5 Funktionen und Stetigkeit

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1 5 Funktionen und Stetigkeit 5. Beispiele von Funktionen Für eine Menge D Ê bezeichnen wir die Abbildungen f : D Ê als Funktionen. D heißt Definitionsbereich, R(f) = f(d) = {y = f() für ein D} heißt Wertebereich der Funktion f. Gilt f() = 0, so heißt Nullstelle von f. In den meisten Fällen ist D ein Intervall oder die Vereinigung von Intervallen. Seien a n,a n,...,a,a 0 reelle Zahlen. Dann heißt p() = a n n +a n n +...+a +a 0 Polynom. Ist a n 0, so heißt n der Grad von p und wir schreiben gradp = n. Ein Polynom ist für jedes Ê definiert. Sind p() und q() Polynome, so heißt r() = q() p() rationale Funktion. Eine rationale Funktion ist außerhalb der Nullstellen des Nennerpolynoms p() definiert. Eine Funktion, die sich aus Wurzelausdrücken und rationalen Funktionen zusammensetzt, heißt algebraische Funktion. Ein Beispiel für eine algebraische Funktion ist f() = 2. Beim Definitionsbereich algebraischer Funktionen ist zu beachten, dass Wurzeln nur aus nichtnegativen Zahlen gezogen werden. In unserem Beispiel ist daher D = [,]. Seien I,...,I n disjunkte Intervalle und D = I k. Eine Funktion f : D Ê mit f konstant auf jedem I k heißt stückweise konstante Funktion. 5.2 Grenzwerte von Funktionen Wir hatten bereits Häufungspunkte von Zahlenfolgen definiert. a hieß Häufungspunkt der Folge (a n ), wenn in jeder Umgebung von a unendlich viele Folgenglieder liegen. Diesen Begriff können wir auch auf Mengen reeller Zahlen übertragen. Ist A Ê, so heißt a Ê Häufungspunkt von A, wenn in jeder ε-umgebung B ε (a) = (a ε,a+ε) unendlich viele Punkte von A liegen. Sei ξ Häufungspunkt des Definitionsbereichs D der Funktion f. Wir sagen, f konvergiert gegen a für ξ, lim f() = a oder f() a für ξ, ξ wenn für alle Folgen ( n ) mit n ξ und n ξ gilt f( n ) a. Die Definition wird sinngemäß auch für die Werte ξ = ± verwendet: Wir schreiben lim f() = a, wenn für jede Folge ( n ), die bestimmt gegen divergiert, gilt limf( n ) = a. Beispiel Für f() = + gilt lim 0f() = 0 und lim f() =. 5.3 Stetigkeit von Funktionen Sei f : D Ê eine Funktion. Die Funktion f heißt stetig in ξ D, wenn für jede Folge ( n ) mit n ξ gilt f( n ) f(ξ). f heißt stetig in D, wenn f in jedem Punkt von D stetig ist. Ist ξ D Häufungspunkt von D, so ist die Stetigkeit von f äquivalent dazu, dass der Grenzwert lim ξ f() eistiert und mit f(ξ) übereinstimmt. Anschaulich kommen die Werte von f() dem Wert f(ξ) immer näher, wenn dem Punkt ξ immer näher kommt. Diese Vorstellung lässt sich präzise fassen. Satz Die Funktion f ist genau dann stetig in ξ D, wenn es zu jedem ε > 0 ein δ > 0 gibt, so dass für alle D mit ξ < δ folgt f() f(ξ) < ε. 3

2 Beweis: Sei f stetig in ξ. Angenommen, die Bedingung des Satzes ist nicht erfüllt. Dann gibt es ein ε > 0, so dass für alle δ > 0 ein δ D eistiert mit δ ξ < δ und f( δ ) f(ξ) ε. Speziell können wir hier δ = n wählen und δ n nennen. Dann gilt n ξ, aber f( n ) f(ξ). Widerspruch! Nun zeigen wir die umgekehrte Richtung. Sei ( n ) eine Folge mit n ξ. Zu vorgegebenem ε > 0 gibt es ein δ > 0,sodass ξ < δ gerade f() f(ξ) < εimpliziert. Wegen n ξ gibt es ein N Æ mit n ξ < δ für alle n N, daher f( n ) f(ξ) < ε. Damit ist f( n ) f(ξ) erfüllt. f( ξ) [ f ( ξ - δ ), f ( ξ + δ ) ] Beispiele (i) Jede konstante Funktion ist stetig, denn wenn f() = a für alle D, so folgt aus n ξ, dass a = f( n ) = f(ξ). ξ. (ii) Die Funktion f() = ist stetig, denn wenn n ξ, so trivialerweise n = f( n ) f(ξ) = (iii) Der Absolutbetrag f() = ist stetig. Er stimmt für 0 mit oder überein. Beide Funktionen sind nach (ii) stetig. Für ξ = 0 