Potenzreihen. Potenzreihen sind Funktionenreihen mit einer besonderen Gestalt.

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1 Potenzreihen Potenzreihen sind Funtionenreihen mit einer besonderen Gestalt Definition Ist (a ) eine Folge reeller (bzw omplexer) Zahlen und x 0 R (bzw z 0 C), dann heißt die Reihe a (x x 0 ) (bzw a (z z 0 ) ) eine Potenzreihe mit Entwiclungspunt x 0 z 0 ) (bzw (Im folgenden verwenden wir die reelle Notation Die Ergebnisse gelten aber auch sinngemäß im Komplexen Statt Konvergenzintervalle treten dort dann Konvergenzreisscheiben auf) Potenzreihen haben sehr übersichtliche Konvergenzmengen Für eine Potenzreihe a (x x 0 ) ) Konvergiert die Potenzreihe an einer Stelle x x 0, dann onvergiert sie auch absolut für alle x mit x x 0 < x x 0 2) Divergiert die Potenzreihe an einer Stelle x 2 x 0, dann divergiert sie auch für alle x mit x x 0 > x 2 x 0 Beweis zu ) Konvergiere die Potenzreihe an x x 0 und sei x x 0 < x x 0 Aus der Konvergenz von a (x x 0 ) folgt notwendigerweise, gilt dass lim a (x x 0 ) = 0 Damit gibt es ein N gilt a (x x 0 ) M M > 0, sodass für alle Daraus erhalten wir nun a (x x 0 ) = a (x x 0 ) x x 0 x x 0 M x x 0 x x 0 Weil x x 0 x x 0 = q < ist, folgt mit dem Vergleichsriterium die Konvergenz von a (x x 0 )

2 zu 2) Divergiere die Potenzreihe an x 2 x 0 und gelte weiters dass x x 0 > x 2 x 0 Dann ann wegen ) die Potenzreihe nicht an x onvergieren (weil sie sonst auch an x 2 onvergieren müsste) Beispiel Betrachte = ( ) x (hier ist x 0 = 0) Aus dem Leibniz-Kriterium folgt, dass die Reihe an x = onvergiert Folglich onvergiert die Reihe für x < absolut An der Stelle x 2 = divergiert die Reihe (harmonische Reihe) Also ist der Konvergenzbereich durch < x gegeben Setzen wir nun { R = sup r : r = x x 0, dann erhalten wir die wichtige Folgerung Für jede Potenzreihe } a (x x 0 ) ist onvergent a (x x 0 ) Konvergenzradius R, 0 R, für den gilt :, existiert eindeutig ein Ist R = 0, dann onvergiert die Potenzreihe nur an x 0 Ist 0 < R <, dann onvergiert die Potenzreihe absolut im Konvergenzintervall U R (x 0 ) = {x R : x x 0 < R} (bzw im omplexen Fall in der Konvergenzreisscheibe U R (z 0 ) = {z C : z z 0 < R} ) Sie divergiert auf {x R : x x 0 > R} (bzw {z C : z z 0 > R}) Ist R =, dann onvergiert die Potenzreihe auf ganz R (bzw auf ganz C) Da eine Potenzreihe durch die Koeffizienten a ihr Konvergenzradius durch sie bestimmt sein bestimmt ist, muß auch (Cauchy-Hadamard) 2

3 Für den Konvergenzradius einer Potenzreihe ) lim sup a = R = 0 2) 0 < lim sup a < R = 3) lim sup a = 0 R = lim sup a a (x x 0 ) gilt bzw symbolisch R = lim sup a Beweis zu ) Sei lim sup Teilfolge a j mit a = und x x0 beliebig Dann existiert eine aj j x x 0 für fast alle j, woraus folgt dass a j (x x 0 ) j Damit ist aber das notwendige Kriterium für die Konvergenz einer Reihe verletzt, also onvergiert die Potenzreihe nicht an x und somit ist R = 0 zu 2) Sei 0 < lim sup a < und x R fest Wir untersuchen mittels des Wurzelriteriums und erhalten lim sup a (x x 0 ) = x x 0 lim sup a = x x0 R Der letzte Ausdruc ist leiner als (absolute Konvergenz), im Falle dass x x 0 < R und größer als (Divergenz), wenn x x 0 > R Dies bedeutet aber R = R = lim sup a zu 3) Sei lim sup a = 0 und x R beliebig Aus lim sup a (x x 0 ) = x x 0 lim sup a = 0 < folgt die absolute Konvergenz für alle x R, ie R = Beispiele 3

4 (i) Betrachte (x 2) = Wegen lim sup a = lim = ist R = 0 (ii) Betrachte = 3 (x + ) ( Wegen lim sup a = 3 lim ) = 3 ist R = 3 Die Potenzreihe onvergiert also (absolut) für alle x mit x + < 3, ie für alle x mit 4 3 < x < 2 3 (ii) Betrachte x! ( Wegen lim sup a = lim )! = 0 (weil mittels vollständiger Indution gilt, dass! > ( 3) ) ist R = Wie zuvor erwähnt, onvergieren Potenzreihen in symmetrischen Intervallen (bzw Kreisscheiben) um einen Punt x 0 R (bzw z 0 C) Im Hinblic auf gliedweise Integration bzw Differentiation von Potenzreihen ist die Frage von Interesse, auf welchen Teilmengen der Konvergenzmenge gleichmäßige Konvergenz vorliegt Eine Potenzreihe a (x x 0 ) mit Konvergenzradius R, 0 < R onvergiert auf jeder ompaten Teilmenge der Konvergenzmenge gleichmäßig Beweis Zu jeder ompaten Menge X U R (x 0 ) gibt es ein r mit 0 < r < R mit X U r (x 0 ) U R (x 0 ) Dann ist aber die Reihe a r gemäß früher absolut onvergent und wegen der auf X gültigen Abschätzung a (x x 0 ) a r X gleichmäßig onvergent nach dem Weierstrass Kriterium auf 4

