), wobei. ) bezeichnete. Wir schreiben. s n. , falls dieser existiert.

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1 7.7. Potenzreihen Unendliche Reihen waren reelle oder omplexe Folgen der Form (s n ), wobei n s n f f 0 + f +... f n die n-te Partialsumme zur Folge (f n ) bezeichnete. Wir schreiben Konvergenzriterien f für die Reihe (s n ) und f für ihren Grenzwert n s n, falls dieser existiert. Wie wir schon früher sahen, beommt man durch Vergleich mit geeigneten geometrischen Reihen Tests für die Konvergenz. Wir wollen die wichtigsten dieser Kriterien hier noch einmal systematisch miteinander vergleichen. Von den nachfolgenden fünf Aussagen über eine reelle oder omplexe Folge (f ) impliziert jede der ersten vier die jeweils nächste: Quotientenriterium: < f f + Wurzelriterium: < (-te Wurzel!) f Majorantenriterium: Es gibt eine Folge (b ) mit f Absolute Konvergenz: Konvergenz: f ist endlich f existiert und ist endlich. b, so daß b endlich ist Umgeehrt ist die Reihe f divergent oder bestenfalls gegen onvergent, wenn f + f > oder f > gilt. Sind diese Grenzwerte gleich, so ann im allgemeinen zunächst eine Konvergenzaussage über die Reihe getroffen werden. Wie man an der alternierenden Leibnizreihe sieht, folgt aus der Konvergenz nicht die absolute Konvergenz. Ist eine Reihe absolut onvergent, so erfüllt sie natürlich das Majorantenriterium ( mit f ), und umgeehrt. b

2 Beispiel : Reziproe Quadratsummen Eine absolut onvergente Reihe, die das Wurzelriterium und damit auch das Quotientenriterium nicht erfüllt, ist mit dem mysteriösen Grenzwert π 6. Der Beweis dieser überraschenden Gleichung erfordert schon sehr viel höhere Mathemati! Hingegen ist die Konvergenz der Reihe mit Hilfe des Majorantenriteriums leicht zu sehen: Für b und b ( ), falls > gilt n n b sowie b + + n, also b. f + Wegen f + ist das Quotientenriterium verletzt, obwohl die einzelnen Quotienten alle leiner als sind. Auch das Wurzelriterium ist nicht erfüllt, denn es gilt x 0 ( x x ) ( x x ), x 0 wie wir in Abschnitt 7.8 zeigen werden. Wir lassen MAPLE für m,..., 0 die Partialsummen s m berechnen und zusammen mit einer Geraden in Höhe π /6 in ein Diagramm eintragen: s m m s , s , s , s π

3 Potenzreihen sind eines der wichtigsten Werzeuge der Ingenieurmathemati. Es handelt sich um die zu Potenzfolgen ( c n x n ) gehörigen Reihen c x c 0 + c x + c x +... Hier önnen die Koeffizienten c reell oder omplex sein. Der Konvergenzbereich ist die Menge aller x, für welche die Reihe gegen einen endlichen Wert onvergiert. Der Konvergenzradius ist die leinste obere Schrane r aller reellen Zahlen x, für welche die Reihe c gegen einen endlichen Wert onvergiert. x Durch Vergleich mit geometrischen Reihen sieht man: Für alle x mit x < r ist die Reihe absolut onvergent. Für alle x mit x > r divergiert sie oder onvergiert gegen. Für x r ann alles Mögliche passieren. Die Bezeichnung "Konvergenzradius" weist darauf hin, daß für den Fall 0 < r < der Konvergenzbereich im Komplexen eine Kreisscheibe vom Radius r ist, wobei Teile des Randes dazugehören önnen, aber nicht müssen. Es ann aber auch der Konvergenzradius r 0 (Punt) oder r (ganze Gerade bzw. Ebene) vorommen. Im Reellen ist der Konvergenzbereich stets ein (möglicherweise unendlich langes) Intervall der Breite r. Beispiel : Die geometrische Reihe ( c x ) hat den Konvergenzradius c Kein Randpunt des Kreises mit Radius r ( 0 < c < ) und onvergiert für c x < c gegen c x. gehört zum Konvergenzbereich. Bild für c :