ist der Nachweis der Stetigkeit auch kein Problem: Ist n 0, so auch n 0. (iv)diesignum-funktionistimpunkt0unstetig.fürfolgen( n )mit n ր 0folgtf( n ) und für Folgen mit n ց 0 gilt f( n ). Dagegen ist f(0) = 0. Dieses Argument kann auf alle Funktionen mit einer Sprungstelle wie etwa stückweise konstante Funktionen übertragen werden. (v) Die Dirichlet-Funktion f : [0,] Ê mit { für rational f() = 0 für irrational ist in jedem Punkt unstetig. Denn ist ξ irrational, so gibt es nach Satz 4.5 eine Folge rationaler Zahlen ( n ) mit n ξ und daher = f( n ) f(ξ) = 0. Ist ξ dagegen rational, so ist beispielsweise n = ξ + 2/n irrational mit n ξ und es folgt 0 = f( n ) f(ξ) =. (vi) Die Funktion f : (0,] Ê mit { 0 für irrational f() = k für = k l mit k,l Æ teilerfremd ist in jedem rationalen Punkt unstetig. Denn wie in (v) gezeigt wurde, gibt es zu jeder rationalen Zahl ξ eine Folge von Irrationalzahlen ( n ) mit n ξ, aber 0 = f( n ) f(ξ) > 0. Ist ξ irrational, so brauchen wir nur eine Folge rationaler Zahlen n = kn l n zu betrachten mit n ξ. Da es nur endlich viele Zahlen der Form k l mit k,l K gibt, muss zwangsläufig k n bestimmt gegen unendlich divergieren. Daher ist f in jedem irrationalen Punkt stetig. Anschaulich bedeutet die Stetigkeit einer Funktion, dass man ihren Graphen in einem Zug, ohne abzusetzen, zeichnen kann. Gilt für eine in ξ stetige Funktion f, dass f(ξ) > 0, so gibt es eine Umgebung B ε (ξ) = (ξ ε,ξ + ε) mit f() > 0 für alle B ε (ξ). Dies ist anschaulich klar, lässt sich aber auch leicht indirekt beweisen. Denn andernfalls gäbe es in jedem B /n (ξ) ein n mit f( n ) 0. Diese n bilden eine Folge mit n ξ und f( n ) f(ξ) > 0, was einen Widerspruch bedeutet. Wir nennen eine Funktion von rechts stetig, wenn die Einschränkung von f auf die Menge D + = { D : ξ} f ( ξ) ξ δ ξ ξ ξ+δ 32

3 in ξ stetig ist. In diesem Fall schreiben wir f(ξ+) = f(ξ +0) = lim f() = lim f(). ξ+ ցξ Die Stetigkeit von links wird ganz analog definiert und bezeichnet. Beispiel Die Funktion f() = [] =größte ganze Zahl ist für jedes p unstetig, wegen f(p+) = p ist sie in jedem Punkt von rechts stetig. 5.4 Stetigkeit und arithmetische Operationen Satz Sind f, g : D Ê stetig und sind α,β Ê,sosindauchαf+βg,fg und,soferng 0inD,auchf/g stetig.istf aufdembildbereich von g definiert und stetig, so ist auch die Komposition f g() = f(g()) stetig. Beweis: Ist n ξ, so gilt f( n ) f(ξ), g( n ) g(ξ). Aus den Regeln für die Konvergenz von Zahlenfolgen in Satz 3.4 folgt dann, dass auch αf( n )+βg( n ) αf(ξ) +βg(ξ), f( n )g( n ) f(ξ)g(ξ), f( n )/g( n ) f(ξ)/g(ξ). Ist f auf dem Bildbereich von g stetig, so folgt aus n ξ, dass g( n ) g(ξ). Für die Folge (g( n )) können wir die Stetigkeit von f im Punkt g(ξ) verwenden und erhalten f(g( n )) f(g(ξ)). Nach obigem Beispiel sind die Funktionen und stetig. Wenden wir auf diese Satz 5.4 an, so erhalten wir, dass alle Polynome und in ihrem Definitionsbereich auch alle rationalen Funktionen stetig sind. 5.5 Gleichmäßige Stetigkeit Eine Funktion f : D Ê heißt gleichmäßig stetig in D, wenn es zu jedem ε > 0 ein δ > 0 gibt mit f() f(y) < ε für alle,y D mit y < δ. Für festes liefert diese Definition genau die Stetigkeit von f in. Aus der gleichmäßigen Stetigkeit folgt also die Stetigkeit von f in D. Die Bedingung der gleichmäßigen Stetigkeit ist aber stärker als die Stetigkeit von f in D, weil das zu findende δ > 0 bei der gleichmäßigen Stetigkeit nicht von und y abhängen darf. Wir können das auch formal darstellen: f stetig in D ε > 0 δ > 0 y ( y < δ f() f(y) < ε ) f gleichmäßig stetig in D ε > 0 δ > 0,y ( y < δ f() f(y) < ε ) Beispiel Sei f : (0,] Ê folgendermaßen