19. Weitere elementare Funktionen

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1 19. Weitere elementare Funktionen 1. Der Arcussinus Die Sinusfunktion y = f(x) = sin x (mit y = cos x) ist im Intervall [ π, π ] streng monoton wachsend und somit existiert dort eine Umkehrfunktion. f : [ π, π ] [ 1, 1], x y = f(x) = sin x f 1 : [ 1, 1] [ π, π ], y x = arcsin y Für die Ableitung der Umkehrfunktion gilt (arcsin y) = cos x Wegen sin x + cos x cos x = 1 sin x für x [ π, π ] gilt (arcsin y) 1 = 1 sin = 1. x 1 y. Der Arcuscosinus Die Cosinusfunktion y = f(x) = cos x (mit y = sin x) ist im Intervall [0, π] streng monoton fallend und somit existiert dort eine Umkehrfunktion. f : [0, π] [ 1, 1], x y = f(x) = cos x f 1 : [ 1, 1] [0, π], y x = arccos y 1

2 Für die Ableitung der Umkehrfunktion gilt (arccos y) = sin x Wegen sin x + cos x sin x = 1 cos x für x [0, π] gilt (arccos y) = 1 = 1. 1 cos x 1 y 3. Der Arcustangens Die Tangensfunktion y = f(x) = tan x (mit y cos x = cos x+sin x cos x = 1 + tan x) ist im Intervall ( π, π ) streng monoton wachsend und somit existiert dort eine Umkehrfunktion. f : ( π, π ) R, x y = f(x) = tan x f 1 : R ( π, π ), y x = arctan y Für die Ableitung der Umkehrfunktion gilt (arctan y) = = 1 1+tan x 1+y 4. Der Arcuscotangens

3 Die Cotangensfunktion y = f(x) = cot x (mit y = 1 ) ist im Intervall sin x (0, π) streng monoton fallend und somit existiert dort eine Umkehrfunktion. f : (0, π) R, x y = f(x) = cot x f 1 : R (0, π), y x = arccot y Für die Ableitung der Umkehrfunktion gilt (arccot y) = 1 sin x =... = 1 1+cot x = 1 1+y 5. Potenzfunktion, Exponentialfunktion, Logarithmusfunktion Bislang wurden folgende Arten von Potenzen von a R, a > 0 definiert (manche davon gelten auch für beliebiges a R): a n = a a a... a a 0 a m a m a a a... a a 1 n = n a, n Z \ {0} (n mal), n N, m N a m n = n a m, m, n Z \ {0} Dabei gelten für Exponenten α, β Q und a > 0 die folgenden Rechenregeln: a α+β = a α a β, a α β = aα a β, a αβ = (a α ) β = (a β ) α Wir wollen nun auch den Ausdruck a α für α R definieren, wobei wiederum a > 0 ist. 3

4 Dazu betrachtet man irgendeine Folge q n von rationalen Zahlen mit lim n = α n (dies bedeutet: für jedes ε > 0 gibt es einen Index N ε N mit α q n < ε für n N ε ), und setzt a α = lim n a q n (Man kann zeigen, dass dies unabhängig von der Wahl der Folge ist, welche gegen α strebt.) Satz. a α < a β α < β für a > 1 a α < a β α > β für 0 < a < 1 Die Potenzfunktion f : R + R + x x α, α R ist definiert durch Die Exponentialfunktion f : R R + x a x, a > 0 ist definiert durch Sie ist streng monoton steigend für a > 1, eine konstante Funktion für a, und streng monoton fallend für 0 < a < 1. Weil die Exponentialfunktion streng monoton und stetig ist auf dem gesamten Defintionsbereich D = R, existiert für sie die Umkehrfunktion. 4

5 Die Umkehrfunktion zur Exponentialfunktion ist der Loga- Definition. rithmus log a : R + R, y = a x x = log a y Rechenregeln. Mit der Schreibweise log a y log y gelten die folgenden Rechenregeln: log a, log 1 = 0 log(y 1 y ) = log y 1 + log y log y 1 y = log y 1 log y log y z = z log y Bemerkung. Einige Werte von a haben eine besondere Bedeutung, und dafür existiert auch eine eigene Schreibweise: a 0 a = e a = log 10 y = lg y... dekadischer Logarithums log e y = ln y... natürlicher Logarithmus log y = ld y... dualer Logarithmus Dabei ist die Euler sche Zahl e definiert als Grenzwert e = lim x (1 + 1 x )x =, Eigenschaften der Logarithmusfunktion. (y = a x x = log a y) 1. Für a > 1 gilt: lim x a x =, lim log x 0 + a x =, lim log a x = x lim x ax = 0. Für 0 < a < 1 gilt: lim x a x = 0, lim log x 0 + a x =, lim log a x = x lim x ax = 5

6 Wollen wir zwischen verschiedenen Logarithmen-Basen umrechnen, ergibt sich für x 1 = log a y und x = log b y : y = a x 1 = bx log a a x 1 = log a b x x 1 log a a = x log a b x 1 = x log a b log a y = log b y log a b log b y = log a y log a b Speziell also etwa log b y = ln y ln b. Für die Ableitung der Logarithmusfunktion (Herleitung siehe Skriptum) ergibt sich y(x) = log a x y (x) x log a e x ln e ln a x ln a Speziell also (ln x) x Damit können wir nun auch die Ableitung der Exponentialfunktion bestimmen. y = log a x x = a y (a y ) = = d(ay ) 1 x ln a = x ln a = a y ln a Speziell erhalten wir (e y ) = e y. Für die Ableitung der Potenzfunktion y = f(x) = x α im Falle α Q die Aussage y (x) = αx α 1. erhielten wir Für ein beliebiges α R ist zunächst eine Umformung notwendig. y = x α = (e ln x ) α = e α ln x 6