4 Durch das Wurzel- bzw. Quotientenriterium erhält man die Formeln für den Konvergenzradius Falls einer der Grenzwerte c oder c c + existiert (eventuell ist), so stimmt er mit dem Konvergenzradius überein. Beispiel 3: Die Exponentialreihe x! hat den Konvergenzradius, onvergiert also überall (absolut). Denn es ist ( + )! +.! Die Konvergenz dieser Reihe ist für leine x sehr gut. Denn wie wir früher sahen, beträgt die Differenz zwischen der Approximation (Partialsumme) n x! für n > x weniger als und dem exaten Wert der Exponentialfuntion! x n n!, und diese Schrane wird bei wachsendem n schnell lein. Beispiel 4: Eine nur im Nullpunt onvergente Potenzreihe Die Potenzreihe ( x ) mit c hat wegen c + ( + ) c + ( + ) x e x den Konvergenzradius während die Potenzreihe ( x )! c + c c c + mit c! 0, wegen ( + ) ( + )! ( + )! + e den Konvergenzradius c c + e hat. Die Partialsummen sehen ähnlich wie in Beispiel 3 aus:

5 Das Quotientenriterium ist häufig bequemer als das Wurzelriterium, da -te Wurzeln rechnerisch mühsam zu behandeln sind. Allerdings versagt das Quotientenriterium bei einigen Reihen, deren Konvergenz sich mit Hilfe des Wurzelriteriums feststellen läßt. Beispiel 5: Anwendung des Wurzelriteriums Wir betrachten die Potenzreihe c x x + x + x x 4 + x 5... mit c für gerade und c für ungerade. c m x Hier geht c m m x für x Das Wurzelriterium ist jedoch wegen x x 0+ x 0 gegen, also ist das Quotientenriterium verletzt. x 0+ x x erfüllt, und die Potenzreihe hat den Konvergenzradius. Den Grenzwert der Reihe bestimmt man, indem man die Folgenglieder mit ungeraden bzw. geraden Indizes separat aufaddiert (das ist bei Potenzreihen im Inneren des Konvergenzbereichs erlaubt). c x m x ( m) + x ( m + ) m 0 m 0 x x + ( x ) x x + x x 3. ( x )

6 Zur Berechnung des ersten Summanden haben wir die geometrische Reihe x m 0 x ( m ) einmal mit der Kettenregel und einmal gliedweise differenziert (siehe Differentiationsregel nach Beispiel 7): x m x ( m ). ( x ) m 0 Die Konvergenz der Reihe c x ist sehr schnell, wie das Diagramm der ersten 0 Partialsummen für x und ihres Grenzwertes 4 9 zeigt: s , s , s , s Und hier die ersten Approximationen der gesamten Grenzfuntion f( x) x + x x 3 c ( x ) x :

7 Aufgrund der Rechenregeln für Grenzwerte gelten folgende Regeln für Potenzreihen Man darf Potenzreihen gliedweise addieren und subtrahieren. Man ann sie auch miteinander multiplizieren (aber nicht gliedweise!), durcheinander dividieren, und sogar ineinander einsetzen. Dabei ann sich allerdings der Konvergenzbereich verändern. Beispiel 6: Summen von Exponentialfuntionen Aus den Reihendarstellungen der Exponentialfuntionen e x x! und e ( x) ( x ) gewinnt man durch gliedweise Subtration bzw. Addition die Reihenentwiclung des Sinus hyperbolicus sinh( x ) e x e ( x) und des Cosinus hyperbolicus cosh( x) e x + e ( x )! x ( + ) ( + )! x ( ) ( )!.

8 Anmerung: Hier ist wie bei vielen anderen Potenzreihen jeder zweite Summand gleich 0. Wurzel- und Quotientenriterium und damit die Formeln für den Konvergenzradius würden also eigentlich versagen. Indem man x für y in Reihen der Form c y substituiert und den Konvergenzradius für letztere ausrechnet, ommt man aber auch hier zum Ziel. Zum Beispiel hat die Sinusreihe x ( + ) ( + )! ( + 3 )!. ( + )! x y ( + )! mit y x den Konvergenzradius Beispiel 7: Reihenentwiclungen für trigonometrische Funtionen Die Euler-DeMoivre-Laplacesche Formel e ( i x ) + cos( x ) i sin( x ) bedeutet in Potenzreihendarstellung (nach Trennung von Real- und Imaginärteil) ( i x )! ( ) m x ( m ) ( m)! m 0 + i ( ) m x ( m + ), ( m + )! m 0 wobei wir benutzt haben, daß i ( m ) ( ) m und i ( m + ) i ( ) m gilt. Also erhalten wir als Reihenentwiclungen für Cosinus und Sinus: cos( x) sin( x ) ( ) x ( ) ( )! ( ) x ( + ) m 0 ( + )! x 4 + 4! x x 3 x 5 x + 3! 5! x 6 6!... x 7 7!... im Einlang mit den früher berechneten Taylorpolynomen. Die Potenzreihe des Tangens ist erheblich omplizierter als die Reihen für Sinus und Cosinus. Sie entsteht durch Quotientenbildung der entsprechenden Partialsummen unter Ausnutzung der Tatsache, daß tan( x) tan( x ) gilt und deshalb die Tangensreihe ebenso wie die Sinusreihe nur ungerade Glieder hat: tan( x ) cos( x ) sin( x ) tan( x ) c x ( + ) ( c x + c 3 x 3 + c 5 x 5 + c 7 x )( + 4 Ausmultiplizieren und Koeffizientenvergleich ergibt: x x 4 x ) x x 3 + x x

