x) dx = ln() e x cos(πx) dx = [ ] e x πsin(πx) cos(πx) +π e x cos(πx) dx = +π, e n cos(πn) = n= e +e Aufgabe (6 Punkte) Gegeben seien die Matrizen A und B: i A =, B = i. (a) Bestimmen Sie die Spur und die Determinante der Matrix A. Sp(A) = i, det(a) =. Bestimmen Sie die Eigenräume der Matrix A: V() = L (( i )), V(i) = L (( i )) (b) Bestimmen Sie das charakteristische Polynom der Matrix B: χ B (λ) = (λ ) (λ+) Bestimmen Sie die Eigenräume der Matrix B: V( ) = L, V() = L, Seite von

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