definiert. Wir verbinden für jedes k Æ die Punkte ( 2k,0) und ( 2k,) durch eine Strecke und die Punkte ( 2k,) und ( 2k+,0) ebenfalls durch eine Strecke. Wir erhalten den nebenstehenden Graphen. f ist offenbar stetig, aber wir müssen das δ immer kleiner wählen, je näher wir mit dem zur 0 kommen. f ist also nicht gleichmäßig stetig in D. Es ist keine Zufall, dass im obigen Beispiel das Definitionsintervall nach links offen war: Satz Eine auf einem beschränkten und abgeschlossenen Intervall definierte stetige Funktion ist dort gleichmäßig stetig. Beweis: Angenommen, eine stetige Funktin f ist auf dem beschränkten und abgeschlossenen IntervallD stetig,abernichtgleichmäßigstetig.esgibtdanneinε 0 > 0,fürdaswirkeinzugehöriges δ > 0 finden können. Zu jedem δ n = n gibt es also Punkte n,y n D mit n y n < /n und f( n ) f(y n ) ε 0. Nach dem Satz von Bolzano-Weierstraß gibt es eine in D konvergente Teilfolge 33

4 von ( n ), die wir der Einfachheit halber wieder mit ( n ) bezeichnen. Es gilt also n ξ und wegen n y n < /n auch y n ξ. Wegen der Stetigkeit der Funktion f in ξ folgt f( n ) f(y n ) 0, was einen Widerspruch ergibt. 5.6 Der Zwischenwertsatz Satz Ist f : [a,b] Ê stetig, so gibt es zu jedem y im Intervall zwischen f(a) und f(b) mindestens ein ξ [a,b] mit f(ξ) = y. Beweis: Wir können uns auf den Fall f(a) < y < f(b) beschränken. Die Menge M = { [a,b] : f() y} ist nichtleer und nach oben beschränkt. Sie besitzt daher ein Supremum ξ. Wir zeigen, dass f(ξ) = y. Da ξ die kleinste obere Schranke von M ist, gibt es eine Folge ( n ) in M mit n ξ. Da f stetig, gilt f( n ) f(ξ). Wegen f( n ) y folgt f(ξ) y. Sei nun ( n ) eine Folge im Intervall [ξ,b] mit n ξ, für die aufgrund der Definition von M und ξ f( n ) y gilt. Wegen der Stetigkeit von f folgt f( n ) f(ξ) y. Damit ist f(ξ) = y gezeigt. Als Anwendung dieses Satzes beweisen wir: Jedes Polynom ungeraden Grades besitzt mindestens eine Nullstelle. Wir können den führenden Koeffizienten des Polynoms zu normieren und haben f (b) f (a) p() = n +q(), q() = a n n +...+a +a 0. Mit r = + a n a + a 0 folgt dann q(±r) a n r n a r + a 0 ( a n a + a 0 )r n = (r )r n < r n. Es folgt p(r) r n q(r) > 0 und, da n als ungerade vorausgesetzt wurde, p( r) r n + q( r) < 0. Nach dem Zwischenwertsatz besitzt p daher eine Nullstelle in [ r, r]. a b 5.7 Monotone Funktionen und Stetigkeit der Umkehrfunktion f : D Ê heißt monoton wachsend, wenn für alle,y D (5.) y f() f(y). f heißt streng monoton wachsend, wenn in (5.) ersetzt werden kann durch <. Die Begriffe monoton fallend und streng monoton fallend sind analog definiert. Satz Ist f[a,b] Ê streng monoton wachsend und stetig mit f(a) = α, f(b) = β, so ist auch die Umkehrfunktion f : [α,β] [a,b] mit f (f()) = für alle [a,b] streng monoton wachsend und stetig. Beweis: Da f streng monoton wachsend ist, ist f injektiv. Ferner folgt aus dem Zwischenwertsatz 5.6, dass die Umkehrfunktion im angegebenen Bereich eistiert. In die Beziehung < 2 f( ) < f( 2 ) 34

5 setzen wir = f (y ), 2 = f (y 2 ) ein und erhalten, dass auch f streng monoton wachsend ist. Nun zeigen wir die Stetigkeit von f. Sei zunächst η = f(ξ) ein Punkt aus dem offenen Intervall (α, β). Aufgrund der strengen Monotonie von f ist dann ξ (a,b). Für genügend kleines ε sind auch = ξ ε, 2 = ξ +ε (a,b). Für y = f( ), y 2 = f( 2 ) gilt y < η < y 2. Daher gibt es ein δ > 0 mit also y < η δ < η < η +δ < y 2, y η < δ f (y) ξ < ε. y2 η y y ξ 2 Damit ist f stetig in eta. Ist η ein Randpunkt, kann man mit halbseitigen Umgebungen entsprechend verfahren. Die Funktion f() = n : [0,a] [0,a n ] ist für jedes a > 0 zwischen den angegebenen Bereichen bijektiv,stetigundstrengmonotonwachsend.dieumkehrfunktionf (y) = n y istdamitebenfalls stetig. Ferner sind alle algebraischen Funktionen als Kompositionen von Wurzel- und rationalen Funktionen mit Satz 5.4 in ihrem Definitionsbereich stetig. 