Klausur - Analysis 1

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1 Prof. Dr. László Széelyhidi Analysis I, WS 22 Klausur - Analysis Lösungen Aufgabe. i Punt Definieren Sie, wann x n eine Cauchyfolge ist. Lösung : x n heisst Cauchyfolge wenn es zu jedem ε > ein N N gibt, so dass x n x m < ε gilt für alle m, n N mit m N, n N. ii Punt Sei f : R R stetig und x n eine Cauchyfolge in R. Man zeige: fx n ist eine Cauchyfolge. Beweis : Weil x n eine Cauchyfolge ist, gibt es ein x R mit lim n x n x. Wegen der Stetigeit von f folgt daraus lim n fx n fx, und somit ist auch fx n eine Cauchyfolge. iii Punt Sei f :], [ R stetig und x n eine Cauchyfolge in ], [. Ist fx n notwendigerweise eine Cauchyfolge? Begründen Sie Ihre Antwort! Lösung : Nein! Beispiel: Seien fx : /x, und x n : /n. Dann ist f stetig auf,, x n onvergiert und ist mithin eine Cauchyfolge. Andererseits ist lim n fx n +, also ist fxn eine Cauchyfolge. iv Punt Sei f :], [ R gleichmässig stetig und x n eine Cauchyfolge in ], [. Ist fxn notwendigerweise eine Cauchyfolge? Begründen Sie Ihre Antwort! Lösung : Sei ε > beliebig gegeben. Weil f gleichmässig stetig ist, gibt es ein δ δε >, so dass fx fx < ε gilt für alle x, x, mit x x < δ. Weiterhin, weil x n eine Cauchyfolge ist, gibt es ein N Nε N, so dass für alle m, n N, mit m N, n N gilt x m x n < δ. Für diese m, n ist dann fx m fx n < ε. Folglich ist fx n ebenfalls eine Cauchyfolge. Aufgabe 2. i Punt Formulieren Sie den Satz von Bolzano-Weierstrass. Lösung : Wir geben zwei äquivalente Formulierungen:. Jede unendliche beschränte Menge des R n besitzt einen Häufungspunt. 2. Jede beschränte Folge x n R n besitzt eine onvergente Teilfolge. ii Punt Sei f : [a, b] R eine stetige Funtion. Beweisen Sie mit Hilfe von i, dass f auf [a, b] ein Maximum besitzt. Beweis : Sei M : sup{fx : x [a, b]}. Wegen der Definition von M gibt es eine Folge x n [a, b] mit lim n fx n M. Weil x n beschränt ist, gibt es wegen i eine Teilfolge x n N, so dass lim x n x mit einem x R. Ist. Weil [a, b] abgeschlossen ist, ist sogar x [a, b]. Wegen der Stetigeit von f folgt daraus fx M max{fx : x [a, b]}. iii Punt Geben Sie ein Beispiel einer beschränten stetigen Funtion f : [, [ R an, die ein Maximum besitzt. Lösung : fx x/ + x is streng monoton wachsend und beschränt auf [, +, und es gilt lim x fx. iv Punt Sei f : R R differenzierbar, und a < b so dass f a > und f b <. Zeigen Sie, dass es ein ξ ]a, b[ existiert, so dass f ξ. Lösung : Sei M : sup{fx : x [a, b]}. Wegen ii ist fξ M für ein ξ [a, b]. Weil f a > ist, gilt fx > fa wenn x > a und x a lein ist. Ebenso folgt aus f b <, dass fx > fb ist, wenn x < b und x b lein ist. Also ist ξ a und ξ b, und somit f ξ. Aufgabe 3. Sei x R und n N. Die Punte A n auf dem Einheitsreis der omplexen Ebene seien wie folgt definiert: A n : e i x n. 5. Februar 23

2 Prof. Dr. László Széelyhidi Analysis I, WS 22 Man berechne die folgenden Grenzwerte: n i 2 Punte lim n An A n : A. Lösung : Es gilt für alle {,..., n}: A n A n 2 e i x n 2 e ix n 2 cosx/n 2 + sinx/n cosx/n. Durch zweimalige Anwendung der Regel von de l Hospital ergibt sich daraus A 2 n n2 2 2 cosx/n y 2 2 cosxy y 2 2x sinxy 2x 2 cosxy x 2, y 2y y 2 also A x. n ii 2 Punte lim n n An : B. Lösung : Sei zunächst x. Dann ist A n für alle, n N, so dass man B erhält. Ist x, so ist x/n, 2π wenn n gross genug ist, also e ix n für diese n. Wegen der Summenformel für die endliche geometrische Reihe ist also für grosse n: A n e i x n e i n+x n e i. x n Durch Anwendung der Regel von de l Hospital ergibt sich daraus: B n n e i n+x n e i x n ye ix+y y y e ixy y e ixy lim y eix+y e ix lim y ixe ixy eix. ix Aufgabe 4. i 2 Punte Berechnen Sie die Summe der Reihe : s Lösung : Sei s n : n Dann gilt s n Also folgt s n s n 3. ii 2 Punte Bestimmen Sie den Konvergenzradius von a n n z n, b n! n 3 33n +. z log n. n Lösung : a Sei a n : nn z n n!. Es gilt a n+ a n n + n+ z n! n +!n n n + n+ z n + n n n + n z n n z + n n z e für n. 5. Februar 23