5 Sei a (x x 0 ) eine Potenzreihe mit Konvergenzradius R, 0 < R Dann gilt für die von der Reihe erzeugte Funtion A(x) = a (x x 0 ) : ) A(x) ist stetig auf U R (x 0 ), 2) A(x) ist auf U R (x 0 ) beliebig oft differenzierbar, und es gilt dort für die n-te Ableitung A (n) (x) = a ( ) ( n+)(x x 0 ) n = n! ( ) n a (x x 0 ) n =n wobei diese Potenzreihe ebenfalls den Konvergenzradius R besitzt, 3) A(x) ist auf jedem Intervall [a, b] U R (x 0 ) R-integrierbar und die Potenzreihe darf gliedweise integriert werden, ie ( b b ) ( ) A(x)dx = a (x x 0 ) dx = b a (x x 0 ) dx a Beweis a zu ) : Sei x U R (x 0 ) Dann gibt es eine ompate Umgebung U(x) von x mit U(x) U R (x 0 ) Auf U(x) liegt gleichmäßige Konvergenz vor und nach einer früheren Aussage ist A(x) damit stetig in x zu 2) : Wir zeigen zuerst, dass die Reihe der Ableitungen den gleichen Konvergenzradius R besitzt a (x x 0 ) = x x 0 a (x x 0 ) = x x 0 b (x x 0 ) = wobei b = a R = lim sup b = lim = lim sup a = a = R, weil =n lim = Die Reihe der Ableitungen onvergiert dann auf jeder ompaten Teilmenge X (insbesondere auf ompaten Umgebungen) von U R (x 0 ) gleichmäßig Da die Potenzreihe selbst zb für x 0 onvergiert, ist nach einem früheren Satz die Summenfuntion in jedem x U R (x 0 ) differenzierbar 5

6 und die Potenzreihe darf gliedweise differenziert werden Mittels vollständiger Indution ergibt sich der Beweis für die höheren Ableitungen zu 3) : A(x) ist stetig auf [a, b] und a (x x 0 ) ist R-integrierbar auf [a, b] Gemäß früher ist dann auch A(x) R-integrierbar auf [a, b] und die Potenzreihe darf gliedweise integriert werden Der Konvergenzradius der gliedweise integrierten Potenzreihe ist (analog zur gliedweise differenzierten Potenzreihe) wiederum R Wir zeigten früher, dass unter gewissen Voraussetzungen eine Funtion f f(x) eine Taylor-Reihe () (x 0 )! (x x 0 ) besitzt, die auf gewissen Intervallen auch die Funtion darstellt Andererseits stellen Potenzreihen a (x x 0 ) auf ihrem Konvergenzintervall U R (x 0 ) eine beliebig oft differenzierbare Funtion A(x) dar Welcher Zusammenhang besteht hier? Sei a (x x 0 ) eine Potenzreihe mit Konvergenzradius R, 0 < R, und bezeichne A(x) die Summenfuntion Dann gilt für alle n 0, dass a n = A(n) (x 0 ) n!, dh es ist A(x) = A () (x 0 )! (x x 0 ) Beweis A (n) (x 0 ) = n!a n A (n) (x) = n! =n ( ) n a (x x 0 ) n Für x x 0 folgt dann Bemerungen (i) A(x) ist auf U R (x 0 ) bereits durch die Werte auf einer beliebig leinen Umgebung von x 0 vollständig bestimmt 6

7 (ii) Potenzreihen erscheinen formal als Polynome unendlich hohen Grades Bei Polynomen wissen wir, dass zwei Polynome vom Grad n identisch sind, wenn sie an mindestens n + Stellen übereinstimmen Für zwei Potenzreihen ist es allerdings nicht ausreichend, dass sie nur an unendlich vielen Punten übereinstimmen, wie das Beispiel der beiden Funtionen f(x) = sin(πx) und g(x) 0 zeigt, die an allen ganzzahligen x übereinstimmen, aber nicht identisch sind (Identitätssatz für Potenzreihen) Besitzen A(x) = a (x x 0 ) und B(x) = b (x x 0 ) an unendlich vielen von x 0 verschiedenen Stellen x, x 2,, die sich an x 0 häufen, denselben Wert, ie A(x i ) = B(x i ), dann gilt a = b, dh A(x) = B(x) auf X = U R (x 0 ) U R2 (x 0 ) Bemerung Dieser Identitätssatz wird in der Funtionentheorie verallgemeinert und ist dort ein mächtiges Werzeug zum Beweis vieler Sätze (zb die Eindeutigeit der Fortsetzung von holomorphen Funtionen) Zum Abschluß sei ohne Beweis ein interessanter Satz von Abel erwähnt (Abelscher Grenzwertsatz) Sei A(x) = a x eine Potenzreihe mit Konvergenzradius R = Ist die Potenzreihe auch an x = onvergent, ie onvergiert gilt lim A(x) = a x a, dann 7