7 y (x) = e α ln x α 1 x = α xα 1 x = αxα 1 Beispiel. y = f(x) = x x = e x ln x y = e x ln x (1 ln x + x 1 x ) = xx (1 + ln x) 6. Sinus Hyperbolicus und Cosinus Hyperbolicus Diese Funktionen sind wie folgt definiert: sinh x = ex e x, cosh x = ex +e x, D = R 1) Wegen sinh( x) = sinh x, ist der Sinus Hyperbolicus eine ungerade Funktion. Wegen cosh( x) = cosh x, ist der Cosinus Hyperbolicus eine gerade Funktion. ) cosh x sinh x = (ex +e x ) 4 (ex e x ) 4 = 4 [(ex + + e x ) (e x + e x )] Da u = cosh x und v = sinh x die Hyperbelgleichung u v erfüllen, werden sie auch als hyperbolische Funktionen bezeichnet. 3) (Ableitungen) (sinh x) = ( ex e x ) (ex e x ( 1)) (ex + e x ) = cosh x (cosh x) = ( ex +e x ) (ex + e x ( 1)) (ex e x ) = sinh x 7. Tangens Hyperbolicus und Cotangens Hyperbolicus 7

8 Diese Funktionen sind wie folgt definiert: tanh x = sinh x cosh x = ex e x e x +e x, D = R W = ( 1, 1) coth x = cosh x sinh x = ex +e x e x e x, D = R \ {0} W = R \ [ 1, 1] Beide Funktionen sind ungerade, und ihre Ableitungen sind (tanh x) = ( sinh x cosh x ) = (coth x) = ( cosh x sinh x ) = cosh x cosh x sinh x sinh x cosh x sinh x sinh x cosh x cosh x sinh x cosh x = 1 sinh x 8. Die Area-Funktionen Dies sind die Umkehrfunktionen zu den hyperbolischen Funktionen. Wir müssen dabei allerdings auf Definitions- und Wertebereich achten. a) Areasinus Hyperbolicus f : R R, x y = sinh x f 1 : R R, y x = arsinh y b) Areacosinus Hyperbolicus f : R + 0 [1, ), x y = cosh x f 1 : [1, ) R + 0, y x = arcosh y 8

9 c) Areatangens Hyperbolicus f : R ( 1, 1), x y = tanh x f 1 : ( 1, 1) R, y x = artanh y d) Areacotangens Hyperbolicus f : R \ {0} R \ [ 1, 1], x y = coth x f 1 : R \ [ 1, 1] R \ {0}, y x = arcoth y Bemerkung. Die Area-Funktionen können auch mittels der Logarithmusfunktion dargestellt werden. y = sinh x = ex e x ye x = e x 1 bzw. e x ye x 1 = 0 Dies ist eine quadratische Gleichung für e x, folglich e x = y ± y + 1. Weil stets e x > 0 und y y + 1 < 0 ist, erhalten wir x = arsinh y = ln(y + y + 1) 9

10 y = cosh x = ex +e x e x ye x + 1 = 0 e x = y ± y 1. Damit x = arcosh y = ln(y + y 1) (Das negative Vorzeichen liefert den unteren Zweig der Funktion) y = tanh x = ex e x e x +e x liefert x = artanh y ln 1+y 1 y, für y < 1 (damit 1+y 1 y > 0) y = coth x = ex +e x e x e x liefert x = arcoth y ln y+1 y 1, für y > 1 (damit y+1 y 1 > 0) Für die Ableitungen der Area-Funktionen erhalten wir a) y = arsinh x x = sinh y = (arsinh x) (sinh y) cosh y 1+sinh y 1+x (Beachte dass cosh y + sinh y und cosh y 0) b) y = arcosh x x = cosh y = (arcosh x) (cosh y) sinh y cosh y 1 x 1 (Beachte dass für y R + 0 stets gilt sinh y 0) c) y = artanh x x = tanh y = (artanh x) = (tanh y) 1 cosh y cosh y cosh y sinh y 1 tanh y 1 x, D = ( 1, 1) = cosh y = cosh y 1 = 10

11 d) y = arcoth x x = coth y = (arcoth x) (coth y) 1 sinh y = sinh y cosh y sinh y 1 coth y 1 x, D = R \ [ 1, 1] = sinh y = sinh y 1 = 9. Höhere Ableitungen Definition. Die Ableitung von f f und schreiben f (x) = d ( d d f(x)) = (f(x)) bezeichnen wir, falls sie existiert, mit Die weiteren höheren Ableitungen werden mit f, f (IV ),..., f (n) bezeichnet. Beispiel. Für f(x) = x n, n N erhalten wir f (x) = nx n 1, f (x) = n(n 1)x n... f (k) (x) = n(n 1)(n )... (n k + 1)x n k = k! ( n k) x n k für k n f (k) (x) = 0 für k > n Beispiel. Für f(x) = x 5 erhalten wir f (x) = 5 x 3, f (x) 5 4 x x f (x) 5 8 x x ist für x = 0 nicht definiert. Beispiel. (Harmonischer Oszillator) Die Auslenkung s(t) in Abhängigkeit von der Zeit t ergibt sich zu s(t) = A cos(ωt + α), A, ω, α R Für die Geschwindigkeit v(t) ergibt sich 11

12 v(t) = d dts(t) = Aω sin(ωt + α) Für die Beschleunigung b(t) ergibt sich b(t) = d d dtv(t) = dt s(t) = Aω cos(ωt + α) Beachte, dass b(t) = ω s(t). Die rücktreibende Kraft mb(t) ist also proportional zur Auslenkung s(t) (Hook sches Gesetz). 1