5.8 Stetiges Bild eines beschränkten und abgeschlossenen Intervalls Satz [Weierstraß] Das stetige Bild eines beschränkten und abgeschlossenen Intervalls ist wieder ein beschränktes und abgeschlossenes Intervall, insbesondere nimmt jede stetige Funktion f auf einem beschränkten und abgeschlossenen Intervall [a,b] Maimum und Minimum an, es gibt also ξ,ξ 2 [a,b] mit f(ξ ) f() f(ξ 2 ) für alle [a,b]. Beweis: Sei d = infr(f), wobei d = gesetzt wird, falls die Bildmenge nach unten unbeschränkt ist. Nach Definition des Infimums gibt es eine Folge ( n ) mit f( n ) d. Im Falle d = ist damit gemeint, dass die Folge nach bestimmt divergiert. Nach dem Satz von Bolzano-Weierstraß 3.8 gibt es eine Teilfolge ( nk ), die gegen ein ξ [a,b] konvergiert. Da f stetig ist, gilt d = limf( nk ) = f(ξ ). Damit ist d endlich und ξ das gesuchte Minimum. Da die Eistenz des Maimums genauso bewiesen wird, können wir auf das Intervall [ξ,ξ 2 ] den Zwischenwertsatz anwenden. Damit ist das Bild von f das ganze Intervall [f(ξ ),f(ξ 2 )]. Die Beispiele f() = für (0,] und f() = für Ê zeigen, dass an der Voraussetzung, dass das zugrunde liegende Intervall abgeschlossen und beschränkt sein muss, nicht gerüttelt werden darf. 5.9 Punktweise und gleichmäßige Konvergenz von Funktionenfolgen Seien f n : D Ê. Wir sagen, die Folge (f n ) konvergiert punktweise gegen f : D Ê, wenn für alle D gilt f n () f(). Die Folge (f n ) konvergiert gleichmäßig gegen f, wenn es zu jedem ε > 0 eine N Æ gibt mit f n () f() < ε für alle n N und für alle D. Wir können die punktweise Konvergenz auch mit Hilfe von ε und N definieren: f n f punktweise ist genau dann erfüllt, wenn f es für alle D und alle ε > 0 ein N Æ gibt, das von ε und abhängen darf, mit f n () f() < ε. In der gleichmäßigen Konvergenz darf das N dagegen nicht von abhängen. Wir können uns die gleichmäßige Konvergenz daher so vorstellen, dass wir um f einen ε-schlauch legen, in dem alle bis auf endlich viele f n liegen müssen. Beispiel Sei D = [0,] und f n () = n. Für 0 < gilt n 0. Der punktweise Limes der 35

6 Folge ist daher die Funktion f mit f() = 0 für 0 < und f() =. Diese Konvergenz ist jedoch nicht gleichmäßig, denn wenn um die Grenzfunktion ein ε-schlauch mit ε 2 gelegt wird, so liegt kein f n komplett in diesem Schlauch. Satz Der gleichmäßige Limes stetiger Funktionen ist stetig. Beweis: Sei ξ D und ε > 0. Es gibt ein n Æ mit f n () f() < ε/3 für alle D. Da dieses f n stetig ist, gibt es zu ε/3 ein δ > 0 mit f n (ξ) f n () < ε/3 für alle D mit ξ < δ. Für diese folgt Damit ist f im Punkt ξ stetig. f(ξ) f() f(ξ) f n (ξ) + f n (ξ) f n () + f n () f() < ε/3+ε/3+ε/3 = ε. 5.0 Anwendung der Stetigkeit auf die Konvergenz von Zahlenfolgen Wir können stetige Funktionen als konvergenzerhaltende Abbildungen ansehen, denn aus n ξ folgt f( n ) f(ξ). Wir gewinnen dadurch neue Sätze über die Konvergenz von Zahlenfolgen. Ist beispielsweise a n a und a n 0, so gilt k a n k a. Hat man für die rekursiv definierte Folge (5.2) a n+ = f(a n ), a 0 Ê vorgegeben, bewiesen, dass (a n ) konvergiert und ist die Funktion f stetig, so kann man auf beiden Seiten von (5.2) zum Grenzwert übergehen und erhält a = f(a), der Grenzwert ist also immer ein Fipunkt von f. Beispiel Wir hatten in einem früheren Beispiel bereits bewiesen, dass die rekursiv definierte Folge a n+ = 6+a n, a 0 = 0, durch 3 beschränkt und streng