9 c c c 3 c 3 c 5 + 6, c 3 c 4 c 3 3, 0, c 5 c 5, c 5 c , c ,... sin( x ) x 3 x 5 tan( x ) x + + cos( x ) x Differentiationsregel Potenzreihen darf man im Inneren des Konvergenzbereichs gliedweise differenzieren. Genauer gilt: Eine Potenzreihe f( x) c x mit dem Konvergenzradius r ist für alle x mit x < f ( x) c + ( + ) x hat den gleichen Konvergenzradius r. r differenzierbar, und die Ableitung

10 Man sieht an dieser Formel sofort, daß die e-funtion mit ihrer eigenen Ableitung übereinstimmt, und daß umgeehrt eine Funtion mit dieser Eigenschaft ein Vielfaches der e-funtion sein muß, denn aus c + ( + ) c folgt indutiv c 0 c!. Analog führt gliedweises Differenzieren der Reihen in Beispiel 7 auf die gängigen Formeln sin( x ) cos( x ), cos( x ) sin( x ). Beispiel 8: Reihenentwiclungen für Logarithmen Die Potenzreihe ( x) x x 3 x hat wegen den Konvergenzradius, ist also für x < sicher onvergent. Gliedweises Differenzieren führt auf die geometrische Reihe ( ) x ( ) ( x ) + x ln ( + x ) ', so daß die Ausgangsreihe für x < die Funtion ln ( + x ) darstellt. (Wegen ln ( + 0) 0 muß das onstante Glied gleich 0 sein). Damit erhalten wir die für theoretische Zwece wichtige Reihenentwiclung der Logarithmusfuntion ln ( + x ) ( x ) für x <. Wegen der Stetigeit des Logarithmus gilt diese Entwiclung auch noch für x ln( ) ( ) , also In der Praxis onvergieren diese Reihen aber für x nahe bei viel zu langsam. Aufgrund des Leibnizriteriums gilt zwar die Abschätzung ln( ) + n ( ) < n + aber man bräuchte mehr als 000 Summanden, um ln() auf 3 Stellen genau zu berechnen: 000 (- ) ln( )

11 Erheblich schneller onvergiert die Potenzreihe + x ( + ) x x 3 x 5 ln ln ( + x ) ln ( x ) x x die außerdem den Vorteil hat, daß Die Funtion ln ( + ) + x x für x < jeden Wert zwischen 0 und annimmt. ln x und einige Approximationen: x ( ) Wie sich die Bilder in den Beispielen 7 (Tangens!) und 8 scheinbar gleichen! Aber Steigung im Nullpunt und Asymptoten sind verschieden! Mit x erhalten wir pro Summand etwa eine neue Dezimalstelle für 3 ln( ) ln + ln 3 3. n, n, n 3, n 4, n 5, n 6, n 7, n 8, n 9,

12 Beispiel 9: Die Reihenentwiclung für den Arcustangens ist erstaunlicherweise ganz einfach: Indem man in der geometrischen Reihe arctan(x)' + x beachtet, daß x ( ) die Ableitung von ( ) x ( ) x ( + ) + ist, erhält man mit der Regel der gliedweisen Differentiation arctan( x) ( ) x ( + ) + x 3 x 5 x 7 x Diese Reihe onvergiert nach dem Leibnizriterium jedenfalls für all positiven x. Somit bestätigt sich: π arctan( ) Wir zeichnen die ersten sieben Partialsummen der Reihenentwiclung: Offensichtlich ist die Reihenapproximation für der Arcustangens nur zwischen - und gut. Viel schneller onvergierende Reihenentwiclungen für π 4 Additionstheorems x + y arctan( x ) + arctan( y) arctan x y. beommt man unter Ausnutzung des Mit dieser Formel und der obigen Reihenentwiclung des Arcustangens berechnete der Astronom John Machin schon im 8. Jahrhundert π auf 00 Dezimalstellen genau.