3 Prof. Dr. László Széelyhidi Analysis I, WS 22 Der letzte Ausdruc ist leiner als wenn z < e ist, und grösser als für z > e. Also ist der Konvergenzradius e. b Es gilt z log n e log z log n n log z. Nach einem beannten Satz onvergiert die Reihe genau dann, wenn log z < ist, das heisst für z < e. Der Konvergenzradius ist somit e. Aufgabe 5. Es seien a, c R mit c >, und f : [, ] R definiert durch { x a sinx c für x, fx : für x. Beweisen Sie folgende Aussagen: i Punt f ist stetig auf [, ] genau dann, wenn a >. Lösung : Zunächst ist f als Komposition stetiger Funtionen stetig für alle x. Ist a, so existiert der Grenzwert lim x fx nicht. Ist a >, so folgt aus fx x a, lim x fx. Also ist f stetig in. ii Punt f existiert genau dann, wenn a >. Lösung : Es gilt für x : fx f x a sinx c. x Der rechts stehende Ausdruc hat einen Grenzwert - und dieser ist dann gleich f - genau dann, wenn a > ist. Somit ist f differenzierbar in genau dann, wenn a > ist, und es gilt in diesem Fall f. iii Punt f ist beschränt auf [, ] genau dann, wenn a + c. Lösung : Für x ist f x ax a sinx c cx a c cosx c. Dieser Ausdruc ist beschränt genau dann, wenn x a c beschränt ist, d.h. für a c. iv Punt f ist stetig auf [, ] genau dann, wenn a > + c. Lösung : Wegen ii ist f. Zusammen mit * bedeutet dies, dass f stetig in ist genau dann, wenn lim x x a c cosx c ist. Letzteres ist der Fall genau dann, wenn a c >. Aufgabe 6. i Punt Berechnen Sie das Integral Lösung : Es gilt x 2 dx. x 2 dx ii Punt Sei g : [, ] R stetig. Zeigen Sie, dass Lösung : Es gilt wegen i: 3 min g 3 [,] 2x + x 2 dx x x 2 + x3 3 gx x 2 dx 3 max [,] g gx x 2 dx max [,] g. 3. x 2 dx max [,] g, 5. Februar 23

4 Prof. Dr. László Széelyhidi Analysis I, WS 22 und 3 gx x 2 dx 3 min [,] g x 2 dx min [,] g. iii Punt Sei f : [, ] R zweimal stetig differenzierbar. Zeigen Sie, dass fx dx f + 2 f + 2 Lösung : Durch zweimalige partielle Integration erhält man: f x x 2 dx f x x 2 dx f x x 2 2 f xx dx f 2fxx + 2 fx dx f 2f + 2 woraus sich die Behauptung ergibt. iv Punt Folgern Sie aus ii und iii, dass ein ξ [, ] existiert, so dass fx dx f + 2 f + 6 f ξ. fx dx, Lösung : Sei Z : 3 f x x 2 dx. Aus ii folgt, dass min [,] f Z max [,] f ist. Weil f stetig ist, gibt es dann aufgrund des Zwischenwertsatzes ein ξ [, ], so dass f ξ Z ist. Nun folgt die Behauptung aus iii. Aufgabe 7. i Punt Definieren Sie, wann eine Funtion f : [a, b] R onvex ist. Lösung : f heisst onvex, wenn für alle x, y [a, b] und λ [, ] gilt: fλx + λy λfx + λfy. ii 2 Punte Seien f : [a, b] R onvex, n N, x,..., x n [a, b] und λ,..., λ n [, ], so dass λ + + λ n. Man zeige mittels vollständiger Indution: n f λ x λ fx. Lösung : Für n 2 folgt * aus der Definition der Konvexität. Angenommen, * gilt für ein n 2. Es seien dann x,..., x n+ [a, b], λ,..., λ n+ [, ], so dass λ + + λ n+. Ohne Beschränung der Allgemeinheit dürfen wir λ n+ < annehmen. Aus der Konvexität von f, der Indutionsvoraussetzung sowie der Identität n λ / λ n+ erhält man: f n+ λ x λ n+ f λ n+ n n+ λ fx, λ λ n+ x + λ n+ fx n+ λ λ n+ fx + λ n+ fx n+ das heisst * gilt auch für n + anstelle von n. Nun folgt die Behauptung aus dem Indutionsprinzip. 5. Februar 23

5 Prof. Dr. László Széelyhidi Analysis I, WS 22 iii Punt Man zeige, dass für alle n 2 und a,..., a n > n a a 2 a n a + + a n n Lösung : Anwendung von ii auf die onvexe Funtion fx : e x, und λ... λ n n ergibt. n ex n e n x /n n /n e x. Setzt man hier a : e x,,..., n, so folgt die Behauptung. Aufgabe 8. i Punt Es sei f : [a, b] R integrierbar. Definieren Sie was eine Stammfuntion von f ist. Lösung : F : [a, b] R heisst Stammfuntion zu f, wenn F differenzierbar ist und F x fx auf [a, b] gilt. ii Punt Es seien a >, b und I a,b : Zeigen Sie folgende Reursionsformel: Lösung : Nach partieller Integration folgt I a,b π/2 a b + sin a x cosb+ x b + π/2 woraus die Behauptung folgt. π/2 sin a x cos b x dx. I a,b a a + b I a 2,b. dx sina x cos b+ x b + π/2 + a b + sin a 2 x cos b x sin 2 x dx a b + I a 2,b a b + I a,b, iii 2 Punte Geben Sie eine Stammfuntion von log x 2 x 2 π/2 sin a 2 x cos b+2 x dx an. Lösung : Mit Hilfe der Substitution y log x erhält man dy/dx /x und nach zweimaliger partieller Integration: log x 2 x 2 dx y 2 e y dy y 2 e y dy y 2 e y + 2 ye y dy y 2 e y + 2 y e y dy y 2 e y + 2 ye y + e y dy y 2 e y 2ye y 2e y + c für eine Konstante c R. x log x2 2 log x 2 + c, 5. Februar 23