monoton wachsend, mithin konvergent ist. Der Grenzwert a 0 genügt daher der Gleichung a = 6+a oder 0 = a 2 a 6 = (a+2)(a 3). Wegen a 0 folgt a = Potenzreihen Die wichtigsten Reihen der Analysis sind die Potenzreihen (5.3) p() = a n n = a 0 +a +a , a n Ê. Da eine Potenzreihe für jedes Ê eine Reihe ist, übertragen sich die Begriffe Konvergenz und absolute Konvergenz. Da die Konvergenz einer Reihe auf die Konvergenz der Partialsummen zurückgeführt wird, übernehmen wir auch den Begriff der gleichmäßigen Konvergenz aus dem letzten Abschnitt. Wir erinnern daran, dass wir mit limsupa n den größten Häufungspunkt der Folge (a n ) bezeichnet haben. Ist die Folge nach oben beschränkt, so eistiert der Limes Superior nach dem Satz von Bolzano-Weierstraß 3.8. Ist die Folge nach oben unbeschränkt, so schreiben wir limsupa n =. Satz Sei L = limsup n n an und R = L, wobei /0 als R = und / als R = 0 interpretiert wird. Dann ist die Reihe (5.3) für < R absolut konvergent und für > R divergent. Die Reihe konvergiert gleichmäßig in jedem Intervall r mit r < R. Über die Konvergenz für = R lässt sich keine allgemeine Ausage machen. 36

7 Eistiert der Grenzwert so gilt L = Q. Q = lim n a n+, a n Bemerkung Nach Satz 5.9 ist p() stetig für r. Da r < R beliebig gewählt werden kann, ist p() für alle < R stetig. Beweis: Sei zunächst 0 < L <. Für die Konstante L des Wurzelkriteriums gilt dann { L = limsup n a n n = limsup n <, falls < /L a n >, falls > /L. In beiden Fällen folgt Konvergenz oder Divergenz aus dem Wurzelkriterium. Ist L = 0, so ist das Wurzelkriterium für alle erfüllt. Für L = liegt nur Konvergenz im Punkt 0 vor. Für r < R lässt sich die Potenzreihe unabhängig von durch die geometrische Reihe abschätzen. Damit ist die Konvergenz gleichmäßig. Den zweiten Teil des Satzes beweist man genauso mit Hilfe des Quotientenkriteriums an Stelle des Wurzelkriteriums. Beispiele (i) Nach (3.3) gilt für jedes m n n m. Die Potenzreihen n m n haben daher alle den gleichen Konvergenzradius R =. Für m = 0 erhalten wir die geometrische Reihe, die für = ± divergent ist. Für m = ist für = die harmonische Reihe divergent, für = erhalten wir die konvergente alternierende harmonische Reihe. Über das Konvergenzverhalten am Rande lässt sich also in der Tat keine allgemeine Aussage machen. (ii) Für die Reihe n! n folgt mit dem Wurzelkriterium a n+ /a n = n+. Der Konvergenzradius ist daher R = Das Cauchy-Produkt von Potenzreihen Das Produkt zweier Potenzreihen ergibt sich dadurch, dass man jedes Glied der einen Reihe mit jedem Glied der anderen Reihe multipliziert und das Ergebnis nach Potenzen ordnet. Satz Sind die Potenzreihen f() = a n n und g() = b n n für < R konvergent, so ist auch das Produkt f()g() = c n n, c n = a 0 b n +a b n +...+a n b +a n b 0, mindestens im Bereich < R konvergent. Auf den etwas technischen Beweis soll verzichtet werden. 5.3 Die Eponentialfunktion Die Eponentialfunktion wird durch die Potenzreihe n 2 ep() = = ++ n! 2! + 3 3! +... e dargestellt. Speziell bezeichnen wir e = ep() = n! als Eulersche Zahl. Mit a n = - n! folgt a n+ = Die Eponentialfunktion a n n+ und nach dem Quotientenkriterium in Satz 4.4 konvergiert die Reihe auf ganz Ê und stellt dort 37