13 π \ MAPLE schafft spielend ein paar tausend Stellen! Hier die ersten tausend: π \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ Die verallgemeinerten Binomialoeffizienten B ( q, ) j q j + j q ( q )... ( q + ) /! q (sprich: q über ) sind für beliebige reelle q definiert. Speziell ist B ( q, 0 ) und B ( n, ) 0 für natürliche n <. Aus der Reursionsformel B ( q, + ) B (, ) q ( q ) + folgern wir, daß die Potenzreihe g( x ) B ( q, ) x den Konvergenzradius hat: B ( q, + ) B ( q, ) Wir dürfen sie also für x < g ( x ) B (, ) q + - q + +. gliedweise differenzieren und beommen q x ( ) q g( x) x g ( x ). ( + ) B ( q, + ) x ( q ) B (, ) q x

14 Jetzt bilden wir die Ableitung von h( x ) g( x ) ( + x ) ( ) h ( x ) g ( x ) ( + x ) ( q ) g( x ) q ( + x ) ( q ) ( g ( x) + x g ( x) q g( x ) ) ( + x ) ( q ) 0. Wegen des Mittelwertsatzes und h( 0 ) g( 0 ) B ( q, 0 ) muß h( x ) onstant gleich sein. Das bedeutet g( x ) ( + x ) q, und wir haben die Reihenentwiclung für allgemeine Potenzen ( + x) q B ( q, ) x ( x < ). q : Für natürliche q ist das die Binomialformel (wegen B ( q, ) 0 für > q). Für q und q erhalten wir die Darstellungen + x B, x und + x x B, ( ) x und x Explitit lauten die ersten Glieder der vier Reihen: x + x B, x B, ( x ) x x 6 x3 8 x4 56 x5 O( x 6 ) x x 6 x3 8 x4 56 x5 O( x 6 ) x + x x 6 x3 8 x4 56 x5 O( x 6 ) + x x x 6 x3 8 x4 56 x5 O( x 6 ) Verschobene Potenzreihen und Taylorreihen Indem man die Variable x um einen festen Wert a verschiebt, beommt man Potenzreihen f ( x ) a mit dem Entwicungspunt a. Alle vorangegangenen Überlegungen gelten dann sinngemäß immer noch - allerdings ist der Konvergenzbereich jetzt ein Intervall oder eine Kreisscheibe mit Mittelpunt a statt 0. Die Grenzfuntion f( x) f ( x ) a ist beliebig oft differenzierbar, und die Koeffizienten sind die der Taylor-Entwiclung:

15 D f( a) f.! Man nennt daher die Potenzreihe T a f( x) D f( a ) ( x )! a die Taylorreihe der Funtion f mit dem Entwiclungspunt a. Es ist dann also innerhalb des Konvergenzbereichs T, a f( x) D f( a ) ( x )! a f( x ). Anhang: Existenz der Entwiclung in Potenzreihen Falls eine Funtion in einem Gebiet beliebig oft differenzierbar ist, ann sie dann in eine Potenzreihe entwicelt werden? Leider nicht immer! Wenn allerdings alle Ableitungen im Konvergenzbereich durch eine gemeinsame Konstante beschränt sind (wie z.b. bei Sinus und Cosinus), dann wird die Funtion durch ihre Taylorreihe dargestellt. Beispiel 0: Flache und steile Ableitungen Die durch f( 0) f( x) e ( ) 0 ergänzte Funtion x( ) ist beliebig oft differenzierbar. Es geht los mit f ( x) f( x ), f ( x) x x 4 Die Funtion und die ersten Ableitungen im Bilde: f( x ), f ( x ) x 6 + f( x )... x 5 x 7 x 9 Durch Indution nach findet man Polynome p ( x ) vom Grad 3 mit D f( x ) p f( x ), insbesondere D f( 0 ) x x 0 D f( x ) 0. Folglich ist überraschenderweise jedes Taylorpolynom die Nullfuntion, und damit ann ( ) f x sicher nicht als Grenzfuntion dieser Taylorpolynome herausommen.