8 eine stetige Funktion dar. Eine alternative Darstellung der Eponentialfunktion und der Eulerschen Zahl ist gegeben durch ( (5.4) ep() = lim + n. n n) Dies folgt mit Hilfe der binomischen Formel und wegen ( n k ( + ) n n ( n ) k = n k n k k=0 ) n k = n(n )...(n k +) = ( )( 2 ) (... k ) k! n n...n k! n n n gilt ( n k ) n k k!, ( n k ) n k k! für n. Historisch ( trat die Eulersche Zahl zuerst im Zusammenhang mit der Definition e = lim n + n n) auf. Verzinsen wir einen Geldbetrag der Größe in einem Jahr mit einem Zinssatz von 00%, so erhalten wir nach einem Jahr den Betrag 2. Erfolgt die Zinszahlung bei gleichem Zinssatz auch zwischenzeitlich, so verzinst sich das Kapital durch den Zinseszinseffekt besser. Bei monatlicherzinszahlungbekommenwir(+ 2 )2 = 2,63...MachenwirdieZeiträumederVerzinsung kürzer und kürzer, so erhalten wir bei kontinuierlicher Verzinsung e = am Jahresende. Satz Die Eponentialfunktion ep : Ê Ê + ist bijektiv, streng monoton wachsend und genügt der Funktionalgleichung ep(+y) = ep()ep(y) für alle,y Ê. Beweis: Wir bilden das Produkt ep epy, indem wir jeden Summanden mit jedem Summanden multiplizieren und das Ergebnis nach Potenzen ordnen, ep()ep(y) = d n mit d n = n i=0 i y n i i! (n i)! = n! n ( n i i=0 ) i y n i = n! (+y)n. Aus der Definition der Eponentialfunktion folgt sofort, dass sie streng monoton wachsend für nichtnegative ist. Ferner gilt ep() +, daher lim ep() =. Für negative erhalten wir die Behauptung aus ep()ep( ) = ep( ) =, also ep( ) = ep(). Damit gilt insbesondere lim ep() = 0. Wegen des Zwischenwertsatzes ist die Eponentialfunktion bijektiv zwischen den angegebenen Bereichen. Aus der Eponentialreihe erschließen wir ferner für jedes n Æ ep() ep( ) (5.5) lim n =, lim n = 0, denn es gilt für > 0 daher ep() n > (n+)! ep() > n+ (n+)!,, 0 < n ep( ) < (n+)! 0 für. Kurz: Die Eponentialfunktion wächst für schneller als jede Potenz und sie fällt für schneller gegen Null als jede negative Potenz. 38

9 5.4 Der Logarithmus Nach Satz 5.7 besitzt die Eponentialfunktion eine stetige, streng monoton wachsende Umkehrfunktion, die wir als (natürlichen) Logarithmus ln bezeichnen. Es ist daher ln : Ê + Ê und y = ep() = lny. Satz Der natürliche Logarithmus hat die Eigenschaft e (5.6) lny = ln+lny,y Ê +. Der Logarithmus Beweis: Es gilt ep(ln(y)) = y = ep(ln)ep(lny) = ep(ln+lny). Da die Funktion ep bijektiv ist, folgt hieraus die Behauptung. Für jedes n gilt ln (5.7) lim n = 0, lim n ln = 0. ց0 Wir beweisen dies, indem wir für > 0 = ep(ny) mit y Ê setzen. Es gilt dann ln n = ny epy 0 für y, n ln = ep(y)ny 0 für y. Also: Der Logarithmus geht für langsamer gegen unendlich als jede Wurzel. Ferner ist die bestimmte Divergenz gegen für ց 0 nur schwach ausgeprägt. 5.5 Anwendungen des Logarithmus Mit Hilfe des Logarithmus wollen wir nun allgemeine Potenzen definieren. Für a > 0 folgt aus der Additionseigenschaft (5.6) des Logarithmus lna n = nlna. Wegen n a... n a = a folgt auch ln n a = n lna. Damit gilt lnar = rlna für alle rationalen r. Nehmen wir hier auf beiden Seiten die Eponentialfunktion, so gilt a r = ep(rlna). Damit können wir unsere alte, nur für rationale r gültige Eponentiation auf ganz Ê fortsetzen durch die Definition a = ep(lna), a, Ê, a > 0. Entsprechend schreiben wir für a = e kürzer e statt ep(). Es gilt dann für a,b > 0 und beliebige,y Ê (i) a +y = a a y, (ii) (a ) y = a y, (iii) a b = (ab). Die Beweise folgen aus der Definition. (i) erhalten wir mit a +y = ep((+y)lna) = ep(lna)ep(ylna) = a a y, (ii) mit und (iii) mit (a ) y = ep(ylna ) = ep(ylna) = a y, a b = ep(lna)ep(lnb) = ep(lnab) = (ab). Beispiele Die Logarithmus-Funktion ist ein wichtiges technisches Hilfsmittel, um das Verhalten komplizierter algebraischer Ausdrücke zu untersuchen. 39

10 (i) Zur Bestimmung des Grenzwertes der Folge n n! betrachten wir die Logarithmen der Folgenglieder ln n n! = n (ln+ln2+...+lnn). Die Logarithmen der Folgenglieder sind also Mittelwerte einer Folge, die bestimmt gegen unendlich divergiert. Damit divergieren auch die Mittelwerte und somit auch n n! bestimmt gegen unendlich. (ii) Ein weiteres Beispiel ist das Verhalten der Funktion / für. Der Logarithmus dieser Funktion ist ln / = ln/ 0 für nach (5.7), daher / für. 5.6 Hyperbelfunktionen Aus der Eponentialfunktion lassen sich weitere Funktionen ableiten cosh() = 2 (e +e ) (Cosinus hyperbolicus), sinh() = 2 (e e ) (Sinus hyperbolicus), tanh() = sinh() cosh() coth() = cosh() sinh() (Tangens hyperbolicus), (Cotangens hyperbolicus). Da sinh für = 0 eine Nullstelle hat, ist coth nur für 0 definiert. Direkt aus der Additionseigenschaft der Eponentialfunktion beweist man die Additionstheoreme cosh(+y) = cosh()cosh(y)+sinh()sinh(y), sinh(+y) = sinh()cosh(y)+cosh()sinh(y). cosh coth sinh tanh coth Die Hyperbelfunktionen sinh und cosh Die Hyperbelfunktionen tanh und coth 5.7 Die Trigonometrischen Funktionen Die altbekannte Definition von Sinus und Cosinus findet man in der folgenden Zeichnung. 40

11 B Der Punkt (sin,cos) liegt auf dem Einheitskreis, ist dabei die Länge des Kreisbogens von A nach B. Wenn wir einmal davon absehen, dass wir die Länge gekrümmter Kurven bisher nicht definiert haben, kann man aus der Zeichnung alle wichtigen Eigenschaften der beiden Winkelfunktionen ablesen. Ist π = 3,45... die Länge des Halbkreises, so gilt sin 0 cos A (5.8) sin0 = 0, sin π 2 =, sinπ = 0, sin(+2π) = sin, (5.9) cos0 =, cos π 2 = 0, cosπ = 0, cos(+2π) = cos, Da die Winkelfunktionen den Einheitskreis parametrisieren, gilt (5.0) sin 2 +cos 2 =. Da diese Definition der Winkelfunktionen auf der geometrischen Anschauung beruht, lassen sich konkrete Werte wie beispielsweise cos damit nicht berechnen. Wir verwenden daher Potenzreihen und setzen sin = ( ) n 2n+, cos = (2n+)! ( ) n 2n (2n)! Aus dem Quotientenkriterium in Satz 5. folgt, dass die beiden Reihen auf ganz Ê konvergent sind und dort stetige Funktionen darstellen. Wir müssen nun zeigen, dass für die so definierten Funktionen die Eigenschaften (5.8)-(5.0) gelten. Klar ist sin0 = 0 und cos0 =. Wie das Additionstheorem für die Eponentialfunktion leitet man (5.0) sowie die Additionstheoreme her (vgl. Abschnitt 6.8). sin(+y) = sincosy +cossiny, cos(+y) = coscosy sinsiny, Wir definieren π 2 als erste positive Nullstelle des Cosinus. Die Cosinus-Reihe ist alternierend und es gilt 2n (2n)! > 2n+2 für alle n Æ und 0 < 3. (2n+2)! Die Absolutbeträge der Glieder sind daher ab n = streng monoton fallend und nach dem Leibniz- Kriterium ist C 2 () = 2 2 < cos < = C 4() für 0 < 3. Die Unterfunktion C 2 besitzt daher eine Nullstelle für α = 2, die Oberfunktion C 4 für β = Damit gilt,4 < α < π 2 < β <,6. Mit den Additionstheoremen und (5.0) gilt dann sin π 2 = und (5.) sin(+ π 2 ) = cos, cos(+ π 2 ) = sin. Wenden wir diese Beziehungen sukzessive an, haben wir (5.8) und (5.9) vollständig bewiesen. Es fehlt allerdings noch, dass π 2 tatsächlich der Länge des Viertelkreises entspricht. Das wird später nachgetragen. 4

12 Nun untersuchen wir das Monotonieverhalten von Sinus und Cosinus. Aufgrund der Definition von π/2 als erster Nullstelle des Cosinus ist cos > 0 in [0,π/2). Wegen sinπ/2 = und sin 2 +cos 2 = muss wegen des Zwischenwertsatzes auch sin > 0 in (0,π/2) gelten. Aus dem Additionstheorem des Cosinus folgt daher für 0 < +y π/2 cos(+y) = coscosy sinsiny coscosy < cos. Der Cosinus ist also im Intervall [0, π/2] streng monoton fallend und entsprechen ist der Sinus in diesem Intervall streng monoton wachsend. Zusammen mit (5.) haben wir einen vollständigen Überblick über das Monotonieverhalten der beiden trigonometrischen Funktionen. tan cos sin π 2π π/4 π - cot Wir definieren Tangens und Cotangens durch tan = sin cos für (2k +)π 2, k, cot = cos sin Beide Funktionen sind π-periodisch. für kπ, k. Die Arcusfunktionen sind Umkehrfunktionen der trigonometrischen Funktionen. Da diese allesamt periodisch sind, müssen sie auf ein Intervall eingeschränkt werden, auf dem sie streng monoton sind. Bei allen vier trigonometrischen Funktionen hat man sich dabei auf ein Intervall geeinigt und spricht vom Hauptwert der Umkehrfunktion. Der Sinus bildet das Intervall [ π/2,π/2] bijektiv auf das Intervall [,] ab. Für y [,] bezeichnen wir die Lösung [ π/2, π/2] von sin = y als Arcussinus von y und schreiben y = arcsin. Der Arcussinus ist also auf dem Intervall [,] definiert, stetig und streng monoton steigend. Selbstverständlich hat die Gleichung sin = y unendlich viele Lösungen, die als Nebenwerte des Arcussinus bezeichnet werden und besonders gekennzeichnet werden müssen. - π/2 arcsin π π/2 arccos π/2 π/4 arctan π/2 - Auf die gleiche Weise definiert man die Hauptwerte der anderen Winkelfunktionen durch mehr 42

13 oder weniger willkürliche Festlegung des Definitionsbereichs und kommt dann zu y = arcsin, y π 2, ( ), y = arccos, 0 y π, ( ), y = arctan, y π 2, ( Ê), y = arccot, 0 y π, ( Ê). Aufgaben 5. (3) Man berechne ( a) lim ) [ ] 8 3, b) lim (3) Man berechne die Grenzwerte von a) m n für (m,n Æ), b) (+a)(+b) für (a,b Ê). 5.3 (2) Ist g auf [0,] definiert und beschränkt, so ist g() in = 0 stetig. 5.4 (3) Man bestimme alle Stetigkeitspunkte der Funktion f : Ê Ê, gegeben durch f() = []+ [] 5.5 (3) Zeigen Sie: Ist f in ξ stetig mit f(ξ) = a > 0, so gibt es ein δ > 0 mit f() > a 2 ξ < δ. Machen Sie eine Skizze zu dieser Aussage. für alle mit 5.6 (2) Zeigen Sie: Stimmen zwei stetige Funktionen f,g : Ê Ê in allen rationalen Punkten überein, so stimmen sie auf ganz Ê überein. 5.7 (2) Beweisen Sie: Sind f,g : [a,b] Ê Ê zwei stetige Funktionen mit f(a) < g(a) und f(b) > g(b), dann gibt es ein [a,b] mit f() = g(). 5.8 (2) Sei f auf [a,b] stetig mit f() > 0 für alle [a,b]. Dann gibt es eine Konstante c > 0 mit f() c > 0 für alle. 5.9 (3) Die Funktion f : [0,] Ê sei stetig, und es gelte f(0) = f(). Man zeige: Zu jedem n gibt es ein [0,] mit ( f() = f + ). n 5.0 (3) Es sei J ein beschränktes und abgeschlossenes Intervall und f : J J stetig. Man zeige: Es gibt einen Fipunkt ξ J mit f(ξ) = ξ. Man zeige durch Beispiele, dass der Satz für nicht abgeschlossene Intervalle der Form (a, b] und für unbeschränkte Intervalle der Form [a, ) falsch ist. 5. (3) Sei a < a 2 <... < a n und c Ê. Man zeige: Die Gleichung a + a a n = c hat im Fall c = 0 genau n reelle Lösungen, im Fall c 0 genau n. 43

14 5.2 (3) Seien f k C([0,2]) mit f k f punktweise in [0,2] und gleichmäßig in [0,) und (,2]. Ist f stetig? 5.3 (3) Beweisen Sie: ln a) lim b) lim e = 0. ( + ) a = für a >. Hinweis: Verwenden Sie für > 0, dass ln(+). 5.4 (3) Skizzieren Sie die Hyperbel H = {(,y) Ê 2 : 2 y 2 =, > 0} und zeichnen Sie auch die asymptotischen Geraden ein, die das Verhalten für, ±y charakterisieren. Zeigen Sie, dass für (t) = cosht, y(t) = sinht gilt (t) 2 y(t) 2 = und machen Sie sich klar, dass ((t),y(t)) für < t < die Hyperbel durchläuft, genauso wie (cost,sint) den Kreis. 5.5 (3) Man berechne die Grenzwerte a) lim 0+, b) lim π 2 (tan)cos. 5.6 (3) Man berechne die Konvergenzradien der folgenden Potenzreihen ( 2n ) a) 2n, b) (sinn) n, n c) e) ln(+n) n, d) n= ( ) n, f) n n= ( ) n, n! n 2n (4+( ) n ) 3n. 5.7 () Eine Funktion f : ( a, a) Ê heißt gerade, wenn f() = f( ) für alle ( a, a). Sie heißt ungerade, wenn f() = f( ). Welche der Funktionen ep, sinh, cosh, tanh, sin, cos, tan, arcsin, arccos, arctan sind gerade bzw. ungerade? 44